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【2025.10.10】初四上数学月考试卷-周村一中
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．函数y＝ax﹣a与y（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3．如图曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知（﹣5，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
7．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到
不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
9．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）
A．4km B．2km C．2km D．（1）km
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D．双曲线经过C，D两点，双曲线经过点B，则平行四边形OABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共5小题）
11．已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　 　 ．
12．函数的自变量x的取值范围为 　 　 ．
13．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约
为 　 　 米．（结果精确到1米，参考数据）
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2＝　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上．若点A的坐标为（1，2），则点B坐标为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）2sin30°﹣sin45° cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．
18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB，AC＝6，求AB的长．
19．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，cosA．
（1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值．
21．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
22．五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡AB，测得斜坡底端A距塔基中心E距离AE＝10米，斜坡坡度i为5：12，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔DE的顶部D处的俯角为37°（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°）
（1）求古塔DE的高度；
（2）已知目高BF为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于AE的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
23．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点D且与边AB交于点E，连接DE．
（1）如图1，若点D是CB的中点，直接写出E点的坐标；
（2）如图2，若直线DE与x轴、y轴分别交于点M，N，连接AC．
①求证：DE∥AC；
②求DM EN的值；
（3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′．连接CB′，直接写出CB′的最小值．
【2025.10.10】初四上数学月考试卷-周村一中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A A C A D C B
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°．
故选：D．
2．函数y＝ax﹣a与y（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
3．如图曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
4．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故选：A．
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵tanA＝0.1890，
∴利用科学计算器求∠A的度数，按键顺序为：2ndF﹣tan﹣0.1890﹣＝．
故选：A．
6．已知（﹣5，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k＞0
∴双曲线在一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣5＜0，﹣1＜0，2＞0，
∴点（﹣5，y1），（﹣1，y2）在第三象限，（2，y3）在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵﹣5＜﹣1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
7．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，
∵AD2，AB，
∴sinB，
故选：A．
8．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令y＝20，则，
∴x＝20，
∴从开机加热到水温降至20℃需要24min，即一个循环为24min，
设加热过程中水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为：y＝k′x+20，把（4，100）代入得：4k′+20＝100，
解得：k′＝20，
∴此时y＝20x+20，
∴水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为，
，上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
∴当x＝10时，，
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
9．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）
A．4km B．2km C．2km D．（1）km
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，
∴ADOA＝2km．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝2km，
∴ABAD＝2km，即该船航行的距离（即AB的长）为2km．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D．双曲线经过C，D两点，双曲线经过点B，则平行四边形OABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵平行四边形OABC的对角线交于点D，
∴OD＝BD，
设B的坐标是（2m，），
∴D的坐标是（m，），C的纵坐标是，
∴k＝m2，
把y代入y得：x，即C的横坐标是：，
∵BC＝OA，
∴平行四边形OABC的面积＝BC×点C的纵坐标＝（2m）6，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　6　 ．
【解答】解：依题意，得x＝3时，y＝2，
所以，k＝xy＝6，
故答案为：6．
12．函数的自变量x的取值范围为 　x≥﹣1　 ．
【解答】解：要使在实数范围内有意义，
必须x+1≥0，x+3≠0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
13．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 　16　 米．（结果精确到1米，参考数据）
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，
设CD＝x米，
∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD tan30°（x+12）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD tan45°＝x（米），
∴x（x+12），
解得：x＝66，
∴AD＝66≈16（米），
∴建筑物AD的高度约为16米，
故答案为：16．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2＝　4　 ．
【解答】解：∵反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象均在第一象限内，
∴k1＞0，k2＞0．
∵AP⊥x轴，
∴S△OAPk1，S△OBPk2．
∴S△OAB＝S△OAP﹣S△OBP（k1﹣k2）＝2，
解得：k1﹣k2＝4．
故答案为：4．
15．如图，在平面直角坐标系xOy，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上．若点A的坐标为（1，2），则点B坐标为　（4，）　 ．
【解答】解：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（ x＞0）上，点A的坐标为（1，2），
∴2，
解得：k＝2，
∴双曲线的解析式为：y，直线OA的解析式为：y＝2x，
∵OA⊥AB，
∴设直线AB的解析式为：yx+b，
∴21+b，
解得：b，
∴直线AB的解析式为：yx，
将直线AB与反比例函数解析式联立得出：
，
解得：或，
∴点B（4，）．
故答案为（4，）．
三．解答题（共9小题）
16．计算：
（1）2sin30°﹣sin45° cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB4，
∵tanA，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB，AC＝6，求AB的长．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6，
∴CDAC＝3，ADCD＝9，
在Rt△BCD中，tanB，
∴
∴BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝9+4．
19．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，
解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）由图可得：x＜﹣1或0＜x＜3时，kx+b0；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，cosA．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30，cosA，
∴AB＝50，
∵D是AB的中点，
∴CDAB＝25；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30，AB＝50，
∴BC＝40，
∴CF＝AC BC÷AB＝24，
∴DF7，
∴sin∠DCF．
∵∠DCF+∠CDF＝∠DBE+∠BDE＝90°，∠CDF＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠DCF，
∴sin∠DBE＝sin∠DCF．
21．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y得b4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k，
所以一次函数解析式为yx+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为yx+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣48＝0，解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
22．五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡AB，测得斜坡底端A距塔基中心E距离AE＝10米，斜坡坡度i为5：12，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔DE的顶部D处的俯角为37°（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°）
（1）求古塔DE的高度；
（2）已知目高BF为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于AE的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【解答】解：（1）延长CB交EA于点G，延长ED交CM于点H，
由题意得：CG＝HE，EG＝CH，CG⊥EG，EH⊥CM，
∵斜坡坡度i为5：12，
∴，
∴设BG＝5x米，AG＝12x米，
在Rt△ABG中，AB13x（米），
∵AB＝6.5米，
∴13x＝6.5，
解得：x＝0.5，
∴BG＝2.5米，AG＝6米，
∵AE＝10米，
∴EG＝CH＝AG+AE＝6+10＝16（米），
在Rt△CDH中，∠DAH＝37°，
∴DH＝CH tan37°≈1612（米），
∴DE＝EH﹣DH＝CG﹣DH＝BG+BC﹣DH＝2.5+37.6﹣12＝28.1（米），
∴古塔DE的高度约为28.1米；
（2）连接FD交CM于点N，
由题意得：∠DHN＝∠FCN＝90°，
∵BC＝37.6米，BF＝1.6米，
∴CF＝BC﹣BF＝36（米），
∵∠DNH＝∠FNC，
∴△DHN∽△FCN，
∴，
∴，
解得：HN＝8，
∴CN＝CH+HN＝16+8＝24（米），
∴24÷4＝6（秒），
∴经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
23．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点D且与边AB交于点E，连接DE．
（1）如图1，若点D是CB的中点，直接写出E点的坐标；
（2）如图2，若直线DE与x轴、y轴分别交于点M，N，连接AC．
①求证：DE∥AC；
②求DM EN的值；
（3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′．连接CB′，直接写出CB′的最小值．
【解答】（1）解：点E的坐标为（4，3）；理由如下：
∵矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），
∴OA＝BC＝4，AB＝CO＝6，OA∥BC，
∵点D是CB的中点，
∴D（2，6），
反比例函数的图象经过点D且与边AB交于点E，将点D的坐标代入得：
4，
解得：k＝12，
∴反比例函数的解析式，
设点E（4，n），代入解析式，得：；
故点E（4，3）；
（2）①证明：根据题意，设，，
设直线AC的解析式为y＝px+b，将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴．
∴，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，将点D，点E的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
∴，
∴kAC＝kDE，
∴DE∥AC；
②解：∵OA∥BC，DE∥AC，
∴四边形DCAM是平行四边形，
∴DM＝AC，
∵OC∥AB，DE∥AC，
∴四边形NCAE是平行四边形，
∴EN＝AC，
在直角三角形AOC中，由勾股定理得：，
∴DM EN＝AC2＝52；
（3）解：CB′的最小值．理由如下：
连接AC，BB′，交DE于点F，如图3，
根据题意，得DF⊥BB′，
∴∠DFB＝90°，
∴∠CBB′＝90°﹣∠FDB，
∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠FDB，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠CBB′，
根据垂线段最短，得当CB′⊥BB′时，CB′最小，
故CB′＝BCsin∠CBB′，
又，
故，
故CB′的最小值．

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