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【2025.10.10】初四上数学月考试卷-周村三中
一．选择题（共10小题）
1．已知反比例函数图象经过点（3，﹣2），则反比例函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．3
3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定
4．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
5．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　　）
A．图象在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y＞0
6．如图，正比例函数，一次函数y2＝2x+b和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中，若y1＞y3＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣2＜x C．x＜0 D．﹣2＜x＜﹣1
7．如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为α，沿斜面下滑的时间为t，则小车在斜面上下滑的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的边上，则cosN＝（　　）
A． B． C． D．
9．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（　　）
A．41m B．42m C．43m D．77m
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝10，tan∠BOC．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（　　）
A． B． C．8 D．
二．填空题（共6小题）
11．已知∠A是锐角，且满足，则∠A的大小为 　 　 ．
12．如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠ADE，AE＝BD，若BC＝6，，则BD的长为　 　 ．
14．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，M，N为垂足，若BD＝6，DE＝8，EC＝10，则tanB+tanC的值是　 　 ．
15．如图，反比例函数y的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D，从点B作BC⊥x轴于点C．已知△OAB的面积为，△OCD的面积为3，则k＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．计算：（1）sin45°+tan60°﹣2cos30°；（2）2sin60°+6tan230°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值．（2）若，BC＝6，求△ABC的周长．
18．如图．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH．
（1）求证：AH AB＝AC BC；（2）求sinB的值；（3）如果CD，求BE的值．
19．问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　 　 °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
20．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量古塔的高度
小明的研究报告 小红的研究报告
图示
测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．
参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，
计算古塔高度（结果精确到0.1m） 30×tan35°+1.6≈22.6（m）
（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；
（2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因．
21．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数的图象于P、Q两点．若AB＝BP，且△AOB的面积为．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，设直线AB的解析式为y＝mx+n，若，求x的取值范围．
22．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A（4，1），两点．
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）在线段AB上取点C（不与点A，B重合），连接OC，交反比例函数y2的图象于点D，连接BD．当S△BOD＝2S△BCD时，求点C的坐标．
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B（﹣1，0），反比例函数y的图象也经过点A，且点A横坐标是2．
（1）求一次函数的解析式．
（2）点C是x轴正半轴上的一点，联结AC，tan∠ACB，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象于点D、E，求点D、E的坐标．
（3）在（2）的条件下，联结AD，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
【2025.10.10】初四上数学月考试卷-周村三中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A B B A C B
一．选择题（共10小题）
1．已知反比例函数图象经过点（3，﹣2），则反比例函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，k＝﹣2×3＝﹣6．
则反比例函数的解析式为：y．
故选：A．
2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴sinA，
故选：A．
3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不能确定
【解答】解：∵sinA，cosB，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：C．
4．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等得：3×（﹣5）＝（m+1）×（﹣3），
解得m＝4，
故选：A．
5．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　　）
A．图象在一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y＞0
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b﹣k＞0，
∴反比例函数y的图象在第一、三象限，故选项A正确；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误、选项C错误；
当x＜0时，反比例函数y的函数值y＜0，故选项D错误；
故选：A．
6．如图，正比例函数，一次函数y2＝2x+b和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中，若y1＞y3＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣2＜x C．x＜0 D．﹣2＜x＜﹣1
【解答】解：如图，
设y1与y3交于A，y2与y3交于B，y1、y1与y3交于C，
把x＝2代入得y＝1，
∴C（2，1），
把C（2，1）分别代入y2＝2x+b和反比例函数y3，
可得b＝﹣3，k＝2，
∴y2＝2x﹣3，y3，
当y1与y3时，x，解得x＝﹣2或2（舍），
当y2与y3时，2x﹣3，解得x或2（舍），
∴A（﹣2，﹣1），B（，﹣4），
∴y1＞y3＞y2时，﹣2＜x．
故选：B．
7．如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为α，沿斜面下滑的时间为t，则小车在斜面上下滑的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝h，
则AB，
∴小车在斜面上下滑的平均速度为，
故选：B．
8．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的边上，则cosN＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由题意得：EF∥BN，∠B＝∠DFE＝90°，
∴∠N＝∠DEF，
设DF＝t，则EF＝2t，
∴，
∵在Rt△DEF中，，
∴，
cosN﹣cosDEF．
故选：A．
9．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（　　）
A．41m B．42m C．43m D．77m
【解答】解：延长BA交MN于点C，可知BC⊥MN，
由题意可知BC＝120m，MN＝73m，∠CNB＝45°，
∴，
∴MC＝MN+CN＝73+120＝193m．
∵∠AMC＝22°，
∴AC＝MC tan22°≈193×0.40＝77.2，
∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2＝42.8≈43（m）．
则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m）为43（m），
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝10，tan∠BOC．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（　　）
A． B． C．8 D．
【解答】解：过点E作ED⊥OB于点D，
∵对角线OC＝10，tan∠BOC，
∴BC＝6，BO＝8，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8，CF＝BC﹣BF＝6，
∴EM＝8，MF＝6，
∴；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝6，
∴MB，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（6）2＝（）2+（）2，
解得：k，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知∠A是锐角，且满足，则∠A的大小为 　30°　 ．
【解答】解：∵2cosA0，
∴cosA，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
12．如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　　 ．
【解答】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H，
∵点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，
∴S△BOG＝1，S△AOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAH＝∠BOG，
∴△OAH∽△BOG，
∴，
∴tan∠BAO．
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠ADE，AE＝BD，若BC＝6，，则BD的长为　　 ．
【解答】解：作∠EDF＝∠ADE，DF交AC于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，则∠ADF＝2∠ADE，
∵∠B＝2∠ADE，
∴∠ADF＝∠B，
∴DF∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∵EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵BC＝6，，
∴，，
∴AB10，
设EG＝3x，则EF＝3x，AG＝4x，AE＝BD＝5x，
∴AD＝10﹣5x，AF＝8x，
∵DF∥BC，
∴，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
14．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，M，N为垂足，若BD＝6，DE＝8，EC＝10，则tanB+tanC的值是　　 ．
【解答】解：如图，连接AD，AE，
∵DE＝8，EC＝10，
∴DC＝DE+EC＝18，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD＝BD＝6，AE＝EC＝10，
∵DE＝DC﹣EC＝18﹣10＝8，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADE＝90°，
∴．
故答案为：．
15．如图，反比例函数y的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D，从点B作BC⊥x轴于点C．已知△OAB的面积为，△OCD的面积为3，则k＝　4　 ．
【解答】解：设B（m，），
∵S△OCD＝3，
∴OD OC＝3，即m OD＝3，
∴OD，
∴A（，），
∵S△OAB，
∴S梯形AECB＝S△OAB﹣S△AOE+S△BOC＝S△OAB，
∴（）（m），
解得k＝±4，
∵反比例函数y位于第一象限．
∴k＝4，
故答案为4．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）sin45°+tan60°﹣2cos30°；
（2）2sin60°+6tan230°．
【解答】解：（1）sin45°+tan60°﹣2cos30°
2
＝1
＝1．
（2）2sin60°+6tan230°
26
＝26
＝22
＝4．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值．
（2）若，BC＝6，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵a：c＝2：3，
∴设a＝2k，c＝3k，
∵∠C＝90°，
∴bk，
∴sinA，sinB．
（2）∵∠C＝90°，
∴sinA，
∴AB＝7.5，
∴AC4.5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝7.5+6+4.5＝18．
18．如图．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH．
（1）求证：AH AB＝AC BC；
（2）求sinB的值；
（3）如果CD，求BE的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠CAB＝∠ACH，
∵AE⊥CD，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴△ABC∽△CAH，
∴，
∴AH AB＝AC BC；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
由勾股定理得ACCH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB；
（3）∵sinB，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB，
设CE＝x（x＞0），则AEx，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
19．问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　90　 °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
【解答】解：（1）如图1中，连接BC，
∵AB＝BC，AC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠α+∠β＝45°；
（2）如图2中，连接BC，
由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴α+β＝90°．
故答案为：90；
（3）如图2中，α＝∠GDH，β＝∠HDF，
在Rt△DGF中，tan（α+β）．
20．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量古塔的高度
小明的研究报告 小红的研究报告
图示
测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．
参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，
计算古塔高度（结果精确到0.1m） 30×tan35°+1.6≈22.6（m）
（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；
（2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因．
【解答】解：（1）设CH＝x，
在Rt△CHF中，
∵∠CFH＝∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝x，
在Rt△CHE中，
∴tan∠CEH，
∴tan17°≈0.30，
∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），
∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），
答：古塔的高度为26.8m．
（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．
21．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数的图象于P、Q两点．若AB＝BP，且△AOB的面积为．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，设直线AB的解析式为y＝mx+n，若，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵AB＝BP，且△AOB的面积为，
∴△POB的面积为，
作PM⊥y轴于M，
∴PM∥OA，
∴∠MPB＝∠OAB，
∵∠PBM＝∠ABO，AB＝PB，
∴△PBM≌△ABO（AAS），
∴△PBM的面积为，
∴S△POM3，
∵S△POM|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6；
（2）∵点P的横坐标为﹣1，
∴PM＝1，
∵△PBM≌△ABO，
∴OA＝1，
∴A（1，0），
把x＝﹣1代入y得，y＝6，
∴P（﹣1，6），
设直线AB为y＝mx+n，
把P、A的坐标代入得，
解得，
∴直线AB为y＝﹣3x+3，
联立方程组
解得或，
∴Q（2，﹣3），
∴由图象可知，当时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜2．
22．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A（4，1），两点．
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）在线段AB上取点C（不与点A，B重合），连接OC，交反比例函数y2的图象于点D，连接BD．当S△BOD＝2S△BCD时，求点C的坐标．
【解答】解：（1）把A（4，1）代入，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：n＝8，
∴，
把A（4，1）、代入y1＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+9；
故答案为：y1＝﹣2x+9；．
（2）由图象可知当或x＞4时，，
∴不等式的解集是或x＞4．
（3）分别过C，D两点作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F，如图所示：
∵S△BOD＝2S△BCD，
∴，
∴，
∵反比例函数解析式为，
∴，
∵CE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴CE∥DF，
∴△ODF∽△OCE，
∴，
∴，
设C（m，﹣2m+9），
∴，
解得：m1＝3或，
∴点C的坐标为（3，3）或．
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B（﹣1，0），反比例函数y的图象也经过点A，且点A横坐标是2．
（1）求一次函数的解析式．
（2）点C是x轴正半轴上的一点，联结AC，tan∠ACB，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象于点D、E，求点D、E的坐标．
（3）在（2）的条件下，联结AD，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象也经过点A，点A横坐标是2，
∴y3，
∴A（2，3），
把A（2，3），B（﹣1，0）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）过A作AH⊥x轴于H，
则AH＝3，∠AHC＝90°，
∵tan∠ACB，
∴CH＝4，
∴C（6，0），
把x＝6代入y得y＝1，
把x＝6代入得y＝x+1得y＝7，
∴D（6，1），E（6，7）；
（3）如图，设F（a，a+1），
当△EAD∽△EFC，
∴，
∴，
解得a或a（不合题意舍去）；
当△EAD∽△ECF，∠AED＝∠CEF，
∴，
∴，
解得a或a（不合题意舍去），
∴点F坐标为（，）或（，）．

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