资源简介

【2025.10.10】初四上数学月考试卷-张店七中
一．选择题（共10小题）
1．下列式子不是y关于x的反比例函数的是（　　）
A．xy＝π B． C．y＝﹣3x﹣1 D．
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上．下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
4．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
5．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为x m，根据以上条件，可以列出的方程为（　　）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 CD＝10m，α＝45°，β＝50°
A．x＝（x﹣10）tan50° B．x＝（x﹣10）cos50° C．x﹣10＝xtan50° D．x＝（x+10）sin50°
6．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC延长线上，若sinD，求tan∠CAD（　　）
A． B．7 C． D．
8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（　　）（参考数据：1.732）
A．2.33米 B．2.35米 C．2.36米 D．2.42米
9．如图，点D是 OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．6
10．如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA（n≥2的自然数）；当n＝2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2，a3，a4，…，a2010，则（　　）
A． B．2021054 C．2022060 D．
二．填空题（共5小题）
11．已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　 　 ．
12．小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 　 　 米．
13．对于反比例函数，当y≥4时，x的取值范围是　 　 ．
14．如图，直线AB交双曲线y（x＞0）于点P，交x轴、y轴于点A、B，且AB＝PB，sin∠A，若OA＝1，则k值为　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连接AD，若∠CAD＝∠B，tan∠DAB，BD＝2，则线段AC的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）cos60°﹣sin245°60°； （2）sin45° cos45°+tan30° sin60°．
17．在坐标平面内，A点的坐标为（20，0），OA＝2OB，，如图，求：
（1）B点的坐标；（2）求tan∠OAB．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，AC＝8，BD＝2，，BF交AD．求：
（1）AD的长；（2）tan∠FBC的值．
20．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
21．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8°
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y（x＞0）的图象经过点D且与边AB交于点E，连接DE．
（1）如图1，若点D是CB的中点，求E点的坐标；
（2）如图2，若直线DE与x轴、y轴分别交于点M，N，连接AC，
①求证：DE∥AC；
②求DM EN的值；
（3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′；
①当点B′落在矩形OABC内部时，求k的取值范围；
②连接CB′，直接写出CB′的最小值．
23．如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于D，E两点．
【背景问题】（1）如何求点D和点E的坐标呢!根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决：
解：联立两表达式得到方程组
把①代入②中得：，
由于x≠0，在方程两边同时乘以x，得：（请你继续完成解题过程）
【深入探究】（2）若将一次函数y＝﹣2x+6的图象l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点：
【知识应用】（3）点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当△DEC的面积最小时，求OC的长度．
【拓展延伸】（4）点P是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点P关于原点对称的点P，以PP'为斜边作等腰直角三角形MPP'，点M在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点P的运动过程中等腰直角三角形MPP'是否能成为直线DE的关联三角形？若能，直接写出此时点P坐标；若不能，请说明理由．
【2025.10.10】初四上数学月考试卷-张店七中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A A A A B D B
一．选择题（共10小题）
1．下列式子不是y关于x的反比例函数的是（　　）
A．xy＝π B． C．y＝﹣3x﹣1 D．
【解答】解：∵xy＝π，
∴y，是反比例函数，
∴A不符合题意；
∴y，是反比例函数，
∴B不符合题意；
y＝﹣3x﹣1，是反比例函数，
∴C不符合题意；
y，当a＝0时不是反比例函数，
∴D符合题意．
故选：D．
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
所以sinB，cosB，tanB，
选项D正确．
故选：D．
3．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上．下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
【解答】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，
∴反比例函数y的图象在二、四象限，
∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；
∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，
∵在第四象限内y随x的增大而增大，
∴0＞y3＞y2，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
4．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：如图：过点C作FG∥AB，连接GD，
∴∠AEC＝∠DCG，
由题意得：
CG2＝12+22＝5，
DG2＝12+22＝5，
CD2＝12+32＝10，
∴CG2+DG2＝CD2，
∴△CDG是直角三角形，
∴∠CGD＝90°，
∵CG＝DG，
∴∠DCG＝∠CDG＝45°，
∴∠AEC＝∠DCG＝45°，
∴cos∠AEC，
故选：A．
5．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为x m，根据以上条件，可以列出的方程为（　　）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 CD＝10m，α＝45°，β＝50°
A．x＝（x﹣10）tan50° B．x＝（x﹣10）cos50°
C．x﹣10＝xtan50° D．x＝（x+10）sin50°
【解答】解：过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x﹣10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x﹣10，
∴CE＝x﹣10，
∵tanβ＝tan50°，
∴x＝（x﹣10）tan 50°，
故选：A．
6．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k
【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，
，得x2﹣7x+k＝0
根据△≥0，得k
综上可知2≤k．
故选：A．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC延长线上，若sinD，求tan∠CAD（　　）
A． B．7 C． D．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H．
在Rt△ABD中，sinD，
∴可以假设AB＝3k，AD＝5k，则BD＝4k，
∵AB＝BC＝3k，
∴CD＝BD﹣BC＝k，
∵∠CHD＝∠B＝90°，∠D＝∠D，
∴△DHC∽△DBA，
∴，
∴，
∴CHk，DHk，
∴AH＝AD＝DH＝5kkk，
∴tan∠CAD，
故选：A．
8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（　　）（参考数据：1.732）
A．2.33米 B．2.35米 C．2.36米 D．2.42米
【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴，
设AF＝5x，BF＝12x，
在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．
解得：x＝0.4，
∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），
由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，
∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，
∴EFAF（米），AE＝2EF（米），
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE＝AC+AE＝（6）米，
∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝64.8≈2.35（米），
即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，
故选：B．
9．如图，点D是 OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．6
【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD，
∵S△ABD2，BD，
∴AE＝2，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2，
∴D的纵坐标为3，
设A（m，），则D（m﹣2，3），
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴km＝（m﹣2）×3，
解得m＝3，
∴km＝6．
故选：D．
10．如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA（n≥2的自然数）；当n＝2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2，a3，a4，…，a2010，则（　　）
A． B．2021054 C．2022060 D．
【解答】解：依题意设CP＝m，
∵P点横坐标为1，则C点横坐标为1﹣m，
即an＝1﹣m，
又∵tanA，
∴AC＝mn，则A（1﹣m，1+mn），
将A点坐标代入中，得（1﹣m）（1+mn）＝1，
1﹣m+mn﹣m2n＝1，
m（n﹣1﹣mn）＝0，
则n﹣1﹣mn＝0，
1﹣m，
则an＝1﹣m，即n，
∴2+3+4+…+2010
2021054．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　2　 ．
【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数，
∴m+2≠0，m2﹣5＝﹣1，
∴m＝2．
故答案为：2．
12．小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 　60　 米．
【解答】解：小红沿坡比为的斜坡上走了120米，设铅直距离为x，则水平距离为，
根据题意得：，
解得：x＝60，
∴她实际上升了60米，
故答案为：60．
13．对于反比例函数，当y≥4时，x的取值范围是　　 ．
【解答】解：当y＝4时，x，又∵k＝﹣10＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
故当y≥4时，x的取值范围是．
故答案为：．
14．如图，直线AB交双曲线y（x＞0）于点P，交x轴、y轴于点A、B，且AB＝PB，sin∠A，若OA＝1，则k值为　　 ．
【解答】解：因为sin∠A，
则令AB＝m，OB．
在Rt△OAB中，
12，
解得m（舍负），
所以OB，
则．
过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接PO，
因为AB＝BP，
所以．
因为PM⊥x轴，∠BOM＝90°，
所以PM∥y轴，
所以点O为AM的中点，
所以，
则．
又因为k＞0，
所以k．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连接AD，若∠CAD＝∠B，tan∠DAB，BD＝2，则线段AC的长为　　 ．
【解答】解：过点B作BE⊥AB，交AD的延长线与E，
∵∠ACB＝90°，BE⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠CDA＝∠CBE，
又∵∠CDA＝∠EDB，
∴∠CBE＝∠EDB，
∴DE＝BE；
∵tan∠DAB，设BE＝3k，AB＝4k（k≠0），
∴AE＝5k，DE＝3k，AD＝2k，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBA，
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CB＝CD：CA＝AD：AB，即CA：（CD）＝CD：AC＝2k：4k＝1：2，
∴AC＝2CD，2AC＝CD，
解得AC，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）cos60°﹣sin245°60°；
（2）sin45° cos45°+tan30° sin60°．
【解答】解：（1）cos60°﹣sin245°60°
（）2
；
（2）sin45° cos45°+tan30° sin60°
＝1．
17．在坐标平面内，A点的坐标为（20，0），OA＝2OB，，如图，求：
（1）B点的坐标；
（2）求tan∠OAB．
【解答】解：（1）作BC⊥OA，
∵A点的坐标为（20，0），
∴OA＝20，
∴OA＝2OB，
∴OB＝10，
∵sin∠AOB，
∴BC＝6，
∴OC8，
∴B点的坐标为（8，6）；
（2）∵OA＝20，OC＝8，
∴AC＝12，
∴tan∠OAB．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标．
【解答】解：（1）由条件可知m＝8×2＝16，
∴反比例函数的解析式为，
∵点B的横坐标为﹣4，
∴，
∴B（﹣4，﹣4），
由题目条件可知，，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞8；
（3）对于一次函数，令x＝0，可得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝24，
∴，
∴CD＝4，
∴D（0，2）或D（0，﹣6）．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，AC＝8，BD＝2，，BF交AD．求：
（1）AD的长；
（2）tan∠FBC的值．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∵BD＝2，
∴AB＝6，
∴；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
由（1）知，
由勾股定理得：，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝45°，
∴tan∠FBC＝tan45°＝1．
20．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【解答】解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG＝90°﹣53°＝37°，
则tan∠DFG，
∵DF＝4米，
∴DG＝4×tan37°≈4×0.75＝3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG＝AD+DG＝2.7+3＝5.7（米），
又sin∠ACG＝sin37°，
则CG9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
21．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8°
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
【解答】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m，
∵在Rt△EFG中，，
∴，
∴EG＝14×0.93＝13.02m，
在Rt△MNG中，，
∴，
∴MG＝1lm，
∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m，
答：校徽的高度约为2.02m．
22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y（x＞0）的图象经过点D且与边AB交于点E，连接DE．
（1）如图1，若点D是CB的中点，求E点的坐标；
（2）如图2，若直线DE与x轴、y轴分别交于点M，N，连接AC，
①求证：DE∥AC；
②求DM EN的值；
（3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′；
①当点B′落在矩形OABC内部时，求k的取值范围；
②连接CB′，直接写出CB′的最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥x轴，AB∥y轴，
∵B（4，6），D是CB的中点，
∴D（2，6），
∵双曲线y经过点D（2，6），
∴k＝xy＝2×6＝12，
∴y，
当x＝4时，y3，
∴点E的坐标为（4，3）．
（2）①证明：如图2，∵点D、点E都在双曲线y上，
∴D（，6），E（4，），
∴BD＝4，BE＝6，
∴1，1，
∵，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC．
②MN∥AC，AM∥CD，CN∥AE，
∴四边形AMDC和四边形AENC都是平行四边形，
∴DM＝EN＝AC2，
∴DM EN＝2252，
∴DM EN的值是52．
（3）①如图3，连接AC、BB′交于点I，BB′交DE于点F，
∵D（，6），
∴k随x的增大而增大，
∴当点B′在y轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大，
∵DE垂直平分BB′，DE∥AC，
∴∠BFD＝∠BIC＝∠BIA＝90°，
∴∠B′BC＝∠BAC＝90°﹣∠ABB′，
∴B′C＝BC tan∠B′BC＝BC tan∠BAC＝4，
∵B′C2+CD2＝B′D2，且B′D＝BD＝4﹣CD，
∴（）2+CD2＝（4﹣CD）2，
∴CD，
∴D（，6），
∴k＝xy6；
若点D与点B重合，则k＝xy＝4×6＝24，
∴k的取值范围是k＜24．
②如图4，连接AC、BB′，BB′交DE于点F，
∵∠B′BC＝∠BAC，
∴∠B′BC的度数为定值，
∴点B′在经过点B且与AC垂直的直线上运动，
∴当点B′落在AC上时，即CB′⊥BB′时，CB′的值最小，
∵∠BB′C＝90°，
∴CB′＝BC sin∠B′BC＝BC sin∠BAC＝4，
∴CB′的最小值为．
23．如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于D，E两点．
【背景问题】（1）如何求点D和点E的坐标呢!根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决：
解：联立两表达式得到方程组
把①代入②中得：，
由于x≠0，在方程两边同时乘以x，得：（请你继续完成解题过程）
【深入探究】（2）若将一次函数y＝﹣2x+6的图象l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点：
【知识应用】（3）点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当△DEC的面积最小时，求OC的长度．
【拓展延伸】（4）点P是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点P关于原点对称的点P，以PP'为斜边作等腰直角三角形MPP'，点M在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点P的运动过程中等腰直角三角形MPP'是否能成为直线DE的关联三角形？若能，直接写出此时点P坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数 的图象相交于D，E两点，
∴联立两表达式得到方程组 ，
把①代入②中得：，
由于x≠0，在方程两边同时乘以x，得﹣2x2+6x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝1，
经检验x1＝2，x2＝1 是原方程的解，
∴点D（1，4），E（2，2）；
（2）∵一次函数解析式为y＝﹣2x+6，
将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移m（m＞0）个单位的解析式为y＝﹣2x+6﹣m，
∴联立两表达式得到方程组得 ，
解得：﹣2x2+（6﹣m）x﹣4＝0，
∵直线与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ＝（6﹣m）2﹣4×（﹣2）×（﹣4）＝m2﹣12m+4＝0，
解得：m1＝6，m2＝6，
∴当 或 时，
直线l与双曲线有且只有一个交点；
（3）解：如图所示，
∵点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，线段DE的长度固定不变，
∴当直线y＝﹣2x+6向下平移m（m＞0）个单位后与第三象限的反比例图象且只有一个交点，且该交点为点C时，△DEC 的面积最小，
由（2）可得当 时， 与 在第三象限有1个交点即点C，
令，
解得：，
将代入得，，
∴，
∴，
（4）解：由题意，点P在第一象限，点P'，在第三象限，M在第四象限，y＝﹣2x+6经过一、二、四象限，则PM⊥DE，PP'⊥DE均不存在，
∴当P'M⊥DE时，则PM∥DE，如图所示，
过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵△P'PM是等腰直角三角形，
∴OM＝OP，∠POM＝90°，
∵∠QON＝∠POM＝90°，
∴∠QOP＝∠NOM，
又∵∠PQO＝∠MNO＝90°，
∴△QOP≌△NOM（AAS）
∴OP＝NM，OQ＝ON，
设 ，则 ，
设直线PM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∵PM∥DE，
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
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