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【2025.10.9】初四上数学月考试卷-张店九中
一．选择题（共10小题）
1．下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．120tan10°米 D．120sin10°米
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　）
A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定
5．已知反比例函数图象上三点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
6．如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，sin∠CPN的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
8．一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（　　）
A．50km B．40km C．30km D．
如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点E，F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE，OF，EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②四边形AEGD与△FOG面积相等；③若EF＝CF+AE＝4，k＝8；④若∠EOF＝60°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共5小题）
11．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 　 　 ．
12．已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则a等于 　 　 ．
13．如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面0.8米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度i＝1：10，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是　 　 米．
14．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数y的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为　 　 ．
15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C，tan∠BA3C...，依此规律写出tan∠BA7C，则n的值为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°﹣3tan45°+4cos60°； （2）5sin30°+2cos245°﹣4tan260°．
17．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积； （2）求AB的值； （3）求cos∠ABC的值．
18．列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与邻分自变量与函数值的对应关系：
x a 1
2x+b a 1 ③
① ② 7
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在的图象上方时，直接写出x的取值范围．
19．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在y轴上，若△OAM和△OAB的面积相等，求点M的坐标．
20．【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝100米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，画出示意图1，
【问题解决】（1）求A，P两点间的距离．（结果保留整数）
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可，乙小组的方案用到了　 　 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
21．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第10分钟时消毒效果为　 　 效力；
（2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
22．如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M．
（1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求α的值；
（2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树MN的高度．（注：tan37°，sin37°，cos37°）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点E的坐标；
（3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使∠PAB＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【2025.10.9】初四上数学月考试卷-张店九中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C C A B D A B
一．选择题（共10小题）
1．下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项符合题意；
C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AC＝5，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．120tan10°米 D．120sin10°米
【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°，
∵sinA，
∴BC＝AB sinA＝120sin10°（米），
故选：D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　）
A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定
【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，
∴∠A的大小不变，
∴sinA的值不变，
故选：C．
5．已知反比例函数图象上三点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
【解答】解：反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
∴0＞y1＞y2，y3＞0，
∴y3＞y1＞y2；
故选：C．
6．如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，sin∠CPN的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取格点Q，连接QM，CQ，
∵由网格图可知，CQ∥AN，
∴∠CPN＝∠QCM，
∵，
，
，
∴CQ2＝QM2+CM2，
∴△QCM是直角三角形，∠CMQ＝90°，
∴，
故选：A．
7．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵点A，B分别在反比例函数和的图象上，
设点A（a，b），B（c，d），
∴k1＝ab，k2＝cd，
∵，
∴，
∴cd﹣ab＝5，
∴k2﹣k1＝5，
故选：B．
8．一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题知，
由A选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＞0；
由A选项中反比例函数的图象可知，mn＜0，
所以A选项不符合题意；
由B选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0；
由B选项中反比例函数的图象可知，mn＞0，
所以B选项不符合题意；
由C选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＜0；
由C选项中反比例函数的图象可知，mn＞0，
所以C选项不符合题意；
由D选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0；
由D选项中反比例函数的图象可知，mn＜0，
所以D选项符合题意；
故选：D．
9．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（　　）
A．50km B．40km C．30km D．
【解答】解：如图，
由题意可知，∠FAB＝60°，∠EBC＝30°，AB＝30km，BC＝40km，AF∥DE，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝∠FAB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝90°，
在Rt△ABC中，
AC50（km），
答：A，C两港之间的距离为50km．
故选：A．
10．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点E，F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE，OF，EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②四边形AEGD与△FOG面积相等；③若EF＝CF+AE＝4，k＝8；④若∠EOF＝60°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵点E、F都在反比例函数的图象上，
∴，
即，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠OCF＝∠OAE＝90°，
∴CF＝AE
∴△OCF≌△OAE（SAS），
∴OF＝OE，①正确；
∵△OCF≌△OAE，
∴OF＝OE，CF＝AE，
∵四边形OABC是正方形，
∴CB＝AB，
∴BF＝BE，
∵EF＝CF+AE＝4，
∴CF＝AE＝2，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点E，F，
∴，③错误；
∵，
∴S△OFG+S△OGD＝S△OGD+S四边形AEGD，
∴S△OFG＝S四边形AEGD，②正确；
作FM⊥OE于点M，如图，
∵∠EOF＝60°，EF＝4，
∴△EFO为等边三角形，OM＝EM＝2，∠OFM＝30°，OF＝EF＝4，
在正方形OABC中，OC＝AB，CF＝AE，
∴BF＝BE，即△BFE为等腰直角三角形，
∴，
∵OF2＝OC2+CF2，
∴，
解得，
∴，
∴
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
故直线EF的解析式为；④正确；
故正确序号为①②④，
故选B．
二．填空题（共5小题）
11．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 　k＞3　 ．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴3﹣k＜0，解得k＞3．
故答案为：k＞3．
12．已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则a等于 　70°　 ．
【解答】解：∵2sin（α﹣10°），
∴sin（α﹣10°），
∵sin60°，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°，
故答案为：70°．
13．如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面0.8米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度i＝1：10，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是　8　 米．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
∵BC＝0.8，
∴AC＝10BC＝8，
故答案为：8．
14．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数y的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为　6　 ．
【解答】解：过E作EH⊥x轴于H，连接OE，设：CO＝a，CH＝b，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作AM⊥BN于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠EHC＝∠FCO＝90°，
∴∠OFC＝∠ECH，
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴CF＝CE，∴△CFO≌△CEH（AAS），
点F是BC的中点，则ON＝OC＝a，NB＝2OF＝2b，
同理△CNB≌△BMA（AAS），
则MA＝BN＝2b，MB＝CN＝2a，
AM＝2b＝ON＝a，故a＝2b，
点E（a+b，a），则a（a+b）＝12，而a＝2b，
解得：b，a＝2，
OA＝MN＝BM+BN＝2a+2b＝6，
故答案为：6．
15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C，tan∠BA3C...，依此规律写出tan∠BA7C，则n的值为　43　 ．
【解答】解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，，A4C，
∴△BA4C的面积，
∴，
∴．
∴，
∴，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+17＝32﹣3+1．
∴，
∴，
∴n＝43．
故答案为：43．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°﹣3tan45°+4cos60°；
（2）5sin30°+2cos245°﹣4tan260°．
【解答】解：（1）原式＝23×1+4
＝1﹣3+2
＝0；
（2）原式＝52×（）2﹣4×（）2
1﹣12
．
17．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC44．
∴S△ABCBC×AD6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC．
18．列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与邻分自变量与函数值的对应关系：
x a 1
2x+b a 1 ③
① ② 7
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在的图象上方时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴，
解得：，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，，即k＝7，
∴反比例函数为：，
当时，，
当y＝1时，x＝a＝﹣2，
当x＝﹣2时，，
补全表格如下：
x ﹣2 1
2x+b ﹣2 1 7
﹣2 7
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1；
19．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在y轴上，若△OAM和△OAB的面积相等，求点M的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，由条件可得，解得k1＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，可解得a＝1，
∴B（3，﹣2），
设一次函数的解析式为y＝k2x+b，由条件可得
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）当y＝0时，可得0＝﹣2x+4，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∴，
∵S△OAM＝S△OAB，
∴，
∴OM＝16，
∴点M的坐标为M（0，16）或M（0，﹣16）．
20．【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，画出示意图1，
【问题解决】（1）求A，P两点间的距离．（结果保留整数）
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可，乙小组的方案用到了　②　 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【解答】解：（1）如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，
∴AH＝AB cos79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴tan∠APB＝tan37°0.75，
∴PH78.4（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
解法二：如图，过点A作AM⊥PB于点M．
在Rt△AMB中，AM＝AB sinB＝54（m），
在RtAMP中，AP89.8（m）．
【交流研讨】∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②．
故答案为：②．
21．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第10分钟时消毒效果为　3　 效力；
（2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【解答】解：（1）根据图象知，当10分钟时，效力为3，
故答案为：3．
（2）当10≤x≤30时，
设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，由题意可得：
，
∴，
所以．
当x≥30时，
设反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得m＝180，
故．
（3）∵，，
∴当y＝4时，；
当y＝4时，；
持续时长为．
故本次消毒有效．
22．如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M．
（1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求α的值；
（2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树MN的高度．（注：tan37°，sin37°，cos37°）
【解答】解：（1）如图1，α＝90°﹣53°＝37°；
（2）如图，过点A作AP⊥MN，垂足为P，则PN＝AB＝1.5米．设MN＝x米．
在Rt△APM中，（米），
在Rt△MCP中，CP＝MP＝x﹣1.5（米），
∴（米），
解得x＝5.25．
答：树MN的高度为5.25米．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点E的坐标；
（3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使∠PAB＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在一次函数的图象上，
把点A（﹣1，m）代入得，，
∴，
∵点A（﹣1，m）在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，
联立方程组得，
解得或，
∴；
（2）设E（a，0）（a＞0），
∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上，
∴、，
①若E为FG的中点，
∴，
整理得，a2﹣a+2＝0，方程无解，
∴该情况不存在；
②若F为EG的中点，如图1，
∴，
整理得a2﹣a﹣4＝0，
解得或（舍去），
∴；
③若G为EF的中点，如图2，
∴，
整理得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点E的坐标为或；
（3）在该反比例函数图象上存在点P，使∠PAB＝∠ACO；理由如下：
∵一次函数的图象与x轴交于点C，
把y＝0代入得，
解得x＝1，
∴C（1，0），
∵，
∴，
∴∠ACO＝60°，
∵点P在反比例函数图象上，
设，
当点P在直线AC左侧时，如图3，过点A作AN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥AN交NA延长线于点M，连接AP，
∵AN∥OC，
∴∠CAN＝∠ACO＝60°，
∵∠PAB＝∠ACO＝60°，
∴∠MAP＝60°，
在Rt△AMP中，，
解得b＝﹣2或b＝﹣1（舍去），
∴；
当点P在直线AC右侧时，
∵∠NAB＝60°，
∴当∠PAB＝∠ACO＝60°时，点P在AN的延长线上，
∴此种情况不存在，
综上所述，点P坐标为．

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