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【2025.10.9】初三上数学月考试卷-重庆路中学
一．选择题（共10小题）
1．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B．2x2+2x＝2x2（1）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
2．把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（　　）
A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4
3．下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数
4．将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
6．将分式的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（　　）
A． B． C． D．
7．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．对于任意整数n，多项式（n+11）2﹣（n+2）2都能被（　　）整除．
A．9 B．2 C．11 D．n+9
9．市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A．甲先做了4天 B．甲乙合做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合做了工程的
10．若有前后依次排列的两个整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B作差后得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次进行作差，然后化简得到新的整式．则下列说法错误的是（　　）
A． B．C10＝C14 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．分式，的最简公分母是 　 　 ．
12．若关于x的二次三项式x2+mx+16可以用完全平方公式因式分解，则m的值为　 　 ．
13．若，则　 　 ．
14．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则代数式x3﹣2x2+2023的值为 　 　 ．
15．关于x的方程的解是 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．因式分解：（1）5x2y2+10xy2z-15x2yz； （2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
17．解分式方程：（1）； （2）．
18．先化简，再选择一个你喜欢的数求值，（1）．
19．已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）
∴．订正：∴△ABC是直角三角形．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
20．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．（单位：cm）
（1）观察图形，并解答问题：
①代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　 ；
②若长方形纸板面积为108cm2，每块小长方形的面积为10cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（2）若再给一块边长都为n的小正方形，和两块长为m、宽为n的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式2m2+7mn+3n2进行因式分解．
21．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
22．某中学有库存1800套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲，乙两个木工组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的，甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天，甲木工组每天的修理费用是600元，乙木工组每天的修理费用是800元．
（1）求甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数；
（2）现有三种修理方案供选择：方案一，由甲木工组单独修理这批桌凳；方案二，由乙木工组单独修理这批桌凳；方案三，由甲，乙两个木工组共同合作修理这批桌凳．请计算说明哪种方案学校付的修理费最少．
23．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A，B，A﹣B2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）分式M是分式N的“雅中式”,则M关于N的“雅中值”为 .
（2）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（3）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
【2025.10.9】初四上数学月考试卷-重庆路中学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B D C D A B B
一．选择题（共10小题）
1．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
2．把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（　　）
A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
则C＝3．
故选：B．
3．下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当x＝2时，的值为零
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
【解答】解：A、当x＝2时，无意义，故A错误；
B、当x≠0时，有意义，故B错误；
C、当x＝2时，得整数值，故C错误；
D、分母x2+1大于0，分子大于0，故无论x为何值，的值总为正数，故D正确．
故选：D．
4．将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．无法确定
【解答】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍得：
，
故选：B．
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）
＝3（x2﹣1）（a﹣b）
＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b）．
∵3对应“中”，x+1对应“国”，x﹣1对应“爱”，a﹣b对应“你”，
∴最后呈现的密码信息为：中国爱你．
故选：D．
6．将分式的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：分式．故选C．
7．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故选：D．
8．对于任意整数n，多项式（n+11）2﹣（n+2）2都能被（　　）整除．
A．9 B．2 C．11 D．n+9
【解答】解：多项式（n+11）2﹣（n+2）2＝[（n+11）+（n+2）][（n+11）﹣（n+2）]＝9（2n+13），
∵n为整数，∴2n+13为整数，
则多项式（n+11）2﹣（n+2）2都能被9整除．
故选：A．
9．市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A．甲先做了4天 B．甲乙合做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合做了工程的
【解答】解：由题意：，可知甲做了4天，乙做了x天．
由此可以推出，开始他们合做了4天，
故条件③是甲乙合做了4天．
故选：B．
10．若有前后依次排列的两个整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B作差后得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次进行作差，然后化简得到新的整式．则下列说法错误的是（　　）
A．
B．C10＝C14
C．
D．
【解答】解：由题意依次计算可得：
C1＝B﹣A＝x+1，
C2＝x+1﹣x2+x＝﹣x2+1，
C3＝﹣x2+1﹣x﹣1＝﹣x2﹣x，
C4＝﹣x2﹣x+x2﹣1＝﹣x﹣1，
C5＝﹣x﹣1+x2+x＝x2﹣1，
C6＝x2﹣1+x+1＝x2+x，
C7＝x+1，
以此类推，6个一循环，
A、C6＝x2﹣1+x+1＝x2+x，选项计算正确，不符合题意；
B、C10＝C4＝﹣x﹣1，C14＝C2＝﹣x2+1，选项计算错误，符合题意；
C、∵C9＝C3＝﹣x2﹣x，
∴C9﹣C4＝C3﹣C4＝﹣x2﹣x+x+1＝﹣x2+1，选项计算正确，c符合题意；
D、∵C2024＝C2＝﹣x2+1，C2023＝C1＝x+1，C2021＝C5＝x2﹣1，＝﹣x2﹣x，C2029＝C1＝x+1，
∴原式
＝1﹣x+x﹣1
＝0，
选项计算正确，不符合题意．
故选：B．
三．填空题（共5小题）
11．分式，的最简公分母是 　12x2y2　 ．
【解答】解：分式，的最简公分母为12x2y2．
故答案为：12x2y2．
12．若关于x的二次三项式x2+mx+16可以用完全平方公式因式分解，则m的值为　 ±8 ．
【解答】解：由题意知，m＝±8，
故答案为：±8．
13．若，则　5　 ．
【解答】解：∵x+y＝﹣2xy，
∴原式
＝5．
故答案为5．
14．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则代数式x3﹣2x2+2023的值为 　2022　 ．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴x﹣x2＝﹣1，
∴x3﹣2x2+2023
＝x3﹣x2﹣x2+2023
＝x（x2﹣x）﹣x2+2023
＝x﹣x2+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故答案为：2022．
15．关于x的方程的解是 　 x＝50 　 ．
【解答】解：已知方程整理得：（），
即，
移项，去分母得：3x＝x+100
解得：x＝50
经检验x＝50
故答案为：x＝50
四．解答题（共8小题）
16．因式分解：（1）5x2y2+10xy2z-15x2yz； （2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
【解答】解：（1）原式＝5xy（xy+2yz-3xz）；
（2）原式＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
17．解分式方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：2x﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
则x＝1是增根，
∴原方程无解；
（2），
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）2+4＝x2﹣4，整理得：﹣4x+4+4＝﹣4，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原方程的解为x＝3．
18．先化简，再选择一个你喜欢的数求值，（1）．
【解答】解：（1）
，
当x＝2时，原式．
19．已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）
∴．订正：∴△ABC是直角三角形．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）
∴c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0．故a＝b或c2＝a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
20．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．（单位：cm）
（1）观察图形，并解答问题：
①代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　（2m+n）（m+2n）　 ；
②若长方形纸板面积为108cm2，每块小长方形的面积为10cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（2）若再给一块边长都为n的小正方形，和两块长为m、宽为n的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式2m2+7mn+3n2进行因式分解．
【解答】解：（1）①由面积相等，得2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）；
②∵长方形纸板面积为108cm2，每块小长方形的面积为10cm2，
∴2m2+5mn+2n2＝108，mn＝10，
∴m2+n2＝29，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴（m+n）2＝49，
∵m+n＞0，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为：2（m+2n+2m+n）＝6（m+n）＝42（cm）；
（2）如图，
2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）．
21．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
【解答】解：（1）把x＝5代入得，，
解得a＝﹣1；
（2），
两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
综上可知，a＝2；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，
当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，
综上可知，a＝﹣3或a＝2．
22．某中学有库存1800套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲，乙两个木工组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的，甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天，甲木工组每天的修理费用是600元，乙木工组每天的修理费用是800元．
（1）求甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数；
（2）现有三种修理方案供选择：方案一，由甲木工组单独修理这批桌凳；方案二，由乙木工组单独修理这批桌凳；方案三，由甲，乙两个木工组共同合作修理这批桌凳．请计算说明哪种方案学校付的修理费最少．
【解答】解：（1）设甲木工组单独修理这批桌凳的天数为x天，则乙木工组单独修理这批桌凳的天数为（x﹣10）天；
根据题意得，
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的解．
∴x﹣10＝20．
答：甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数分别为30天，20天；
（2）方案一：甲木工组单独修理这批桌凳的总费用：600×30＝18000（元）．
方案二，乙小组单独修理，则需总费用：800×20＝16000（元）．
方案三，甲，乙两个木工组共同合作修理需1÷（）＝12（天）．
总费用：（600+800）×12＝16800（元）．
通过比较看出：选择第二种方案学校付的修理费最少．
23．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A，B，A﹣B2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）分式M是分式N的“雅中式”,则M关于N的“雅中值”为 .
（2）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（3）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
【解答】解：（1），M关于N的“雅中值”为3
（2）∵C，D，
∴C﹣D
，
∴C不是D的“雅中式”；
（3）P关于Q的“雅中值”是2，
∵P﹣Q＝2，
∴，
去分母，将等式两边同时乘以9﹣x2，得：E﹣2x（3+x）＝2（9﹣x2），
∴E＝18+6x，
∴P，
∵x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3﹣x是6的因数，
∴3﹣x的值可能是：±1，±2，±3，±6，
由3﹣x＝1，解得：x＝2，
由3﹣x＝﹣1，解得：x＝4，
由3﹣x＝2，解得：x＝1，
由3﹣x＝﹣2，解得：x＝5，
由3﹣x＝3，解得：x＝0，
由3﹣x＝﹣3，解得：x＝6，
由3﹣x＝6，解得：x＝﹣3，
由3﹣x＝﹣6，解得：x＝9，
根据分式的意义可知：9﹣x2≠0，
∴x≠±3，
∴x的值为：2，4，1，5，0，6，9，
∴2+4+1+5+0+6+9＝27．

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