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【2025.10.9】初三上数学月考试卷-齐盛中学
一．选择题（共10小题）
1．多项式ma2﹣mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
3．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定
5．将分式方程3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
6．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为（　　）
A．10 B．21 C．9 D．49
7．若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
8．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运x h可以完成后一半任务，则根据题意，下列所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知a、b、c是三角形的三边，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
10．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：y3+4y2＝　 　 ．
12．若分式的值为0，则x的值为 　 ．
13．若4y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为 　 　 ．
14．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　 　 ．
15．已知对于正数x，我们规定：f（x），例如：f（2），则f（2023）+f（2022）+f（2021）+…+f（2）+f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）＝　 　 ．
三．解答题（共9小题）
16．因式分解：
（1）9x3﹣36x； （2）2a2﹣12a+18；
17．计算：
（1）； （2）．
18．解方程：
（1）2； （2）1＝0．
19．先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值．
20．为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢？请以两种加油方式各加油两次予以说明．
【分析问题】
“更合算”指的是两次加油后平均油价更低．由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升．
①两次加油，每次只加200元的平均油价为：　 　 元/升．
②两次加油，每次只加40升的平均油价为：　 　 元/升．
【解决问题】请比较两种平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
21．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
22．小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，反过来，则有x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程x2+5x+6＝0的解，小丽的解法如下：
因为，（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
又因为，x2+5x+6＝0，
所以，（x+2）（x+3）＝0，
所以，x+2＝0，或x+3＝0，
所以，x＝﹣2，或x＝﹣3，
所以，原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面小丽的方法解决下列问题：
（1）解方程：；
（2）解关于x的方程：（a，b是常数，且都不为零）；
（3）观察（1）（2）规律，解关于x的方程的两个解分别为x1，x2（其中k＞0，x1＞x2），请求的值．
23．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 　 　 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
【2025.10.9】初三上数学月考试卷-齐盛中学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B D B A A D D
一．选择题（共10小题）
1．多项式ma2﹣mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
【解答】解：多项式ma2﹣mb2的公因式是m，
故选：A．
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
3．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；
B、该分式的分子、分母中含有公因式a，则它不是最简分式，故本选项错误；
C、该分式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项正确；
D、该分式的分子、分母中含有公因式（b﹣a），则它不是最简分式，故本选项错误；
故选：C．
4．将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．无法确定
【解答】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍得：
，
故选：B．
5．将分式方程3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣2），
故选：D．
6．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为（　　）
A．10 B．21 C．9 D．49
【解答】解：由题意可得：a﹣b＝3，ab＝7，
则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝21．
故选：B．
7．若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【解答】解：（n+11）2﹣n2＝（n+11+n）（n+11﹣n）＝11（2n+11）．
∵11（2n+11）是11的倍数，
∴（n+11）2﹣n2可以被11整除，
∴k＝11．
故选：A．
8．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运x h可以完成后一半任务，则根据题意，下列所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵先用人工装运，7h完成了一半任务，
∴人工装运的工作效率为；
∵单独采用机械装运x h可以完成后一半任务，
∴机械装运的工作效率为．
根据题意得：（）×2．
故选：A．
9．已知a、b、c是三角形的三边，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：D．
10．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1
【解答】解：，
方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，
移项、合并同类项，得2ax＝3a+1，
∵方程无解，
∴2a＝0或2，
解得a＝0或a＝1．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：y3+4y2＝　y2（y+4）　 ．
【解答】解：原式＝y2（y+4），
故答案为：y2（y+4）
12．若分式的值为0，则x的值为　 -1 ．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
13．若4y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为 　±12　 ．
【解答】解：∵（2y±3）2＝4y2±12y+9，
∴若4y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为±12，
故答案为：±12．
14．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　m≥﹣5且m≠﹣3　 ．
【解答】解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，
系数化为1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解为非负数，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．
15．已知对于正数x，我们规定：f（x），例如：f（2），则f（2023）+f（2022）+f（2021）+…+f（2）+f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）＝　2022　 ．
【解答】解：由题干中已知条件可得f（x）+f（）＝1，f（1），
原式＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（2023）+f（）]
1+1+…+1
1×2022
＝2022，
故答案为：2022．
三．解答题（共8小题）
16．因式分解：
（1）9x3﹣36x；
（2）2a2﹣12a+18；
（3）（x+2）（x+4）+x2﹣4．
【解答】解：（1）9x3﹣36x
＝9x（x2﹣4）
＝9x（x+2）（x﹣2）；
（2）2a2﹣12a+18
＝2（a2﹣6a+9）
＝2（a﹣3）2；
（3）（x+2）（x+4）+x2﹣4
＝（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2）
＝（x+2）（x+4+x﹣2）
＝（x+2）（2x+2）
＝2（x+2）（x+1）．
17．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
＝1；
（2）原式
＝1．
18．解方程：
（1）2；
（2）1＝0．
【解答】解：（1）去分母得到：10﹣5＝4x﹣2，
解得：x，
经检验x是分式方程的解；
（2）去分母得：16﹣（x+2）2+x2﹣4＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
19．先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值．
【解答】解：原式＝[]



＝2（x+4）
＝2x+8；
又∵分母不能为0，
∴x不能取﹣2，0，2，
当x＝1时，原式＝2×1+8＝10．
20．为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢？请以两种加油方式各加油两次予以说明．
【分析问题】
“更合算”指的是两次加油后平均油价更低．由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升．
①两次加油，每次只加200元的平均油价为：　　 元/升．
②两次加油，每次只加40升的平均油价为：　　 元/升．
【解决问题】请比较两种平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
【解答】解：①两次加油，每次只加200元的平均油价为（200+200）÷（）＝400（元/升），
故答案为：；
②两次加油，每次只加40升的平均油价为（40x+40y）÷（40+40）（元/升），
故答案为：；
，
∵x、y为两次加油时的汽油单价，
∴x+y＞0，（x﹣y）2＞0，
∴0，
即，
结论：当x≠y时，每次加200元更合算．
21．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为（x+0.3）万元，根据题意得，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：m．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买充电桩方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
22．小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，反过来，则有x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程x2+5x+6＝0的解，小丽的解法如下：
因为，（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
又因为，x2+5x+6＝0，
所以，（x+2）（x+3）＝0，
所以，x+2＝0，或x+3＝0，
所以，x＝﹣2，或x＝﹣3，
所以，原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面小丽的方法解决下列问题：
（1）解方程：；
（2）解关于x的方程：（a，b是常数，且都不为零）；
（3）观察（1）（2）规律，解关于x的方程的两个解分别为x1，x2（其中k＞0，x1＞x2），请求的值．
【解答】解：（1），
方程两边同乘x，得x2+3＝4x，
x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x＝1，或x＝3，
检验：当x＝1或x＝3时，x≠0，
∴原方程的解为x1＝1，x2＝3．
（2），
方程两边同乘x，得x2+ab＝（a+b）x，
x2﹣（a+b）x+ab＝0，
（x﹣a）（x﹣b）＝0，
x﹣a＝0或x﹣b＝0，
∴x＝a，或x＝b，
检验：因为，a，b是常数，且都不为零，所以，当x＝a或x＝b时，x≠0，
∴原方程的解为x1＝a，x2＝b．
（3），
方程两边同乘（x﹣4），得x（x﹣4）+（2k2+5k+3）＝（3k+8）（x﹣4），
x2﹣（3k+12）x+（2k2+17k+35）＝0，
∴[x﹣（k+5）] [x﹣（2k+7）]＝0，
∴x﹣（k+5）＝0或x﹣（2k+7）＝0，
∴x＝k+5，或x＝2k+7，
检验：当x＝k+5或x＝2k+7时，x﹣4≠0，因为k＞0，
∴2k+7＞k+5，
∴原方程的解为x1＝2k+7，x2＝k+5，
∴．
23．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（1）可知2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36；
∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝100﹣36＝64，
∴．
（3）由题意知，BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，
∵S＝S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，
∴S＝CD BC﹣EH EF＝x 2a﹣b （x+b﹣3a），
即S＝2ax﹣bx﹣b2+3ab＝（2a﹣b）x﹣b2+3ab，
又∵S为定值，
∴2a﹣b＝0，即b＝2a．

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