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【2025.10.9】初三上数学月考试卷-龙凤苑中学
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
2．把多项式8a3b2+12ab3c分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．4ab B．4ab2 C．4a2b D．4a2b2
3．下列分式的变形正确的是（　　）
A． B．x+y C． D．a﹣1
4．下列各式中，分式的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．下列说法正确的是（　　）
A．是分式 B．分式的分子为0，则分式的值为0
C．将式子（a+b）÷c写成分数的形式是a D．对于任意实数，总有意义
6．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
7．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．已知x2+5x+1＝0，则x的值为（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
9．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
10．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若AE＝4DE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．若分式的值为0，则x的值为 　 　 ．
12．分解因式：2x2y4xy6y＝ 　 　 ．
13．计算：＝ 　 　 ．
14．若关于x的分式方程无解，则a的值为　 　 ．
15．已知，那么y2025的值为　 　．（　用含x的代数式表示　）
三．解答题（共9小题）
16．（10分）因式分解（1）﹣2m3+12m2﹣18m； （2）x2（m﹣n）+64（n﹣m）．
17．（10分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值．
18．（10分）解方程：（1）； （2）．
19．（10分）已知，整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），请将A+B﹣16进行因式分解．
20．（12分）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　 ；
（2）小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形 　 　 个，边长为n的小正方形 　 　 个，长为m、宽为n的小长方形 　 　 个；
（3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6n2；（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
（4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值．
21．（12分）“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题：
已知，求A、B的值．
解法一：
右边整理为
所以可得，即，解之得．
解法二：
当x＝0时，原等式整理为：，即：2A+B＝4
当x＝3时，原等式整理为：，即：A+2B＝5
所以：即，解之得．
请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一．
（1）若，请求出：M、N的值；
（2）若，请求出：C、D的值．
22．（13分）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝1，x2＝3；再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1＝　 　 ，x2＝　 　 ；
（2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值；
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，，x1＜x2），求的值．
23．（13分）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
【解决问题】
（1）例如：若a＞0，要比较、大小，只需要用，所以可得： 　 　 （填＞，＝，＜）；
（2）已知，，当x＞﹣1时，比较A与的大小，利用做差法说明理由；
（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（x≠y）．
①小王两次加油的平均单价为 　 　 元/升，小张两次加油的平均单价为 　 　 元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
【2025.10.9】初三上数学月考试卷-龙凤苑中学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D C D A C C C B B
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
2．把多项式8a3b2+12ab3c分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．4ab B．4ab2 C．4a2b D．4a2b2
【解答】解：8a3b2+12ab3c＝4ab2（2a2+3bc），
故选：B．
3．下列分式的变形正确的是（　　）
A． B．x+y
C． D．a﹣1
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列各式中，分式的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：，，是分式，共3个．
故选：C．
5．下列说法正确的是（　　）
A．是分式
B．分式的分子为0，则分式的值为0
C．将式子（a+b）÷c写成分数的形式是a
D．对于任意实数，总有意义
【解答】解：A、是分式，说法错误；
B、分式的分子为0，则分式的值为0，说法错误；
C、将式子（a+b）÷c写成分数的形式是a，说法错误；
D、对于任意实数，总有意义，说法正确；
故选：D．
6．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：4．
故选：A．
7．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【解答】解：原方程整理得：（m+2n）2+2（m+2n）+1＝0，
（m+2n+1）2＝0，
∴m+2n＝﹣1，
∴（m+2n）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：C．
8．已知x2+5x+1＝0，则x的值为（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【解答】解：由x2+5x+1＝0，得x2+1＝﹣5x，
则x5．
故选：C．
9．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【解答】解：∵， ，
∴和不是和谐分式，故A不符合题意；
∵， ，
∴和不是和谐分式，故B不符合题意；
∵， ，
∴ （），故C符合题意；
， ，
∴和不是和谐分式，故D不符合题意．
故选C．
10．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若AE＝4DE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可以假设DE＝y，则AE＝4y．设四个长方形的面积均为S，
∴EP，EN，
∴PQ＝4y﹣y＝3y，PN＝EN﹣EP，
∴
．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
12．若分式的值为0，则x的值为 　﹣3　 ．
【解答】解：因为分式的值为0，所以0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
12．分解因式：2x2y4xy6y＝ 　 　 ．
【解答】解：原式＝2y（x22x3）＝2y（x3）（x+1）．
故本题答案为：2y（x3）（x+1）．
13．计算：　 　 ．
【解答】解：原式
．
14．若关于x的分式方程无解，则a的值为　0.5或﹣1　 ．
【解答】解：原方程去分母得x+3a＝2a（x﹣3），
整理得：（2a﹣1）x＝9a，
当2a﹣1＝0，即a＝0.5时，
0x＝4.5，该方程无解，
则原分式方程无解，符合题意，
当2a﹣1≠0，即a≠0.5时，
若原方程无解，那么它由增根x＝3，
则3（2a﹣1）＝9a，
解得：a＝﹣1，
综上，a的值为0.5或﹣1，
故答案为：0.5或﹣1．
15．已知，那么y2025的值为　 　．（　用含x的代数式表示　）
【解答】解：∵，将y1代入，
可得，
∵，将y2代入，
可得，
∵y3＝2﹣x，将y3代入，
可得，
∴通过计算发现y1＝y4，这组式子的结果是以y1，y2，y3为一个周期循环的，周期为3，
∵2025÷3＝675，没有余数，
∴y2025是第675个周期的最后一个，与y3相等，
即y2025＝2﹣x，
三．解答题（共9小题）
16．因式分解
（1）﹣2m3+12m2﹣18m；（2）x2（m﹣n）+64（n﹣m）．
【解答】解：（1）原式＝﹣2m（m2﹣6m+9）＝﹣2m（m﹣3）2；
（2）原式＝（x2﹣64）（m﹣n）＝（x+8）（x﹣8）（m﹣n）．
17．（1）计算：．
【解答】解：原式＝[]
＝[]

．
（2）先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值．
【解答】解：
；
∵a≠﹣2且a≠﹣3，
∴当a＝﹣1时，原式．
18．解方程：
（1）；（2）．
【解答】解：（1）去分母，得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2），
去括号，得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是分式方程根；
（2）去分母，得（x+1）2﹣（x2﹣1）＝4，
去括号，得x2+2x+1﹣x2+1＝4，
合并同类项，得2x＝2，
化系数为1，得x＝1，
检验：当x＝1时x2﹣1＝0，
则x＝1是分式方程的增根，
故原方程无解．
19．已知，整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），请将A+B﹣16进行因式分解．
【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5，B＝ax﹣1，
∴A+B＝x（x+3）+5+ax﹣1＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4，
∵A+B＝（x+2）2，
∴3+a＝4，
解得a＝1；
（2）∵A＝x（x+3）+5，B＝ax﹣1，
∴A﹣B＝x（x+3）+5﹣ax+1＝x2+3x+5﹣ax+1＝x2+（3﹣a）x+6，
∵A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），
∴x2+（3﹣a）x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴3﹣a＝﹣5，
解得a＝8，
∴A+B﹣16＝x2+11x﹣12＝（x+12）（x﹣1）．
20．小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　（2m+n）（m+2n）　 ；
（2）小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形 　1　 个，边长为n的小正方形 　2　 个，长为m、宽为n的小长方形 　3　 个；
（3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6n2；（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
（4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值．
【解答】解：（1）观察图形得：大长方形的长为（2m+n），宽为（m+2n），
∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）．
（2）∵（m+2n）（m+n）＝m2+3mn+2n2，
∴小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个，如图所示：
故答案为：1，2，3．
（3）如图所示：
m2+5mn+6n2＝（m+2n）（m+3n）；
（4）依题意得：mn＝12，3m2+3n2＝75，
∴m2+n2＝25，
设m+n＝y，其中y＞0，
则y2＝（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49，
∵y＞0，
∴y＝7，
故得：m+n＝7．
21．“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题：
已知，求A、B的值．
解法一：
右边整理为
所以可得，即，解之得．
解法二：
当x＝0时，原等式整理为：，即：2A+B＝4
当x＝3时，原等式整理为：，即：A+2B＝5
所以：即，解之得．
请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一．
（1）若，请求出：M、N的值；
（2）若，请求出：C、D的值．
【解答】解：（1）解法二：
当x＝0时，原等式整理为：，即：3M+4N＝0，
当时x＝1，原等式整理为：，即：M+5N＝11，
所以：即，解之得：；
（2）解法一：
右边整理为：
，
所以可得：，
即，
解之得：．
22．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝1，x2＝3；再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1＝　﹣2　 ，x2＝　﹣4　 ；
（2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值；
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，，x1＜x2），求的值．
【解答】解：（1）∵为十字分式方程，
∴可化为：x（﹣2）+（﹣4），
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
故答案为：﹣2；﹣4；
（2）∵方程为十字分式方程，
∴可化为：x3+2，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
∴m＝﹣3，n＝2．
∴．
（3）∵方程是十字分式方程，
∴可化为x﹣2k+2k+1，
∵k，x1＜x2，
∴x1﹣2＝2k+1，x2﹣2＝﹣k．
∴x1＝2k+3，x2＝2﹣k．
∴原式2．
23．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
【解决问题】
（1）例如：若a＞0，要比较、大小，只需要用，所以可得： 　＞　 （填＞，＝，＜）；
（2）已知，，当x＞﹣1时，比较A与的大小，利用做差法说明理由；
（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（x≠y）．
①小王两次加油的平均单价为 　　 元/升，小张两次加油的平均单价为 　　 元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
【解答】解：（1）
∵a＞0，
∴a+1＞1，
∴0，即0．
故答案为：＞．
（2）A．理由如下：
A
．
∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴0，
∴A．
（3）①根据题意，小王两次加油的平均单价为；
设小张的油箱容积为m升，则小张两次加油的平均单价为．
故答案为：，．
②
．
∵x＞0，y＞0，
∴0，
∴，
∴小王和小张的两种加油方式中，小王的加油方式平均单价更低．

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