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椭圆的定义及标准方程练习题
一、选择题
1．方程表示的轨迹是( )
A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
2．已知A是椭圆上的一点，，分别是椭圆E的左，右焦点，则( )
A.6 B.4 C.3 D.2
3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若，则( )
A. B. C. D.
4．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点B在椭圆C上，且，D，E分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆C的焦点为，，过的当线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为( )
A. B. C. D.
6．方程的化简结果是( )
A. B. C. D.
7．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
8．点,为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得,则椭圆C方程可以是( )
A. B. C. D.
9．已知F为椭圆的一个焦点，A,B为该椭圆的两个顶点，若，，则满足条件的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
三、解答题
10．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
（2）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
参考答案
1．答案：A
解析：,
方程可表示平面内点到点与点的距离之和为2的图形,
此时,
方程表示的轨迹是线段,
故选:A.
2．答案：A
解析：椭圆，则，
又A是椭圆上的一点，
所以.
故选：A
3．答案：D
解析：由题意可知，，，所以，
由椭圆的定义可知，，
又，所以，，
所以．
故选：D
4．答案：B
解析：如图，作轴于点G，则，
所以，故，
，所以，
代入椭圆方程整理得：，
因为D，E分别是，的中点，
所以，，，
故，
又由椭圆定义，，
所以，故，代入①可求得，
所以，故椭圆C的方程为.
5．答案：B
解析：设，则，，，，由椭圆的定义知，
所以.
在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
即②，
由①②得，
所以，，所以.
故椭圆C的方程为.故选B.
6．答案：B
解析：根据题意可知，方程所表示的是点到定点和的距离之和为10，且，
则由椭圆定义可得，方程可化简为.故选B.
7．答案：D
解析：如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆C的方程为，
故选：D.
8．答案：AC
解析：设椭圆方程为,
设椭圆上顶点为B,椭圆上存在点,使得,
则需,
,
即,,,
则,所以选项AC满足.
故选:AC.
9．答案：BCD
解析：由题意，对A，B两个顶点的位置分类讨论：
(Ⅰ)若B为右顶点，A为上或下顶点时，
F为左焦点，，可得
，解得，又，
故椭圆E的方程为，故B正确；
(Ⅱ)若B为右顶点，A为左顶点时，
F为左焦点，，
得，解得，又，
故椭圆E的方程为，故C正确；
(Ⅲ)若B为左顶点，A为上或下顶点时，
F为左焦点，，
可得，又，方程无解，即不存在此情形；
(Ⅳ)若B为左顶点，A为右顶点时，
F为左焦点，，
可得，又，，方程无解，即不存在此情形；
(Ⅴ)若B为上或下顶点，A为左顶点时，
F为左焦点，，
，解得，又，故椭圆E的方程为，故D正确；
(Ⅵ)若B为上或下顶点，A为右顶点时，
F为左焦点，，
可得，又，，方程无解，即不存在此情形；
综上所述：椭圆方程为或或故选：BCD.
10．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知，，，，，从而，，
又焦点在y轴上，椭圆的标准方程是.
（2）因为椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为，
椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，
，又，，，
所求椭圆的标准方程为.

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