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对数函数 专项训练
一、单项选择题
1.函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(-)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.[-]
D.(-,0)∪(0,)
2.函数f(x)=log0.2(1-x2)的单调递增区间为(　　)
A.(-1,0]
B.(-1,1)
C.[0,1)
D.[0,+∞)
3.已知a=40.3,b=,c=log4(log4a),则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
4.函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)与函数g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(　　)
5.已知函数f(x)=log2x+log2(4-x),则(　　)
A.f(x)在(0,4)内单调递减
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(2,0)中心对称
D.f(x)的最大值为2
6.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 024x+log2 024x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为(　　)
A.1
B.3
C.2
D.2 024
二、多项选择题
7.关于函数f(x)=lg(-1),下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的定义域为(-1,1)
B.f(x)的函数图象关于y轴对称
C.f(x)的函数图象关于原点对称
D.f(x)在(0,1)上单调递增
8.函数f(x)=loga|x-1|(a>0,且a≠1)在(0,1)内是减函数,那么(　　)
A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值
B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值
C.f(x)在定义域内是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
9.已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则(　　)
A.f(ln 2)=ln
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
三、填空题
10.函数f(x)=log2·log (2x)的最小值为　　　.
11.已知函数f(x)=lg(+x)+a,且f(ln 3)+f(ln)=1,则a=　　　　　.
12.已知函数f(x)满足①f(x)+f()=0;②在定义域内单调递增.请写出一个符合条件①②的函数的解析式　　　　　.
四、解答题
13.(13分)已知函数y=f(x),其中f(x)=b+logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数的解析式;
(2)令g(x)=2f(x+1)-f(x),求g(x)的最小值及取最小值时x的值.
14.(15分)已知函数y=f(x),其中f(x)=lo.
(1)求证:y=f(x)是奇函数;
(2)若关于x的方程f(x)=lo(x+k)在区间[3,4]上有解,求实数k的取值范围.
15.(15分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.
答案
1.D　∵函数f(x)=,解得x∈(-,0)∪(0,).故选D.
2.C　由函数f(x)=log0.2(1-x2),则函数f(x)的单调递增区间满足解得0≤x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为[0,1).故选C.
3.A　因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1,且0.34>0,且0b>c,故选A.
4.B　g(x)=(a-1)x2-ax过原点,排除AC;当05.D　由f(x)=log2x+log2(4-x)知即06.B　当x>0时,令f(x)=0,即2 024x=-log2 024x,
在同一坐标系中作出函数y1=2 024x,y2=-log2 024x的示意图,如图,
函数y1=2 024x为增函数,y2=-log2 024x为减函数,可知两个函数图象有且只有一个交点P,横坐标记为x0,即当x>0时,方程f(x)=0有且只有一个实根x0.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根-x0.又因为f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,所以0也是方程f(x)=0的根.综上所述,方程f(x)=0有3个实根,故选B.
7.ACD　因为f(x)=lg(-1)=lg,则>0,解得-18.AD　因为函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)内是减函数,所以f(x)=loga(1-x)在(0,1)内为减函数,而y=1-x是减函数,故a>1,所以当x>1时,f(x)=loga(x-1),而y=x-1是增函数,且a>1,则f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值,故A正确,B错误;又f(-x)= loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),故C错误;因为f(2-x)=loga|2-x-1|=loga|x-1|=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确.
9.ACD　f(ln 2)=ln(e2ln 2+1)-ln 2=ln,A正确;f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln=ln(ex+e-x),所以f(-x)=ln(ex+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;当x>0时,y=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln 2,D正确.
10.-　依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=(log2x+)2--,
当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数f(x)的最小值为-
11　∵f(-x)+f(x)=lg[-x]+a+lg(+x)+a=2a,
∴f(ln 3)+f(ln)=f(ln 3)+f(-ln 3)=2a=1,∴a=
12.f(x)=ln x(答案不唯一)　取f(x)=ln x,则f(x)+f()=ln x+ln=ln x-ln x=0,满足①;因为e>1,所以f(x)=ln x在定义域(0,+∞)内单调递增,满足②,故符合条件①②的函数的解析式可以为f(x)=ln x.
13.解 (1)由已知,得解得故f(x)=log2x-1.
(2)由于g(x)=2f(x+1)-f(x)=2[log2(x+1)-1]-(log2x-1)=log2-1=log2(x++2)-1(x>0),故g(x)=log2(x++2)-1≥log2(2+2)-1=1.于是,当x=1时,g(x)取得最小值1.
14.(1)证明 函数y=lo的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),f(-x)=lo=lo
=lo)-1=-f(x).
因此,y=lo是奇函数.
(2)解 f(x)=lo(x+k)等价于x+k=,即k=-x=-x+1在[3,4]上有解.记g(x)=-x+1,因为g(x)在[3,4]上为减函数,
所以g(x)max=g(3)=2,g(x)min=g(4)=-1,故g(x)的值域为[-1,2],实数k的取值范围为[-1,2].
15.解 (1)h(x)=(4-2log2x)log2x=2-2(log2x-1)2.
因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,令t=log2x,
因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15,因为4t+12,当且仅当4t=,即t=时等号成立,所以4t+-15的最小值为-3,所以k<-3.综上,实数k的取值范围为(-∞,-3).

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