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函数的单调性与最值 专项训练
一、单项选择题
1.下列函数中,在(0,2)内单调递增的是(　　)
A.f(x)= B.f(x)=x2-2x
C.f(x)= D.f(x)=
2.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是(　　)
A. B.-
C.-2 D.2
3.对于任意的实数x,已知函数f(x)=则f(x)的最大值是(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.若函数f(x)=ln [(a-1)x+1]在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.[,1)
C.[,1) D.(,1)
5.设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0A.(-∞,1) B.(-2,1)
C.(1,+∞) D.(1,4)
6.已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且当x1,x2∈(0,π)时,有>0,设a=f(),b=f(-2),c=f(3),则(　　)
A.aC.a7.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
8.已知max{a,b}表示取a和b中较大的数.若对任意x∈R,函数f(x)=max{-x+3,x+,x2-4x+3},则f(x)的最小值为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
二、多项选择题
9.如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是(　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.<0
10.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在R上为增函数
B.f(e)>f(2)
C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0
D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]
11.在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则(　　)
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
三、填空题
12.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a-1,若对于任意x1∈[,1],存在x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是　　　　　.
13.若正数a,b满足2a-4b=log2b-log2a,则a与2b的大小关系为　　　.
四、解答题
14.(13分)已知函数f(x)=ax-(a>0),且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a),求g(a)的最小值.
15.(13分)已知函数f(x)=.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域;
(2)证明函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.
16.(15分)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件:
①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);②当x>1时,f(x)<0;③f(2)=-1.
(1)求f(1)和f()的值;
(2)试用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(3)求满足f(4x3-12x2)+2>f(18x)的x的取值集合.
答案
1.D　对于A,f(x)=,其定义域为[1,+∞),不符合题意;对于B,f(x)=x2-2x,在(0,1)内为减函数,在(1,2)内为增函数,不符合题意;对于C,f(x)=在(0,2)上单调递减,不符合题意;对于D,f(x)=,在(0,2)上单调递增,符合题意.故选D.
2.A　因为f(x)在[-2,-]上是减函数,所以当x=-2时,f(x)的最大值f(-2)=
3.C　因为f(x)=则f(x)在(-∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(1)=1.
4.B　易知函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,又因为函数f(x)在(2,3)上单调递减,所以a-1<0且(a-1)×3+1≥0,解得a<1.即实数a的取值范围为[,1).故选B.
5.B　依题意,g(f(x))=loga(-x2+2x+8),则-x2+2x+8>0,解得-26.A　因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2),因为当x1,x2∈(0,π)时,有>0,
所以函数f(x)在区间(0,π)内是增函数,因为<2<3,所以f()7.A　不妨令x1-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x18.D　如图,在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=-x+3,y2=x+,y3=x2-4x+3的图象.
根据max{a,b}的定义,可得函数f(x)的图象为图中实线部分.由可得A(0,3),由可得B(1,2),由图知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)最小,且最小值为f(1)=2.故选D.
9.AB　由函数单调性的定义,可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确,D错误;对于选项C,因为x1,x2的大小关系无法判断,所以f(x1),f(x2)的大小关系也无法判断,故C错误,故选AB.
10.BC　易知f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增,故A错误,B正确;若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥0或a+1≤0,即a≤-1或a≥0,故C正确;当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],故x∈[-1,1]时,f(x)∈(-∞,2],故D错误.
11.ACD　对于A,因为y=ex,y=-e-x都是增函数,所以sinh x=是增函数,故A正确;对于B,cosh x=显然是偶函数,不可能是增函数,故B错误;对于C,tanh x==1-,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1-是增函数,故C正确;对于D,由C知tanh x=,
则tanh(x+y)=,故tanh(x+y)=,故D正确.故选ACD.
12.(-∞,2]　根据题意可得f(x1)min≥g(x2)min,∵f(x)=x+在[,1]上单调递减,则f(x)≥f(1)=5,又g(x)=2x+a-1在[2,3]上单调递增,则g(x)≥g(2)=a+3,∴5≥a+3,则a≤2.
13.a<2b　因为2a-4b=log2b-log2a,所以2a+log2a=4b+log2b=+log2b+log22-1=+log22b-1,设f(x)=2x+log2x,则f(a)=f(2b)-1,所以f(a)14.解 ∵f(x)=ax-(a>0),∴f(x)在(0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=a+,
∴g(a)=a+2,当且仅当a=,即a=1时等号成立,∴g(a)的最小值为2.
15.(1)解 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
又因为f(x)=1+,所以值域为{y|y≠1}.
(2)证明 由题意可设00,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.当x∈[2,8]时,f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(8)=
16.(1)解 令a=b=1得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,而f(4)=f(2)+f(2)=-1-1=-2,且f(4)+f()=f(1)=0,则f()=2.
(2)证明 取定义域(0,+∞)的任意的x1,x2,且01,当x>1时,f(x)<0,
∴f()<0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f()<0,即f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(3)解 ∵f(4x3-12x2)+2>f(18x),由条件①及(1)的结果得,f(4x3-12x2)+f()>f(18x),
∴f(x3-3x2)>f(18x),解得3故x的取值集合为{x|3

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