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函数的对称性及其应用 专项训练
一、单项选择题
1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=2对称,当0A.2 B.-2
C.-4 D.4
2.已知函数y=f(x-1)为奇函数,则函数y=f(x)+1的图象(　　)
A.关于点(1,1)对称
B.关于点(1,-1)对称
C.关于点(-1,1)对称
D.关于点(-1,-1)对称
3.已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且f(x)的图象关于直线x=3对称,则a=f(0.2),b=f(2),c=f(0)的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
4.已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =(　　)
A.6 B.5
C.-6 D.-5
5.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0,则f(20)=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.±1
6.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,且f(x)在[2,+∞)上恒有<0(x1≠x2),则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　)
A.(-∞,e)∪(e3,+∞)
B.(1,e2)
C.(e,e3)
D.(e,+∞)
二、多项选择题
7.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=2对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
8.函数f(x)满足:对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,且当x>0时,f(x)>2,则(　　)
A.f(0)=2
B.f(x)关于(0,2)对称
C.f(-2 024)+f(2 024)=4
D.f(x)为减函数
9.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在[0,1]上是增函数
C.f(x)在[1,2]上是减函数
D.f(2)=f(0)
三、填空题
10.已知函数f(x)是偶函数,对任意x∈R,均有f(x)=f(x+2),当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则函数g(x)=f(x)-log5(x+1)的零点有　　　　个.
11.(2024·江西抚州模拟)写出一个值域为[-1,1],且满足f(-x)=f(x)=-f(-x)的周期函数,f(x)=　　　　　.
12.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,f(0)=1,则f(2 025)=　　　　　.
13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,恒有f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,且a=f(),b=f(0.5-3),c=f(0.76),则a,b,c的大小关系为　　　　　.
四、解答题
14.(13分)函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2,求此函数图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
15.(15分)已知函数f(x)是R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)的值.
16.(15分)关于函数的对称性有如下结论:对于给定的函数y=f(x),x∈D,如果对于任意的x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b成立(a,b为常数),则函数f(x)关于点(a,b)对称.
(1)用题设中的结论证明:函数f(x)=关于点(3,-2)对称;
(2)若函数f(x)既关于点(2,0)对称,又关于点(-2,0)对称,且当x∈(2,6)时,f(x)=2x+3x,求:①f(-5)的值;
②当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)的表达式.
答案
1.C　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∵f(x)关于x=2对称,
∴f(x+2)=f(-x+2),∴f(6)=f(4+2)=f(-4+2)=f(-2)=-f(2),∴f(6)=-f(2)=-22=-4.故选C.
2.C　函数y=f(x-1)为奇函数,图象关于(0,0)对称,将函数y=f(x-1)向左平移1个单位长度可得函数y=f(x),则函数y=f(x)关于(-1,0)对称,所以函数y=f(x)+1的图象关于(-1,1)对称.故选C.
3.D　因为函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且f(x)的图象关于直线x=3对称,所以函数f(x)在(-∞,3)上单调递增,因为0<0.2<2,所以f(0)4.D　由题y=f(x+1)+1为奇函数,则y=f(-x+1)+1=-f(x+1)-1,所以f(-x+1)+f(x+1)=-2 f(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)关于(1,-1)对称,所以f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(-1)+f(3)]+f(1)+[f(0)+f(2)]=-2-1-2=-5,故选D.
5.B　由f(x)是定义域为R的奇函数,则f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又由f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,即f(2-x)=-f(x),则有f(2-x)=f(-x),可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,故f(20)=f(0)=0.故选B.
6.C　因为函数f(x+2)是R上的偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,在[2,+∞)上恒有<0(x1≠x2),当x1f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,f(x)在(-∞,2)上单调递增,不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x-2|<|1-2| 17.AD　因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)关于点(2,0)对称,又因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)关于直线x=1对称.
8.ABC　由对于任意实数x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)-2,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-2,即f(0)=2,故A正确;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2,即f(x)+f(-x)=4,图象关于(0,2)对称,故B正确;令x=2 024,y=-2 024,则f(0)=f(2 024)+f(-2 024)-2,即f(2 024)+f(-2 024)=4,故C正确;对于任意y∈R,x>0,当x>0时,f(x)>2,设z=x+y>y,则f(z)-f(y)=f(x)-2>0,即f(z)>f(y),所以f(x)单调递增,故D错误.故选ABC.
9.AD　因为f(x+1)=-f(x),f(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(-x+1)=f(x),即f(x+1)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;由偶函数在对称区间上的单调性相反,得f(x)在[0,1]上是减函数,故B错误;因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在[0,1]上是减函数,所以f(x)在[1,2]上是增函数,故C错误;由f(x+1)=f(1-x),可得f(2)=f(0),故D正确.故选AD.
10.4　函数f(x)是偶函数,说明函数f(x)的图象关于y轴对称,f(x)=f(x+2)说明f(x)的周期是2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log5(x+1)的图象,如图所示:
如图所示,y=f(x)的图象与y=log5(x+1)的图象共有4个不同的交点,即g(x)=f(x)-log5(x+1)有4个零点.
11.sin 2x(答案不唯一)　因为f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数.又f(x)是值域为[-1,1]的周期函数,所以可设f(x)=sin ωx.因为f(-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,所以=+kπ(k∈Z),所以f(x)=sin ωx(ω=2+4k,k∈Z).
12.2　因为y=f(x-1)的图象关于x=1对称,所以y=f(x)的图象关于x=0对称,即y=f(x)是偶函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=-1,可得f(1)·f(-1)=2f(1),又因为f(x)>0,所以f(-1)=2,则f(1)=f(-1)=2,所以函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=4,所以f(x+4)·f(x+2)=4,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=2.
13.b∴f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x),∴f(x)的最小正周期为2.
又a=f()=f(-)=f(),b=f(0.5-3)=f(8)=f(0),0.76=0.493<0.53<0.5,则0<0.76<,
∵f(x)=在[0,1]上单调递增,∴b14.解 (1)设函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为P(a,b),g(x)=f(x+a)-b,则g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x),故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,即f(-x+a)+f(x+a)=2b,
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b,整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0,
故解得
所以函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1,-2).
(2)推论:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
15.解 (1)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x),当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
∴f(x)=f(2-x)=-1,x∈[1,2].
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x),
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),即f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数,
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
∴f(0)=0,f(1)=2-1=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=f(1)=1.
16.(1)证明 f(x)=的定义域为{x|x≠3},对任意x≠3,有f(3-x)+f(3-x)=(-2-)+(-2-)=-4,∴函数f(x)=关于点(3,-2)对称.
(2)解 函数f(x)关于点(2,0)对称,
∴f(2+x)+f(2-x)=0,即f(x)+f(4-x)=0,又关于点(-2,1)对称,
∴f(-2+x)+f(-2-x)=2,即f(x)+f(-4-x)=2,∴f(-4-x)=2+f(4-x),即f(x+8)=f(x)-2,
①f(-5)=f(3)+2=23+3×3+2=19,
②x∈(8k-2,8k+2),x-8k∈(-2,2),4-(x-8k)∈(2,6),
∴f(x)=f(x-8)-2=f(x-8×2)-2×2=f(x-8×3)-2×3=…=f(x-8k)-2k,
又由f(t)=-f(4-t),∴f(x)=f(x-8k)-2k=-f[4-(x-8k)]-2k=-{24-(x-8k)+3[4-(x-8k)]}-2k,
即当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)=-24-x+8k+3x-26k-12.

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