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函数的概念及其表示 专项训练
一、单项选择题
1.函数f(x)=lg(x-2)+的定义域是(　　)
A.(2,+∞) B.(2,3)
C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)
2.已知函数f(x-1)=x2-2x,且f(a)=3,则实数a的值等于(　　)
A. B.±
C.2 D.±2
3.已知函数f(x-1)=,则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
4.若函数f(x-1)的定义域为[-3,1],则y=(x-1)f(x)的定义域为(　　)
A.[-3,1] B.[-2,2]
C.(-4,0) D.[-4,0]
5.德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)=它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数f(x)=x2-D(x),则下列实数不属于函数f(x)值域的是(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
6.已知f(x)=若f(a-3)=f(a+2),则f(a)=(　　)
A.2 B.
C.1 D.0
7.已知函数f(x)满足f(ex-1)=2x-1,f(a)+f(b)=0,则下列说法正确的是(　　)
A.a+b=1 B.a+b=
C.ab=1 D.ab=
二、多项选择题
8.记无理数e=2.718 281 828 459 045…小数点后第n位上的数字为m,则m是关于n的函数,记作m=f(n),其定义域为A,值域为B,则(　　)
A.f(5)=8
B.函数f(n)的图象是一群孤立的点
C.n是关于m的函数
D.B A
9.已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
10.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),则下列选项正确的是(　　)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.若f(2)=2,则f(-)=
三、填空题
11.若函数f(x)满足2f(x)-f()=2x-1(x≠0),则f()=　　　　　.
12.设函数f(x)=则f[f()]=　　　　,不等式f(x)13.已知函数f(x)=若f(f(a))>3,则a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f(x)=试举出一个a的值,使得f(a)+f(6-a)=成立,则a可以为　　　　　(写出一个即可).
四、解答题
15.(15分)已知函数f(x)=
(1)求f(),f(),f(-1)的值;
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
16.(15分)行驶中的汽车因为具有惯性,在刹车时要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(单位:米)与汽车的车速x(单位:千米/时)满足下列关系:y=+mx+n(m,n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(单位:米)与汽车的车速x(单位:千米/时)的关系图.
(1)求出y关于x的函数表达式;
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.
答案
1.D　∵f(x)=lg(x-2)+,解得x>2,且x≠3,∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
2.D　令x-1=a,x2-2x=3,解得x=-1或x=3,由此解得a=±2,故选D.
3.A　令x-1=t,则x=t+1,∴f(t)=,即f(x)=故选A.
4.D　由题意可知-3≤x≤1,所以-4≤x-1≤0,所以f(x)的定义域为[-4,0],从而y=(x-1)f(x)的定义域为[-4,0].故选D.
5.C　由题意可知f(x)=x2-D(x)=所以f(1)=12-1=0,f()=()2=2,f()=()2=3,而f(x)=1无解.故选C.
6.B　作出函数f(x)的图象,如图所示,
f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上分别单调递增.由f(a-3)=f(a+2),若即-27.D　设t=ex-1,则x=ln t+1,∴f(t)=2ln t+1,t>0.由f(a)+f(b)=0,有2ln a+1+2ln b+1=0,即ln(ab)=-1,∴ab=,故选D.
8.AB　根据函数的定义可知,定义域A=N*,f(5)=8,函数f(n)的图象是一群孤立的点,故A,B正确;对于C,n不是关于m的函数,如当m=8时,n可能为3,5,7,9,不符合函数的定义,故C错误,因为0∈B,0 A,所以D错误,故选AB.
9.BC　函数f(x)=的定义域是[-2,+∞),故A错误;当-2≤x<1时,f(x)=x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,值域为(-∞,1],故f(x)的值域为(-∞,4],故B正确;当x≥1时,令f(x)=-x+2=2,无解,当-2≤x<1时,令f(x)=x2=2,得到x=-,故C正确;当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.
10.ABD　对于A,令a=b=0,则f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确;对于B,令a=b=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1)=2f(1),则f(1)=0,故B正确;对于C,令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),所以f(-1)=0,令a=-1,b=x,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)+0=-f(x),所以f(x)是奇函数,故C错误;对于D,令a=2,b=-,则f(-1)=f[2×(-)]=2f(-)-f(2)=2f(-)-1=0,所以f(-)=,故D正确,故选ABD.
11.1　因为2f(x)-f()=2x-1(x≠0),令x=2可得2f(2)-f()=3①,令x=可得2f()-f(2)=0②,联立①②可得f()=1.
12.1　(-∞,-)∪(,+∞)　由题意可知f[f()]=f(1)=1;因为f(x)1,可得x2<(2x)2=4x2,符合题意.综上所述,不等式f(x)13.(-2,0)∪(,+∞)　设u=f(a),f(f(a))>3,即为f(u)>3,化为解得u>1,即f(a)>1,则解得-2
14.-1或7　因为函数f(x)=可得当x>1时,f(x)=log2(x+1)>log22=1,当x≤1时,f(x)=2x-1-2≤20-2=-1.当a>1且6-a>1,即11+1与f(a)+f(6-a)=矛盾,不符合题意;当a>1且6-a≤1,即a≥5时,f(a)+f(6-a)=log2(a+1)+25-a-2=,解得a=7;当a≤1且6-a>1,即a≤1时,则f(a)+f(6-a)=log2(7-a)+2a-1-2=,则a=-1.综上所述,a可以为-1或7.
15.解 (1)>1,∴f()=-2+8=5.∵0<<1,∴f()=+5=-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.
(2)作出这个函数的图象如图.
在函数f(x)=3x+5的图象上截取x≤0的部分,在函数f(x)=x+5的图象上截取01的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知,当x=1时,f(x)取最大值6.
16.解 (1)由题意及函数图象,得解得m=,n=0,
∴y=(x≥0).
(2)令25.2,得-72≤x≤70.∵x≥0,∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度为70千米/时.

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