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函数的奇偶性与周期性 专项训练
一、单项选择题
1.在下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是(　　)
A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x
C.f(x)= D.f(x)=x3
2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)=(　　)
A.3 B.-3
C.2 D.-2
3.已知函数f(x)满足对于任意的实数x,都有f(x+2)=-,且f(1)=,则f(2 025)=(　　)
A.- B.
C.-1 D.1
4.下列函数中是奇函数的是(　　)
A.y=x3+1 B.y=ln |x|
C.y=sin(x+) D.y=ex-e-x
5.已知函数f(x)=x2+2|x|,则f(x-1)>f(-1)的解集为(　　)
A.(2,+∞)
B.(-∞,0)
C.(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
6.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-)=,则f()=(　　)
A.- B.-
C. D.
7.(2024·宁夏石嘴山期末)已知函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x),则f(x)是(　　)
A.奇函数,且在(0,e)上是增函数
B.奇函数,且在(0,e)上是减函数
C.偶函数,且在(0,e)上是增函数
D.偶函数,且在(0,e)上是减函数
8.定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(1-x),当x∈[0,2]时,f(x)=mex-1,则f(31)=(　　)
A.e+1 B.e-1
C.1-e D.-e
二、多项选择题
9.已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)是以2为周期的周期函数
B.函数f(x)是以4为周期的周期函数
C.函数f(x+2)为偶函数
D.函数f(x-3)为偶函数
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期函数
C.f()=-1
D.x∈[-1,0)时,f(x)=x
11.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)f(y)-f(x)=xy-y,则(　　)
A.f(0)=1
B.f(-1)=1
C.f(x+1)为偶函数
D.f(x+1)为奇函数
三、填空题
12.写出一个定义域为R,周期为π的偶函数f(x)=　　　　　.
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=f(3)=0,且f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则不等式≤0的解集为　　　　　.
四、解答题
14.(13分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
15.(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024).
16.(15分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
答案
1.D　f(x)=sin x是奇函数,它在区间[-+2kπ,+2kπ],k∈Z上单调递增,在定义域内不是增函数,所以选项A错误;f(x)=cos x是偶函数,所以选项B错误;f(x)=既不是奇函数又不是偶函数,所以选项C错误;f(x)=x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数,所以选项D正确;故选D.
2.C　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,又因为f(-3)=-2,可得f(-3)=-f(3)=-2,所以f(3)=2,所以f(3)+f(0)=2.故选C.
3.B　由f(x+2)=-,得f(x)的周期T=4,f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=
4.D　对于A,f(x)=x3+1,f(1)=2,f(-1)=0,故f(x)为非奇非偶函数,对于B,f(x)=ln|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=ln|-x|=ln|x|,f(x)为偶函数,对于C,f(x)=sin(x+)=cos x,f(x)为偶函数,对于D,易知定义域为R,f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)为奇函数.故选D.
5.D　f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,又因为当x>0时,f(x)=x2+2x为单调递增函数,所以由f(x-1)>f(-1)得f(|x-1|)>f(1),因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选D.
6.C　由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(-x)=-f(x).又因为f(1+x)=f(-x),所以f(2+x)=f(1+(1+x))=f(-(1+x))=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数.所以f()=f(-2)=f(-)=故选C.
7.A　要使函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意义,则解得-e8.C　因为定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(1-x),所以f(x+3)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x-4+3)=-f[1-(x-4)]=-f(5-x)=f(x-5),则f(x+8)=f(x),故f(x)的周期为8,当x∈[0,2]时,f(x)=mex-1,则f(0)=m-1=0,所以m=1,所以f(31)=f(-1)=-f(1)=1-e.故选C.
9.BC　依题意f(x)是偶函数,且f(x)+f(2-x)=0,f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=f(x),所以f(x)周期为4.
所以A错误,B正确;f(x+2)=f(x-2+4)=f(x-2)=f(-(x-2))=f(-x+2),所以函数f(x+2)为偶函数,C正确;若f(x-3)是偶函数,则f(x-3)=f(-x-3)=f(x+3),所以f(x+6)=f(x),函数f(x)是周期为6的周期函数,这与上述分析矛盾,所以f(x-3)不是偶函数.D错误.故选BC.
10.AB　因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;又因为f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,故B正确;设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],所以f(-x)=-x,又因为f(x)是偶函数,则f(x)=-x,即当x∈[-1,0)时f(x)=-x,f()=f(50)=f(-)=-(-)=,故CD错误;故选AB.
11.AD　对于A,令y=0,得f(x)f(0)-f(x)=0,即f(x)(f(0)-1)=0,所以f(x)=0或f(0)=1.当f(x)=0时,f(x)f(y)-f(x)=xy-y不恒成立,故f(0)=1,故A正确.对于B,令x=0,得f(0)f(y)-f(0)=-y,又因为f(0)=1,所以f(y)=1-y,故f(-1)=1+1=2,故B错误.对于C,D,由B选项可知f(x)=1-x,则f(x+1)=-x,所以f(x+1)为奇函数,故C错误,D正确.故选AD.
12.cos 2x(答案不唯一)　y=cos 2x满足定义域为R,最小正周期T==π,且为偶函数,符合要求.
13.[-3,-1]∪[0,)∪[1,3]　当x>时,2x-1>0,则f(x)≤0,且f(1)=f(3)=0,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则可得1≤x≤3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称.当x<时,2x-1<0,则f(x)≥0,由已知可得-3≤x≤-1或0≤x<综上,不等式0的解集为[-3,-1]∪[0,)∪[1,3].
14.解 (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)可知,
所以1故实数a的取值范围是(1,3].
15.(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)解 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)
=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 024)=0+f(2 024)=0+f(0)=0.
16.解 (1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.
证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2 f(|x-1|)又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以0<|x-1|<16,解得-15所以x的取值范围是{x|-15

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