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函数与方程 专项训练
一、单项选择题
1.若函数f(x)=2x--a存在1个零点位于(1,2)内,则a的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(-3,3)
C.[-3,3] D.(-3,0)
2.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
3.已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则(　　)
A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点
B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点
C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点
D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点
4.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
5.已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　)
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
二、多项选择题
6.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数g(x)恰有两个零点,则函数g(x)的零点个数可以是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知函数f(x)=|1-2x|,实数a,b(aA.m>1 B.0C.2a+2b=2 D.a+b<0
三、填空题
8.f(x)=的零点为　　　　　.
9.若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=　　　　　.
10.已知函数f(x)=若实数a,b,c(a11.英国数学家泰勒发现了如下公式:ex=1++…,sin x=x-+…,cos x=1-+…,其中n!=1×2×3×…×n.可以看出公式右边的项越多,计算出ex,sin x和cos x的值也就越精确,则cos 1的近似值为　　　　　　　　(精确到0.01);运用上述思想,可得到函数f(x)=ex-在区间(,1)内有　　　　　个零点.
四、解答题
12.(13分)已知函数f(x)满足f(x)=2f(-x)+3x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程|f(x)|=k|x2-x-1|恰有四个不同的实根,求实数k的取值范围.
13.(15分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2B.求证:
(1)a>0且-3<<-;
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
14.(15分)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
答案
1.A　若函数f(x)=2x--a存在1个零点位于(1,2)内,
∵f(x)=2x--a单调递增,∴f(1)=21--a<0,f(2)=22--a>0,∴02.A　令f(x)=-x2+ax+4,则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,解得03.D　两个函数的零点个数转化为y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的图象与y=a的图象的公共点的个数,作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D.
4.C　由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数周期为1,f(-1)=f(0)=f(1)=0,f(x+1)=f(x)中取x=-得f()=f(-)=-f(),所以f()=0,f(-)=0,f()=0,f(-)=0,所以f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为7.故选C.
5.C　作出f(x)的图象,再作出函数y=()x,x≥0关于原点对称的图象,如图所示.
因为函数y=()x,x≥0关于原点对称的图象与y=-|x2+2x|,x<0图象有三个交点,故f(x)图象上关于原点对称的点有3对.故选C.
6.ABC　令g(x)=0,即b=f(2-x),当2-x≤2时,x≥0,f(2-x)=2-|2-x|=当2-x>2时,x<0,f(2-x)=(2-x-2)2=x2.f(2-x)=所以f(2-x)的大致图象如图所示,
画出y=b的图象,由图象可知g(x)的零点个数可以是1,2,3.故选ABC.
7.BCD　f(x)=|1-2x|=且当x<0时,0<2x<1,此时f(x)=1-2x∈(0,1),y=f(x)-m的零点即函数y=f(x)与y=m的图象交点的横坐标(如图所示),由图象可知,当08.-1,2　令f(x)=0,则解得x=-1,x=2.
9.1　由题意可知x1,x2分别是函数y=ex,函数y=ln x与函数y=的图象的交点A,B的横坐标,所以A(x1,),B(x2,)两点关于y=x对称,则x1=,因此x1x2=1.
10.2　[6,7)　由f(x)=故f(x)在(-∞,1],(2,+∞)上单调递减,在[1,2]上单调递增,且有f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,f(4)=1,f(5)=0,由f(a)=f(b)=f(c),则011.0.54　0　cos 1≈1-=1-0.54,由于函数y=ex,y=-在(,1)上单调递增,所以f(x)=ex-在(,1)上单调递增,由于f()=-+1+=->->0,所以f(x)=ex->0在(,1)上恒成立,故f(x)=ex-在区间(,1)内无零点.
12.解 (1)由题意得f(-x)=2f(x)-3x-1,所以f(x)=2(2f(x)-3x-1)+3x-1,解得f(x)=x+1.
(2)当k<0时,显然无解;当k=0时,|x+1|=0只有一个实根,不符合条件;当k>0时,=||=|(x+1)+-3|恰有四个不相等的实根,所以(x+1)+=3+与(x+1)+=3-共有四个不相等的实根,所以解得>5或0<<1,所以01.所以实数k的取值范围是(0,)∪(1,+∞).
13.证明 (1)∵f(1)=a+b+c=-,∴c=-a-b.∵3a>2c=-3a-2b,∴3a>-b.
∵2c>2b,∴-3a>4b.
若a>0,则-3<<-;若a=0,则0>-b,0>b,不成立;若a<0,则<-3,>-,不成立.
综上,a>0且-3<<-
(2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=-,Δ=b2-4ac=b2+4ab+6a2=(b+2a)2+2a2>0.
当c>0时,f(0)>0,f(1)<0,
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点;
当c=0时,f(0)=0,f(1)=a+b=-<0,f(2)=4a+2b=a>0,
∴f(x)在(0,2)内有一个零点;
当c<0时,f(0)<0,f(1)<0,b=-a-c,f(2)=4a-3a-2c+c=a-c>0,
∴f(x)在(0,2)内有一个零点.
综上,f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
14.解 (1)f(x)为奇函数,理由如下:
由题意得解得-2(2)由f(x)=log2(a+x),得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x),所以=a+x,所以a=-x=-x=+(2-x)-3,故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2,2)上有两个不同的实数根,即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2,2)上的图象有两个交点.设t=2-x,x∈(-2,2),则y=+t-3,t∈(0,4).作出函数y=+t-3,t∈(0,4)的图象,如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1,2).

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