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高一上学期数学期中复习经典解答题专练
目录：
题型一：集合中的参数问题
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：基本不等式的恒成立问题
题型四：求函数的解析式
题型五：单调性的证明与解抽象不等式
题型六：二次函数在闭区间上的最值问题
题型七：单调性与奇偶性的综合问题
题型一：集合中的参数问题
已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|-a＜x≤a+3}．
求A∪B，（ RA）∩B；
若A∩C=C，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）A∪B={x|1≤x≤8}， RA={x|x≥5或x＜1}，（ RA）∩B={x|5≤x≤8}，
（2）A∩C=C C A， ①当C= 时，a+3≤-a解得a≤- ； ②当C≠ 时， ，解得：-2.已知集合A={x|x2-8x-20≤0}，集合B={x|-1+m≤x≤1+m}．
当m=2时，求A∩B；
若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.
【解析】
（1）由A={x|x2-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}， 当m=2时，B={x|1≤x≤3}， 所以A∩B={x|1≤x≤3}
（2）因为x∈A是x∈B的必要条件， 所以B A， 所以 ，解得：-1≤m≤9， 所以m的取值范围是[-1，9]．
3.已知全集U=R，集合A={x|x2-5x-6≤0}，集合B={x|m≤x≤m+2}．
（1）若m=5，求（ UA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解析】
（1）集合A={x|x2-5x-6≤0}=[-1，6]．又全集U=R，所以 UA=（-∞，-1）∪（6，+∞），当m=5时，集合B=[5，7]，所以（ UA）∩B=（6，7]．
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B A且B≠A．所以或，解得-1≤m≤4．故实数m的取值范围为[-1，4]．
集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，集合C={x|x2+2x-8=0}．
若A∩B={2}，求实数a的值；
若A∩B≠ ，A∩C= ，求实数a的值．
【解析】
（1）因为集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}={2，3}，且A∩B={2}，所以2∈A，所以4-2a+a2-19=0，即a2-2a-15=0，解得a=-3或a=5．当a=-3时，A={x|x2+3x-10=0}={-5，2}，A∩B={2}，符合题意；当a=5时，A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，A∩B={2，3}，不符合题意．综上，实数a的值为-3．
（2）因为A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={2，3}，C={x|x2+2x-8=0}={-4，2}，且A∩B≠ ，A∩C= ，所以3∈A，所以9-3a+a2-19=0，即a2-3a-10=0，解得a=-2或a=5．当a=-2时，A={x|x2+2x-15=0}={-5，3}，满足题意；当a=5时，A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，不满足题意．综上，实数a的值为-2．
5.已知集合A={x|x2+3x-4≥0}，集合B={x|≤0}．
若C={x|2a＜x＜1+a}，且C （A∩B），求实数a的取值范围．
D={x|x2 (2m+)x+m(m+)≤0}，若x∈A∩B是x∈D的必要不充分条件，判断实数m是否存在，若存在求m的范围．
【解析】
（1）依题意，A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|0＜x≤2}．∴A∩B={x|1≤x≤2}，当C= 时，有1+a≤2a,解得：a≥1，当C≠ 时，有解得≤a<1 综上a∈[，1）
（2）由题意得：D （A∩B）且D≠（A∩B），∵D={x|x2 (2m+)x+m(m+)≤0} ={x|m≤x≤m+}，∴（“=“不同时成立），解得：1≤m≤，故m∈[1，]．
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
6.已知函数f（x）=x2-3x+a.
若f（x）＞0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
若f（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=x2-3x+a,因为f（x）＞0在x∈R上恒成立，即x2-3x+a＞0在x∈R上恒成立，所以Δ=（-3）2-4a＜0，解得a>故实数a的取值范围为（，+∞）
（2）因为f（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，即x2-3x+a＜0在x∈（-1，2）上恒成立，因为f（x）=x2-3x+a=（x-）2+a-，x∈（-1，2），所以a-≤f（x）＜f（-1）=4+a,则4+a≤0，解得a≤-4，故实数a的取值范围为（-∞，-4]．
7.已知函数f（x）=-x2+（a+1）x，若对于任意x[1，2]，恒有f（x）≥2x2成立，求实数a的取值范围 .
【解析】
对任意的x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2，即-x2+（a+1）x≥2x2，整理得3x2-（a+1）x≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，所以3x2≤（a+1）x任意的x∈[1，2]恒成立，即a+1≥3x任意的x∈[1，2]恒成立，所以a+1≥（3x）max=6；因此，实数a的取值范围是[5，+∞）．
已知m∈R．若x∈R时，不等式mx2-mx-1＜0恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】
因为当x∈R时不等式mx2-mx-1＜0恒成立， 所以当m=0时，-1＜0，不等式恒成立； 当m≠0时，由不等式mx2-mx-1＜0恒成立， 可得m＜0且Δ=m2+4m＜0，所以-4＜m＜0； 综上，m的范围是（-4，0]．
题型三：基本不等式的恒成立问题
9.已知x,y都是正数，且+=1
求2x+y的最小值；
（2）已知不等式λ（x+2y）≤（3x+2y）2恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）因为x,y都是正数，2x+y=（2x+y）（+）=4+1++≥5+2=5+4=9，当且仅当=，即x=y=3时等号成立，所以2x+y的最小值为9；
（2）因为+=1，可得x+2y=xy,所以λ（x+2y）≤（3x+2y）2整理为λ xy≤（3x+2y）2，因为x,y都是正数，所以λ≤=++12 因为++12≥2+12=2×6+12=24，当且仅当2y=3x，即x=，y=4时取等号，所以λ≤24 所以实数λ的取值范围为（-∞，24]．
10.已知关于x的不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a,b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足+=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
【解析】
（1）∵不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a＞0，∴即a=1，b=2
（2）由（1）得a=1，b=2，则+=1 故2x+y=（2x+y）（+）=4++≥4+2=8
当且仅当=，即x=2，y=4时等号成立，由题意得（2x+y）min≥k,即8≥k,故k的取值范围为（-∞，8]．
题型四：求函数的解析式
11.设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x、y，都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式。
【解析】
令x=0，则f（0-y）=f（0）-y（-y+1），即f（-y）=y2-y+1，令x=-y,∴f（x）=x2+x+1．
12.已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）.
【解析】
由f（x）是一次函数，设f（x）=ax+b（a≠0），∴由3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，得3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，∴ax+5a+b=2x+17，∴，解得a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．
13.已知函数f（x）=x2，g（x）为一次函数，且一次项系数大于0，若f[g（x）]=4x2 -20x+25，求g（x）.
【解析】
设g（x）=kx+b,由题意，所以f（g（x））=（kx+b）2得f（g（x））=k2x2+2kxb+b2因为f（g（x））=4x2-20x+25所以有k2x2+2kxb+b2=4x2-20x+25对应项系数相等，所以k2x2=4x2，解得k=±2所以2kxb=-20x,因为一次项系数大于零，所以k取2解得b=-5，所以g（x）的表达式为g（x）=2x-5.
题型五：单调性的证明与解抽象不等式
14.已知函数
（1）当a=1时，用定义证明f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（2）若f（x）在（-1，+∞）上单调递减，求a的取值范围.
【解析】
（1）证明：a=1时，f（x）==1+
设x1＜x2＜-1，则：f（x1）-f（x2）=-= ；∵x1＜x2＜-1；∴x2-x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0；∴>0 ∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（2）f（x）===1+ ∵f（x）在（-1，+∞）上单调递减 ∴∴-1＜a≤1；∴a的取值范围为（-1，1]．
15.已知“双勾函数”f（x）=x+(a>0，a为常数)
（1）证明:函数f（x）在（0，）上是减函数,在[，+∞）上是增函数；
（2）已知g（x）=，x∈[0，1]，利用（1）的结论,求函数g（x）的单调区间和值域.
【解析】
（1）证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1-x2）＜0，（x1x2-a）＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，即函数f（x）在[0,]上是减函数，再设＜x3＜x4，则f（x3）-f（x4）=（x3+）-（x4+）=（x3-x4）（），又由＜x3＜x4，则（x3-x4）＜0，（x3x4-a）＞0，则f（x3）-f（x4）＞0，即函数f（x）在上[，+∞）是增函数，故函数f（x）在（0,]上是减函数，在[，+∞）上是增函数；
（2）根据题意，设t=2x+1，x∈[0，1]，则t∈[1，3]，则x=，g（x）===t+-8 又y=t+-8，在（0，2）上为减函数，在（2，4）上为增函数；又由t=2x+1在（0，1）上为增函数，当t=2x+1=2时，x= 则g（x）= 在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数；g（0）=-3，g（1）=-；其最小值g（）=-4，最大值g（0）=-3，则g（x）的值域为[-4，-3]．
16.已知函数f（x）对任意x,y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=- ．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
【解析】
（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）令y=-x,则f（-x）=-f（x），在R上任意取x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，△y=f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）∵x2＞x1，∴x2-x1＞0，又∵x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，由定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数．
（3）∵f（x）在R上是减函数，∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-）=-2，由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，故f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．
17.函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
【解析】
（1）证明：任取x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＞1．∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3．∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2，3m2-m-4＜0，∴-1＜m＜．
18.已知函数y=f（x） （x>0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x<1时f（x）>0， 且；
（1）证明：y=f（x）是定义域上的减函数；
（2）解不等式f（x-3）>f（）-2.
【解析】
（1）证明：设0＜x1＜x2，则0＜＜1，由题意f（x1）-f（x2）=f（ x2）-f（x2）=f（）+f（x2）-f（x2）=f（）＞0，则f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）是（x＞0）上的减函数；
（2）由函数的定义域知：，解得x＞3；又 ∴f（）=f（×）=f（）+f（）=1+1=2 由f（x-3）>f（）-2 得f（x-3）+2>f（） 即f（x-3）+f（）>f（）即f（） >f（）由（2）得< 解得-1＜x＜4，综上知3＜x＜4为所求．
19.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）-f（x2），且当x>1时，f（x）<0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）<-2．
【解析】
（1）由f（）=f（x1）-f（x2），令x1=x2，则f（1）=0；
（2）设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（），因为＞1，所以f（）＜0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）因为f（3）=-1，又f（）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．
20.设函数f（x）=ax2 +bx+1（a≠0，b R），若f（-1）=0，且对任意实数x，不等式f（x）≥0恒成立。
求实数a，b的值
当x [-2,2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围。
【解析】（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0．∵任意实数x均有f（x）≥0成立，∴
解得a=1，b=2
（2）由（1）知f（x）=x2+2x+1，∴g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1的对称轴为x=
∵当x∈[-2，2]时，g（x）是增函数，∴≤-2 ∴实数k的取值范围是（-∞，-2]
21.已知函数.f（x）=x2 -2ax+5（a>1）
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围.
【解析】
（1）∵f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+（5-a2）∴f（x）在（-∞，a]上单调递减，又a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴，∴，∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴（-∞，2] （-∞，a]∴a≥2∴|1-a|≥|（a+1）-a|，f（1）≥f（a+1）∴x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），又∵对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，∴f（1）≤0，即 1-2a+5≤0，∴a≥3
题型六：二次函数在闭区间上的最值问题
22.已知函数f（x）=x|x-2m|，m∈R．
讨论f（x）的单调性（只要求写出正确结论）
若函数F（x）=f（x）+4m2在[2，4]上的最小值为12，求实数m的值．
【解析】
（1）当m＜0时，f（x）在（-∞，2m），（m,+∞）上是增函数，在[2m,m]上是减函数；当m=0时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；当m＞0时，f（x）在（-∞，m），（2m,+∞）上是增函数，在[m,2m]上是减函数；
（2）由（1）知，当m≤1时，F（x）在[2，4]上是增函数，故F（x）min=f（2）+4m2=12，即2（2-2m）+4m2=12，解得，m=-1；当1＜m＜2时，F（x）在[2，2m]上是减函数，在[2m,4]上是增函数，故F（x）min=f（2m）+4m2=12，即4m2=12，解得，m=；当m≥2时，F（x）=f（x）+4m2≥4m2≥16，故不成立；综上所述，实数m的值为-1，．
23.设函数f（x）=x|x-a|．
判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
求函数f（x）在[0，1]上的最大值g（a）的解析式
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），所以f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）=x|x-a|，f（1）=|1-a|，f（-1）=-|-1-a|，则f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），所以f（x）为非奇非偶函数；
（2）f（x）=x|x-a|==当a＜0时，f（x）在[0，1]上是单调递增函数，f（x）max=f（1）=1-a.当0≤≤，即0≤a≤1时，f（x）在[0，]，[a，1]上是单调递增函数，在[，a]上是单调递减函数．其中f（）=，f（1）=1-a
当a∈[0，-2+2）时，<1-a，f（x）max=f（1）=1-a 当a∈[-2+2，1]时，≥1-a，f（x）max=f（）= 当<≤1时，即11时 即a>2时，f（x）在[0，1]上是单调递增函数，f（x）max=f（1）=a-1，所以函数f（x）在[0，1]上的最大值的解析式g（a）=
24.给定函数f（x）=x2+x+a2+a,g（x）=x2-x+a2-a,a∈R．且 x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g（x）}．
（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
【解析】
(1)∵f（x）-g（x）=x2+x+a2+a-（x2-x+a2-a）=2（x+a），∴当x≥-a时，f（x）≥g（x），当x＜-a时，f（x）＜g（x），故M（x）=max{f（x），g（x）}=.当a=1时，M（x）=，当x≥-1时，M（x）min=f（-）=；当x＜-1时，M（x）=g（x）＞g（-1）=2，故M（x）min=；
(2)函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x=-、x=，①当-a≤-，即a≥时，M（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（-）=3，即a2+a-=0，解得a=或a=-（舍去），②当-＜-a≤，即-≤a＜时，M（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a,+∞）上单调递增，故M（x）min=f（-a）=3，即2a2=3，解得a=±（舍去），③当-a＞，即a＜-时，M（x）在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，故M（x）min=g（）=3，即a2-a-=0，解得a=-或a=（舍去），综上所述，a=±．
25.设a为实数，函数f（x）=x2-|x-a|+1，x∈R．
当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的最小值．
【解析】
（1）当a=0，x∈[0，2]时，函数f（x）=x2-x+1，因为f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为x=，所以，当x=时，f（x）值最小，最小值为；当x=2时，f（x）值最大，最大值为3．
（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+ 若a≤-，则f（x）在（-∞，a]上单调递减，在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1；若a>-，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（-）= -a ②当x>a时，函数f（x）=x2-x+a+1=（x-）2+a+
若a<，则f（x）在[a,+∞）上的最小值为f（）= +a 若a≥，则f（x）在[a,+∞）上的最小值为f（x）>f（a）=a2+1 所以，当a≤-时，a2+1-（a+）=（a-）2≥0，f（x）的最小值为a+ 当a≤-时，a2+1-（a+）=（a-）2≥0，f（x）的最小值为a+
当a≥时，a2+1-（-a）=（a+）2≥0，f（x）的最小值为-a
当-26.已知函数f（x）=3x2+mx-1，g（x）=2x2-|x-a|+mx.
（1）对任意m∈[-2，2]，f（x）＜0，求实数x的取值范围；
（2）设φ（x）=f（x）-g（x），记φ（x）的最小值为p（a），求p（a）的最小值．
【解析】
（1）因为f（x）=h（m）=xm+3x2-1对任意m∈[-2，2]，f（x）＜0，所以h（-2）=-2x+3x2-1＜0，解得-（2）由题意可知，φ（x）= ①当a<-时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在（-∞，-]上单调递减，在（-，+∞）上单调递增 函数φ（x）的最小值为φ（-）=--a ②当-≤a≤时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在（-∞，a]单调递减，在（a,+∞）上单调递增，所以函数φ（x）的最小值为φ（a）=a2-1；③当a≥时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在（-∞，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增，故函数φ（x）的最小值为φ（）=a-，综上所述，p（a）=所以当a≤-时，函数φ（x）的最小值为--a ，此时p（a）≥-
当-27.设f（x）=x2+2tx,其中t∈R．
当t=1时，分别求f（x）及f（f（x））的值域；
记A={y|y=f（x），x∈[-t,-t+1]}，B={y|y=f（f（x）），x∈[-t,-t+1]}，若A=B，求实数t的值．
【解析】
（1）当t=1时，由f（x）=x2+2x=（x+1）2-1≥-1，当且仅当x=-1时，取等号，即f（x）的值域为[-1，+∞）．设u=f（x），则u≥-1，则f（f（x））=f（u）=（u+1）2-1≥-1，当且仅当u=-1，即x=-1时，取等号，故f（f（x））的值域为[-1，+∞）．
（2）∵x∈[-t,-t+1]，∴f（x）=（x+t）2-t2∈[-t2，-t2+1]，即此时函数f（x）的值域为[-t2，-t2+1]，∵f（x）min=-t2，∴-t2≤-t≤-t2+1，得1≤t≤或≤t≤0，①当-t≥-t2+时，即t≥或t≤，f（f（x））max=f（-t2）=t4-2t3≡-t2+1，即t2（t2-2t+1）≡1，即t2（t-1）2≡1，则t（t-1）=±1，得t=或成立．②当-t＜-t2+时，即≤t≤，时，f（f（x））max=f（-t2+1）=（-t2+1）2+2t（-t2+1）=-t2+1，即t4-2t3-t2+2t=0，即t（t-2）（t2-1）=0，即t=±1或t=0或t=2，t=1或t=0满足条件．，综上t=1或t=0或t=或成立．
题型七：单调性与奇偶性的综合问题
28.函数f（x）=是定义在（-1,1）上的奇函数，且f（）=
确定函数f（x）的解析式；
用定义法证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
解不等式：f（t-1）+f（t）<0
【解析】
（1）由题意得解得a=1，b=0，f（x）=
证明：设-1＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=-=
= ∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1x2-1＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（-1，1）上是增函数
由题意得，f（t-1）＜-f（t）=f（-t），则，解得，0＜t＜ 即不等式f（t-1）+f（t）<0的解集为（0，）
29.已知定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1）
求证：f（x）是奇函数；
设g（x）=，证明：对任意x1、x2∈I都有g（x1x2）=g（x1）+g（x2）；
当x＞1时，g（x）＜0，求不等式g（x-2）＞g（x）的解集．
【解析】
（1）证明：因为函数f（x）的定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞），对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1），令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），故f（1）=0，令x1=x2=-1，得f（1）=-2f（-1）=0，可得f（-1）=0，令x1=x,x2=-1，得f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），故函数f（x）为奇函数；
（2）证明：因为f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1），且x1≠0，x2≠0，所以=+，即g（x1x2）=g（x1）+g（x2）；
（3）设x1＞x2＞0，则>1，又因为当x＞1时，g（x）＜0，所以g（）<0 因为g（x1）=g（x2·）=g（x2）+g（）所以g（x1）-g（x2）=g（）<0 即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，因为函数g（x）的定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞） g（x）= 且f（x）为奇函数，所以g（-x）= == =g（x） 即函数g（x）是偶函数，由g（x-2）＞g（x），可得g（|x-2|）＞g（|x|），则 ，解得x＞1且x≠2，因此，不等式g（x-2）＞g（x）的解集为（1，2）∪（2，+∞）．
30.已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（-1）=1，若m,n∈[-1，1]，m+n≠0时，有<0
（1）证明：f（x）在区间[-1，1]上是单调减函数；
（2）解不等式：f（x+）（3）若f（x）≤t2-mt-1对所有x∈[-1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】
（1）证明：令m=x1，n=-x2，且-1≤x1＜x2≤1，代入<0，得<0 ∵x1＜x2，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在函数在[-1，1]上单调递减．
（2）解：∵f（x+）（3）解：∵f（x）在区间[-1，1]上是单调减函数，且f（-1）=1，∴f（x）max=f（-1）=1．∵f（x）≤t2-mt-1对所有x∈[-1，1]，m∈[0，1]恒成立，∴1≤t2-mt-1，即-tm+t2-2≥0对m∈[0，1]恒成立，∴解得t≥2或t≤-．∴实数t的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）．高一上学期数学期中复习经典解答题专练
目录：
题型一：集合中的参数问题
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：基本不等式的恒成立问题
题型四：求函数的解析式
题型五：单调性的证明与解抽象不等式
题型六：二次函数在闭区间上的最值问题
题型七：单调性与奇偶性的综合问题
题型一：集合中的参数问题
已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|-a＜x≤a+3}．
求A∪B，（ RA）∩B；
若A∩C=C，求实数a的取值范围．
2.已知集合A={x|x2-8x-20≤0}，集合B={x|-1+m≤x≤1+m}．
当m=2时，求A∩B；
若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.
3.已知全集U=R，集合A={x|x2-5x-6≤0}，集合B={x|m≤x≤m+2}．
（1）若m=5，求（ UA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，集合C={x|x2+2x-8=0}．
若A∩B={2}，求实数a的值；
若A∩B≠ ，A∩C= ，求实数a的值．
5.已知集合A={x|x2+3x-4≥0}，集合B={x|≤0}．
若C={x|2a＜x＜1+a}，且C （A∩B），求实数a的取值范围．
D={x|x2 (2m+)x+m(m+)≤0}，若x∈A∩B是x∈D的必要不充分条件，判断实数m是否存在，若存在求m的范围．
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
6.已知函数f（x）=x2-3x+a.
若f（x）＞0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
若f（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=-x2+（a+1）x，若对于任意x[1，2]，恒有f（x）≥2x2成立，求实数a的取值范围 .
已知m∈R．若x∈R时，不等式mx2-mx-1＜0恒成立，求实数m的取值范围.
题型三：基本不等式的恒成立问题
9.已知x,y都是正数，且+=1
求2x+y的最小值；
已知不等式λ（x+2y）≤（3x+2y）2恒成立，求实数λ的取值范围．
10.已知关于x的不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a,b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足+=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
题型四：求函数的解析式
设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x、y，都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式。
已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）.
已知函数f（x）=x2，g（x）为一次函数，且一次项系数大于0，若f[g（x）]=4x2 -20x+25，求g（x）.
题型五：单调性的证明与解抽象不等式
14.已知函数
（1）当a=1时，用定义证明f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（2）若f（x）在（-1，+∞）上单调递减，求a的取值范围.
15.已知“双勾函数”f（x）=x+(a>0，a为常数)
（1）证明:函数f（x）在（0，）上是减函数,在[，+∞）上是增函数；
（2）已知g（x）=，x∈[0，1]，利用（1）的结论,求函数g（x）的单调区间和值域.
16.已知函数f（x）对任意x,y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=- ．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
17.函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
18.已知函数y=f（x） （x>0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x<1时f（x）>0， 且；
（1）证明：y=f（x）是定义域上的减函数；
（2）解不等式f（x-3）>f（）-2.
19.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）-f（x2），且当x>1时，f（x）<0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）<-2．
20.设函数f（x）=ax2 +bx+1（a≠0，b R），若f（-1）=0，且对任意实数x，不等式f（x）≥0恒成立。
求实数a，b的值
当x [-2,2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围。
21.已知函数.f（x）=x2 -2ax+5（a>1）
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围.
题型六：二次函数在闭区间上的最值问题
22.已知函数f（x）=x|x-2m|，m∈R．
讨论f（x）的单调性（只要求写出正确结论）
若函数F（x）=f（x）+4m2在[2，4]上的最小值为12，求实数m的值．
23.设函数f（x）=x|x-a|．
判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
求函数f（x）在[0，1]上的最大值g（a）的解析式
24.给定函数f（x）=x2+x+a2+a,g（x）=x2-x+a2-a,a∈R．且 x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g（x）}．
（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
25.设a为实数，函数f（x）=x2-|x-a|+1，x∈R．
当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的最小值．
26.已知函数f（x）=3x2+mx-1，g（x）=2x2-|x-a|+mx.
（1）对任意m∈[-2，2]，f（x）＜0，求实数x的取值范围；
（2）设φ（x）=f（x）-g（x），记φ（x）的最小值为p（a），求p（a）的最小值．
27.设f（x）=x2+2tx,其中t∈R．
当t=1时，分别求f（x）及f（f（x））的值域；
记A={y|y=f（x），x∈[-t,-t+1]}，B={y|y=f（f（x）），x∈[-t,-t+1]}，若A=B，求实数t的值．
题型七：单调性与奇偶性的综合问题
28.函数f（x）=是定义在（-1,1）上的奇函数，且f（）=
确定函数f（x）的解析式；
用定义法证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
解不等式：f（t-1）+f（t）<0
29.已知定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1）
求证：f（x）是奇函数；
设g（x）=，证明：对任意x1、x2∈I都有g（x1x2）=g（x1）+g（x2）；
当x＞1时，g（x）＜0，求不等式g（x-2）＞g（x）的解集．
30.已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（-1）=1，若m,n∈[-1，1]，m+n≠0时，有<0
（1）证明：f（x）在区间[-1，1]上是单调减函数；
（2）解不等式：f（x+）（3）若f（x）≤t2-mt-1对所有x∈[-1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数t的取值范围．

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