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幂函数与二次函数 专项训练
一、单项选择题
1.若幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上为增函数,则m的值为(　　)
A.1或3 B.1
C.3 D.2
2.已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.b3.若幂函数y=xa,y=xb,y=xc的部分图象如图所示,则点(ab-b,c2-c)所在象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a>0,c<0,a+b+c=0,则(　　)
A. x∈(0,1),都有f(x)>0
B. x∈(0,1),都有f(x)<0
C. x∈(0,1),使得f(x)=0
D. x∈(0,1),使得f(x)>0
5.函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象如图所示,则(　　)
A.m,n是奇数且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是奇数,且>1
6.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a为(　　)
A.-1 B.1
C.2 D.-2
7.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
二、多项选择题
8.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围可以是(　　)
A.(-∞,0] B.[0,3]
C.[-1,2] D.[3,+∞)
9.若幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x1>x2>0,则f()>
三、填空题
10.已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点(1,-),则函数解析式为　　　　　.
11.幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么ab=　　　.
12.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a四、解答题
13.(13分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a-1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围.
14.(15分)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.
(1)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值;
(2)若不等式x|f(x)-x2|≤1对x∈[]恒成立,求实数a的取值范围.
15.(15分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足　　　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.
答案
1.B　由题意得m2-4m+4=1,且m2-6m+8>0,解得m=1.
2.B　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4,又y=f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,∴b3.C　根据幂函数y=xa,y=xb,y=xc的部分图象,得a为正偶数,b为负奇数,04.B　由a>0,c<0,a+b+c=0可知f(x)的图象开口向上,f(0)=c<0,f(1)=a+b+c=0,所以 x∈(0,1),都有f(x)<0.故选B.
5.B　由幂函数的性质可知,y=与y=x恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(1,1),当0x,则<1,又y=的图象关于y轴对称,∴y=为偶函数,∴(-x,又m,n互质,∴m为偶数,n为奇数.故选B.
6.B　∵函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得.∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,解得a=1.
7.B　当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=
当2所以f(x)<0,不满足当x>2时,f(x)>0,故a>2不符合题意;
当02时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,解得02时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,解得-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1.
8.AD　二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,∴a-1≤-1或a-1≥2,解得a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[3,+∞).
9.BCD　设幂函数f(x)=xα,因为经过点(9,3),则9α=3,则α=,则幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,故B正确;因为函数f(x)=的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,故A错误;当x>1时,f(x)=>1,故C正确;
函数f(x)=的图象如图,其图象在[0,+∞)上是上凸的,
则有不等式10.y=x2-x-4　因为二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,所以设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-4),又因为该函数过点(1,-),所以-=a(1+2)(1-4),解得a=,所以所求函数解析式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-x-4.
11.1　依题意,BM=MN=NA,所以M,N是线段AB的三等分点,而A(1,0),B(0,1),所以M(),N(),所以,a=lo,b=lo,ab=lolo=1.
12.()　由题意,知f'(x)=x2-x在[0,m]上存在x1,x2(013.解 (1)由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或m=-3.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,则m=-3.
(2)设g(x)=x3,则g(x)是增函数.由(1)可知(2a-1)-m<(a+3)-m,即(2a-1)3<(a+3)3,则2a-114.解 (1)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1),
所以f(x)在[1,a]上为减函数,所以f(x)的值域为[f(a),f(1)].
又因为已知值域为[1,a],所以解得a=2.
(2)由x|f(x)-x2|≤1,得-a(*).
令=t,t∈[2,3],则(*)可化为-t2+t≤at2+t.
记g(t)=-t2+t=-(t-)2+,则g(t)max=g()=,所以a;
记h(t)=t2+t=(t+)2-,则h(t)min=h(2)=7,所以a≤7.综上所述,a≤7.所以实数a的取值范围是[,7].
15.解 (1)条件①:因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x-2,即2(a-1)x+a+b+2=0对任意的x恒成立,
所以解得
条件②:因为不等式f(x)<0的解集为{x|10.
条件③:函数y=f(x)的图象过点(3,2),所以9a+3b+c=2.
若选择条件①②,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件①③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件②③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
(2)由(1)知g(x)=x2-(m+3)x+2,其图象的对称轴为直线x=,
(ⅰ)当1,即m≤-1时,g(x)min=g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3;
(ⅱ)当2,即m≥1时,g(x)min=g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-(舍去);
(ⅲ)当1<<2,即-1综上所述,实数m的值为-3.

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