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统计与概率：全概率公式与概率递推问题、概率最值与范围问题、比赛问题专项训练
考点目录
全概率公式与概率递推问题 概率最值与范围问题
比赛问题
1．（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系，并求出；
（ii）设，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件.
根据题意，，，
则，，，
所以由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率
.
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
故的数学期望.
（2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以.
由此可得，又，
于是数列是首项为，公比为的等比数列.
因此，所以.
（ii）证明：由已知得，
所以，则，
两式相减，得，
所以，又，
所以.
2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分．已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
(1)求小明答4道题后积分小于6的概率．
(2)设小明答5道题后积分为，求和．
(3)若小明一直答题，直到积分为0或12时停止，记小明的积分为时最终积分为12的概率为，则．
（i）证明：为等比数列；
（ii）求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)（i）证明见解析；（ii）．
【详解】（1）小明答4道题后积分小于6，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题，
故所求概率小明答4道题后积分小于6的概率为；
（2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为，所以，
由题意知，
所以，
所以．
（3）（i）当小明的积分为时，
若小明接下来一题答对，则积分变为，若小明接下来一题答错，则积分变为，
由全概率公式有，整理可得，
又，所以为等比数列；
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以，
所以
∴的值为．
3．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为．
(1)求．
(2)当时，证明：．
(3)求.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）每次操作后盒中球的总个数始终是6．
第次操作后盒中有个白球的情况有两种：
①第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球，
第次取出的是白球，其发生的概率为；
②第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球，
第次取出的是黑球，其发生的概率为，
所以当时，.
（3）由（1）知，
，
，
当时，的可能取值为3，4，5，6，
，由（2）得，
，
当或2时，上述4个等式也成立，
因此
，
由，得，
因此数列是首项为，公比为的等比数列．
则，
所以.
4．（25-26高三上·四川·开学考试）已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的数学期望．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）当时，
因为，
所以，又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
得到，即．
（2）当时，，①
，②
由①－②得，，
而，可得，
结合题意得到，故，
则，递推可得，则，
而的可能取值为，
则，，
则的分布列为：
0 1 2
故．
5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为.
(1)求乙第2局赢的概率；
(2)求；
(3)若存在，使得成立，求整数的最小值.
【参考：，，，】
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为，
所以乙赢的概率为.
（2）当时，，
整理得，又，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以.
（3）不等式，
令，求导得，
函数和在上递减，则函数在上递减，
而，则当时，，即函数在上递减，
又，因此当取最大值时，取最小值，
又，则当为偶数时，，
当为奇数时，，且是单调递减的，，
因此的最大值为，依题意，，
又，
所以满足的整数的最小值为.
6．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局．
(1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望；
(2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，，，．
(3)证明见解析
【详解】（1）X的可能取值为1，3，5
；
；
．
所以X的分布列为
X 1 3 5
P
．
（2），，，．
（3）由题意可得
．
所以．
当时，．
．
因为，所以．
7．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.
(1)求该操作员第二次降落成功的概率；
(2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)设第i次降落成功的概率为，求证：.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，.
由全概率公式得
，
该操作员第二次降落成功的概率为.
（2）由题意得，，，，.
的所有取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）由题意得，
当时，
即，
整理得，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即，易知单调递增
所以.
1．（2025·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).
【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4，
因为年龄在的市民不赞成“车辆限行”的频率为，则，
所以，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，
所以，
由，则，解得，
因为，所以.
2．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习）某核酸检测机构为筛查诊断新冠肺炎，需要检验唾液或咽拭子样本是否为阳性，现有份唾液或咽拭子样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份唾液或咽拭子样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的唾液或咽拭子样本全为阴性，因而这份唾液或咽拭子样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份唾液或咽拭子样本究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份唾液或咽拭子样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的唾液或咽拭子样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份唾液或咽拭子样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同答案的正实数，满足，对任意的，都有
(1)证明：为等比数列；
(2)当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）证明：由，，
知①，
即②，
由①②，得，，
而满足上式，则，即，
则，是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
当进行逐份检验时，的值只有，所以，
当进行混检时，的取值为，
当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阴性，故；
当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阳性，
故，
，
由题意，，
则，即，则，
又且，，
设，则，
当时，，即在上单调递减，
又，
，
，
则的最大值为4.
3．（25-26高三上·河北·开学考试）在校园文化建设中，社团活动丰富多彩．学校为了解高一、二学生对手工制作社团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”，每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”．随机抽取100名学生，得到如下统计数据：
学生 参与热情 合计
积极参与 一般参与
高一学生 30 20 50
高二学生 25 25 50
合计 55 45 100
(1)依据的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级有关联？
(2)该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随机选一个．若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为；若周一选绘画社团，周二选手工制作社团的概率为．求小李周二选绘画社团的概率．
(3)用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作社团的学生人数为，记“”的概率为，求使取得最大值的的值．
参考公式及数据： 其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)该校学生积极参与手工制作社团与年级没有关联
(2)
(3)
【详解】（1）零假设：该校学生积极参与手工制作社团与年级无关联，
根据列联表，由可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充足的理由推断不成立，
所以认为该校学生积极参与手工制作社团与年级没有关联.
（2）设事件“周一选手工制作社团”，则“周一选绘画社团”，
设事件“周二选手工制作社团”，则“周二选绘画社团”，
由题意可知，，，
所以，
所以，即小李周二选绘画社团的概率为.
（3）由频率估计概率，从该校高一、二学生中随机抽取1名学生，该学生“积极参与”手工制作社团的概率，
则，
所以，
所以，
若，即，，解得，
若，即，，解得，
所以当时，最大.
4．（25-26高三上·山西·阶段练习）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值．
（取）
【答案】(1)；
(2)①；②的最大值为，此时．
【详解】（1）设表示共抽了3次且最后一次抽到C，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}，
由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为，
所以，
而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，除了最后一次，其它抽到，
故对应概率依次为、、、，
设表示事件最后一次抽到，则，
所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为．
（2）①这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
情况一：最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
情况二：最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，
有种情况，综上，所求概率为；
②记事件表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最适合的灯谜在前条中，不会被摘到，此时；
当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，
此时，所以，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
当时，取得最大值，所以的最大值为．
5．（25-26高三上·重庆·开学考试）电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70
游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为；
①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望；
②甲以获胜的概率为，求的最大值．
参考公式：相关系数，参考数据：．
【答案】(1)，与两个变量线性相关性的很强
(2)①的分布列见解析，期望为；②的最大值为
【详解】（1）由题意得，，
，
，
，
则.
因为，接近1，所以与两个变量线性相关性的很强.
（2）①由题意的取值可能为，且甲获胜的概率为，
当时，甲连胜3局或乙连胜3局：
.
当时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜：
.
当时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜：
.
所以的分布列为：
3 4 5
期望.
②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜，
所以.
对求导得，
令，解得.
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因此当时，取得最大值.
6．（24-25高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．

因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为.
7．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.
(1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；
(2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且，
.
（2）依题意有
又.所以在区间上单调递增，
8．（24-25高二下·北京西城·期末）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；
(2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.
【答案】(1)甲恰好投中1次的概率大.
(2)，最大值为.
【详解】（1）甲恰好投中1次的概率为，
乙恰好投中1次的概率为，
所以甲恰好投中1次的概率大.
（2）丙恰好投中1次的概率为.
令.
求导得：.
由，解得，故在上单调递增：
由，解得，故在上单调递减，
所以.
所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为.
1．（2025·广东广州·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“甲胜丙”；“乙胜丁”；“甲胜乙”；“甲胜丁”；“甲获得冠军”，
则，
，
所以甲获得冠军的概率是.
（2）记“决赛中甲获胜”，“比赛打满5盘”，
甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，
因此，，
因此，所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为．
2．（24-25高二上·浙江·开学考试）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．
(1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
(2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；
(3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
【答案】(1)
(2)
(3)第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析
【详解】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件
记比赛两局结束为事件，则
所以
．
则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为．
（2）记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则
所以
则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为；
（3）由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为，
同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为
，
第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为
，
因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大．
3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响．
(1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求；
(2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算
的值；
(3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析；
【详解】（1） 表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率，
已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利，
所以 .
（2）当时，共进行且）局比赛，
前局，甲胜的局数不足局，即使再胜2局，甲也不能获胜，
因此；
前局，甲已胜局，最后2局需要全胜，甲才能获胜，
因此；
前局，甲已胜局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜，
因此；
前局，甲已胜至少局，甲必胜，因此.
（3）由全概率公式得，

则，
当时，，，
，
因此，所以.
4．（24-25高二下·辽宁·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为．
(1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束）
（ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率；
（ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率；
(2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由．
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利；理由见解析
【详解】（1）（ⅰ）前4局甲乙各胜2局，最后1局甲胜．；
（ii）甲赢得比赛分三种情况：
①，；
②，；
③，由（1）已得；
所以甲赢得比赛的概率为．
（2）由（1）可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为；
而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况：
①，；②，；
所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率，
因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利
5．（2025·福建厦门·模拟预测）在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：
乙 球队 总计
胜 负
未参加比赛 30 70
参加比赛 10
总计 70
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则：
①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
．
【答案】(1)认为该球队胜利与乙球员参赛有关联；
(2)①0.34；②；③答案见解析.
【详解】（1）依题意，，
零假设为：球队胜利与乙球员参赛无关，
则观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该球队胜利与乙球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001；
（2）①设表示“甲球员担当边锋”；表示“甲球员担当中锋”；表示“甲球员担当后腰”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”．
则
．
②；
③因为，
，
，
所以最小，因为当甲球员担任后卫时，球队输球的概率 在四个位置中是最小的，所以应该多让甲球员担当后卫.
6．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
(1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
(2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
(3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利
法一：
事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局.
记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得
.
法二：
事件分三种情况
①比赛局数为3，甲3局全胜
②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局
③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局
.
（2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则
且.
“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利
若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局
若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局
由全概率公式得
故.
（3）不妨设有无数支粉笔
题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”
“总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”..
设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则
事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知.
注意到
得证.
7．（24-25高二下·重庆·期末）重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为．
(1)求甲队的夺冠概率．
(2)半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？
(3)求甲队能与丁队相遇的概率．
【答案】(1)
(2)甲丁、乙丙
(3)
【详解】（1）2队一组共有甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；甲丁、乙丙，种分组，
由于在第一场中，不含甲的那组无论谁赢都可以，
则每种分组下甲获胜的概率均为，
则甲队的夺冠的概率为.
（2）若甲乙、丙丁，则丙队夺冠的概率为；
若甲丙、乙丁，则丙队夺冠的概率为；
若甲丁、乙丙，则丙队夺冠的概率为；
则半决赛按照甲丁、乙丙分组可以使丙队的夺冠概率最大.
（3）若甲乙、丙丁，则甲队与丁队相遇的概率为；
若甲丙、乙丁，则甲队与丁队相遇的概率为；
若甲丁、乙丙，则甲队与丁队相遇的概率为，
则甲队与丁队相遇的概率为.
8．（2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为．
(1)若，求队以的比分赢得比赛的概率；
(2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：；
(3)当时，若，有，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意得，队以的比分赢得比赛的概率为.
（2）由题意得，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
由，得，故，
所以，故，
又因为，且，所以，
所以，
综上，.
（3）由题意得，，
若，则，即，满足题意.
若，则，情况如下：
当时，由，得，满足条件.
当且时，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
由得，
因为，所以，，
所以，解得，且，.
综上，的取值范围是.统计与概率：全概率公式与概率递推问题、概率最值与范围问题、比赛问题专项训练
考点目录
全概率公式与概率递推问题 概率最值与范围问题
比赛问题
1．（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系，并求出；
（ii）设，记数列的前项和为，求证：.
2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分．已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
(1)求小明答4道题后积分小于6的概率．
(2)设小明答5道题后积分为，求和．
(3)若小明一直答题，直到积分为0或12时停止，记小明的积分为时最终积分为12的概率为，则．
（i）证明：为等比数列；
（ii）求的值．
3．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为．
(1)求．
(2)当时，证明：．
(3)求.
4．（25-26高三上·四川·开学考试）已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的数学期望．
5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为.
(1)求乙第2局赢的概率；
(2)求；
(3)若存在，使得成立，求整数的最小值.
【参考：，，，】
6．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局．
(1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望；
(2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，．
7．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.
(1)求该操作员第二次降落成功的概率；
(2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)设第i次降落成功的概率为，求证：.
1．（2025·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
2．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习）某核酸检测机构为筛查诊断新冠肺炎，需要检验唾液或咽拭子样本是否为阳性，现有份唾液或咽拭子样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份唾液或咽拭子样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的唾液或咽拭子样本全为阴性，因而这份唾液或咽拭子样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份唾液或咽拭子样本究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份唾液或咽拭子样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的唾液或咽拭子样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份唾液或咽拭子样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同答案的正实数，满足，对任意的，都有
(1)证明：为等比数列；
(2)当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，
3．（25-26高三上·河北·开学考试）在校园文化建设中，社团活动丰富多彩．学校为了解高一、二学生对手工制作社团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”，每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”．随机抽取100名学生，得到如下统计数据：
学生 参与热情 合计
积极参与 一般参与
高一学生 30 20 50
高二学生 25 25 50
合计 55 45 100
(1)依据的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级有关联？
(2)该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随机选一个．若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为；若周一选绘画社团，周二选手工制作社团的概率为．求小李周二选绘画社团的概率．
(3)用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作社团的学生人数为，记“”的概率为，求使取得最大值的的值．
参考公式及数据： 其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4．（25-26高三上·山西·阶段练习）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值．
（取）
5．（25-26高三上·重庆·开学考试）电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70
游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为；
①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望；
②甲以获胜的概率为，求的最大值．
参考公式：相关系数，参考数据：．
6．（24-25高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值.
7．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.
(1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；
(2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.
8．（24-25高二下·北京西城·期末）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；
(2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.
1．（2025·广东广州·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
2．（24-25高二上·浙江·开学考试）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．
(1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
(2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；
(3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响．
(1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求；
(2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算
的值；
(3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，．
4．（24-25高二下·辽宁·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为．
(1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束）
（ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率；
（ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率；
(2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由．
5．（2025·福建厦门·模拟预测）在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：
乙 球队 总计
胜 负
未参加比赛 30 70
参加比赛 10
总计 70
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则：
①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
．
6．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
(1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
(2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
(3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：.
7．（24-25高二下·重庆·期末）重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为．
(1)求甲队的夺冠概率．
(2)半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？
(3)求甲队能与丁队相遇的概率．
8．（2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为．
(1)若，求队以的比分赢得比赛的概率；
(2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：；
(3)当时，若，有，求的取值范围．

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