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指数函数 专项训练
一、单项选择题
1.函数f(x)=ax-a(a>0,且a≠1)的零点为(　　)
A.0 B.1
C.(1,0) D.a
2.函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)
3.若a=1.50.4,b=1.50.6,c=0.60.4,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
4.函数y=(的值域为(　　)
A.(0,2] B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
5.若函数f(x)=x(1+)是偶函数,则m=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.已知函数f(x)=2x+(x∈R),则f(x)的图象(　　)
A.关于直线x=1对称
B.关于点(1,0)对称
C.关于直线x=0对称
D.关于原点对称
二、多项选择题
7.给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程2x-y=0,下列对应关系f为函数的是(　　)
A.f:A→B,y=f(x)
B.f:B→A,y=f(x)
C.f:A→B,x=f(y)
D.f:B→A,x=f(y)
8.设函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的单调递增区间为[1,+∞)
C.f(x)的最小值为3
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
9.设集合M={-1,1},N={x|x>0且x≠1},函数f(x)=ax+λa-x(a>0且a≠1),则下列说法错误的是(　　)
A. λ∈M, a∈N,f(x)为增函数
B. λ∈M, a∈N,f(x)为减函数
C. λ∈M, a∈N,f(x)为奇函数
D. λ∈M, a∈N,f(x)为偶函数
10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=,且f(1)=1,则(　　)
A.f(0)=0
B.f(-1)=e2
C.exf(x)为奇函数
D.f(x)在(0,+∞)上具有单调性
三、填空题
11.设a,b为常数,若a>1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过第　　　　象限.
12.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为　　　　　.
13.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　　.
四、解答题
14.(13分)已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0),且f(x)是奇函数.
(1)求a的值;
(2)若 x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围.
15.(15分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2.
(1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
答案
1.B　因为f(x)=ax-a(a>0,且a≠1),令f(x)=ax-a=0,解得x=1,即函数的零点为1.故选B.
2.D　根据题意,函数y=ax-(a>0,且a≠1),当x=-1时,必有y=0,即函数经过点(-1,0),排除ABC.
3.D　因为函数y=1.5x在R上单调递增,且0.4<0.6,所以1.50.4<1.50.6,即aa>c.
4.A　依题意,令t=x2-2x,则t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,因为y=()t单调递减,且y=()t>0,所以y=()t≤()-1=2,y∈(0,2],故选A.
5.A　函数f(x)=x(1+)的定义域为{x|x≠0},由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即-x(1+)=x(1+),整理得=-2,所以m=-2.故选A.
6.A　对于A选项,由已知可得,f(2-x)=22-x+=4=2x+=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;对于B选项,因为f(2-x)=2x+,则f(2-x)≠-f(x),故B错误;对于C选项,f(-x)=2-x+=4·2x+,则f(-x)≠f(x),故C错误;对于D选项,因为f(-x)=4·2x+,则f(-x)≠-f(x),故D错误.故选A.
7.ABD　对于A,y=f(x)=2x, x∈A,均有唯一确定f(x)∈(0,+∞)=B,符合函数定义,A正确;对于B,y=f(x)=2x, x∈B,均有唯一确定f(x)∈(1,+∞) A,符合函数定义,B正确;对于C,x=f(y)=log2y,取y=1∈A,x=0 B,不符合函数定义,C错误;对于D,x=f(y)=log2y, y∈B,均有唯一确定f(y)∈R=A,符合函数定义,D正确.故选ABD.
8.ABD　易知函数f(x)=的定义域为R,故选项A正确;f(x)=可看作由y=3u与u=x2-2x+3复合而成,而y=3u为增函数,所以函数f(x)=的单调递减区间为u=x2-2x+3的单调递减区间(-∞,1],函数f(x)=的单调递增区间为u=x2-2x+3的单调递增区间[1,+∞),故选项B正确;由选项B可知f(x)min=f(1)=31-2+3=9,故选项C错误;因为f(2-x)==f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故选项D正确.故选ABD.
9.ABC　当λ=1时,f(x)=ax+a-x,当a>1时,f(x)在(-∞,0)上不是增函数,故A错误;当λ=-1时,f(x)=ax-a-x,当a>1时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,B错误;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=ax+a-x=f(x),f(x)为偶函数,故C错误;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=a-x+ax=f(x),f(x)为偶函数,故D正确.故选ABC.
10.AC　对A,令x=y=0,则有f(0)=,即f(0)=0,故A正确;对B,x=1,y=-1,则有f(1-1)=,即f(0)=ef(1)+,由f(0)=0,f(1)=1,故0=e+,即f(-1)=-e2,故B错误;对C,令y=-x,则有f(x-x)=,即f(0)=exf(x)+e-xf(-x),即exf(x)=-e-xf(-x),又因为函数f(x)的定义域为R,则函数exf(x)的定义域为R,故函数exf(x)为奇函数,故C正确;对D,令y=x,则有f(x+x)=,即f(2x)=,即有,则当x=ln 2时,有=1,即f(2ln 2)=f(ln 2),故f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故D错误.故选AC.
11.二　已知a>1,b<-1,则指数函数y=ax单调递增,过定点(0,1),且|b|>1,函数y=ax+b的图象是由函数y=ax向下平移|b|个单位长度得到,作出函数y=ax+b的图象如图所示,可知图象必定不经过第二象限.
12　当01时,a2-a=,解得a=或a=0(舍去).综上所述,a=或a=
13.e　由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,∴aln 2=2,又a>0且a≠1,两边取对数,得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
14.解 (1)f(x)=2x+,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以+2x=-(2x+),所以(+1)(2x+)=0,即+1=0,解得a=-1.
(2)因为f(x)=-2x,x∈[1,2],所以-22x≥m(-2x),
所以m+2x,x∈[1,2],令t=2x,t∈[2,4],
由于y=t+在[2,4]上单调递增,所以m≥4+
15.解 (1)当a=-2时,f(x)=4x-2×2x-2=(2x-1)2-3.令2x=t,由x∈(0,+∞),可得t∈(1,+∞).令g(t)=(t-1)2-3,有g(t)>-3,可得函数f(x)的值域为(-3,+∞),故函数f(x)在(0,+∞)上不是有界函数.
(2)由题意得,当x∈(-∞,0)时,-2≤4x+a·2x-2≤2,可化为0≤4x+a·2x≤4,必有a·2x≥0且a-2x.令2x=k,由x∈(-∞,0),可得k∈(0,1),由a·2x≥0恒成立,可得a≥0.令h(k)=-k(0h(1)=4-1=3.由a-2x恒成立,可得a≤3.若函数f(x)在(0,+∞)上是以2为上界的有界函数,则实数a的取值范围为[0,3].

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