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指数与对数的运算 专项训练
一、单项选择题
1.若a≥0,b∈R,则化简+()2+的结果是(　　)
A.3+a+b B.3+a+|b|
C.2+a+b D.2+a+|b|
2.已知函数f(x)=则f(log212)=(　　)
A. B.
C. D.
3.若a=log35,5b=6,则ab-log32=(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
4.已知ab≠1,logam=2,logbm=3,则logabm=(　　)
A. B.
C. D.
5.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值,里氏震级的计算基于地震波的振幅,计算公式为M=lg A-lg A0,其中M表示某地地震的里氏震级,A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅,A0表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中,某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5 000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震的里氏震级约为(　　)(参考数据:lg 2≈0.3)
A.6.3级 B.6.4级
C.7.4级 D.7.6级
6.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用90 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生极佳口感;在20 ℃室温下,茶水温度从90 ℃开始,经过t min后的温度为y ℃,可选择函数y=60×0.9t+20(t≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律,则在上述条件下,当该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时,需要放置的时间最接近的是(　　)(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A.2.5 min B.4.5 min
C.6 min D.8 min
二、多项选择题
7.下列运算中正确的是(　　)
A.=log75
B.(
C.=3-π
D.(+ln(ln e)=6
8.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在14 ℃的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是(　　)(参考数据:2.85≈172,2.76≈387)
A.b∈(5,6)
B.若该食品储藏温度是21 ℃,则它的保鲜时间是16小时
C.k<0
D.若该食品保鲜时间超过96小时,则它的储藏温度不高于7 ℃
三、填空题
9.若log23x=1,则9-x=　　　.
10.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365,一年后“进步”的是“退步”的=()365≈1 481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%,那么“进步”的是“退步”的1 000倍需要经过的天数大约是　　　.(精确到整数)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
11.已知2a=32,loga2·log4x=a,则log5x+logx5=　　　　　.
四、解答题
12.(13分)计算下列各式:
(1)(lg 2)2+lg 5·lg 20;
(2)lo4-log23·lo8;
(3)+(-)0+(1.5)-4·-[(-2)4.
13.(15分)某工厂产生的废气,过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k为正常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,请解决下列问题:
(1)10 h后还剩百分之几的污染物
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
14.(15分)已知函数f(x)=,g(x)=.
(1)分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值;
(2)根据(1)的计算过程,写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式,并证明.
答案：
1.B　由=3,()2=a,=|b|可知,+()2+=3+a+|b|.故选B.
2.A　f(log212)=f(log212-1)=f(log26)=f(log26-1)=f(log23)==3+,故选A.
3.A　由5b=6得b=log56,所以ab-log32=log35·log56-log32=log35-log32=log36-log32=log3=log33=1,故选A.
4.D　由题意知,m>0,a>0,b>0,因为logam=2,logbm=3,所以由换底公式可得logma=,logmb=,又因为logma+logmb=logmab(ab≠1),所以logmab=,所以由换底公式可得logabm=故选D.
5.B　由题意,某地地震波的最大振幅为5 000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,可得M=lg 5 000-lg 0.002=lg-lg=4-lg 2-(lg 2-3)=7-2lg 2≈6.4.故选B.
6.B　由题意可知,函数y=60×0.9t+20(t≥0),令60×0.9t+20=60,则0.9t=,两边同时取对数可得lg 0.9t=lg,即tlg=t(2lg 3-1)=lg 2-lg 3,即t==4.5 min.故选B.
7.BD　对于A,=log57,故A错误;对于B,(=(,故B正确;对于C,=|3-π|=π-3,故C错误;对于D,(+ln(ln e)=+ln 1=6+0=6,故D正确.故选BD.
8.ACD　在函数y=ekx+b中,当x=0时,eb=192,由2.85≈172,2.76≈387知,b∈(5,6),故A正确;当x=14时,e14k+b=48,所以e14k=,则e7k=,当x=21时,e21k+b=(e7k)3·eb=()3×192=24,故B不正确;由e7k=,得k=ln <0,故C正确;由y≥96,得96≤ekx·eb=192(,所以x≤7,故D正确.故选ACD.
9　由log23x=1,可得3x=2,则9-x=3-2x=(3x)-2=2-2=
10.17　设经过x天“进步”的是“退步”的1 000倍,则1 000×(1-0.2)x=1.2x,即=1 000,故x=lo1 000=17.
11　因为2a=32=25,解得a=5,所以loga2·log4x=log52·lox=log52·log2x=log5x=5,即log5x=4,所以x=54,所以log5x+logx5=log554+lo5=4+
12.解 (1)原式=(lg 2)2+lg 5·lg(4×5)=(lg 2)2+2lg 5·lg 2+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1.
(2)原式=4log22+3log23·log32=4+3=7.
(3)原式=2+1+()-4·(-4=3+-4=-
13.解 (1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,那么P=P0·0,所以当t=10时,P=0.81P0,即10 h后还剩下81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,0.5P0=P00,解得t=5log0.90.5=-5log0.92=-5=-533,
即污染减少50%大约需要花33 h.
14.解 (1)f(4)-5f(2)g(2)=-5=0,
f(9)-5f(3)g(3)=-5=0.
(2)由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)-5f(x)g(x)=0,证明如下:
f(x2)-5f(x)g(x)=)-5=0,
因此,等式成立.

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