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八上第一次学情调研 数学
总分：120分 时间：120分钟
一、单选题（共 10 小题）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2 a3＝a5 D．（a2）4＝a6
3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线 l对称，∠BAC=20°，∠B'=30°，则∠C的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．下列各组图形中， 是△ 的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面 2米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折
断前的高度为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
6．如图，任意画出一个 Rt△ABC，使∠C=90°．①画∠MC′N=90°；②以 C′为圆心，BC为半
径画弧交 C′M于点 B′；③以 C′为圆心，AC为半径画弧交 C′N于点 A′；④连接 A′B′，
则可以得到 Rt△A′B′C′与 Rt△ABC全等，判定全等的理由是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
第 3题图 第 5题图 第 6题图
2024 2025
3 2
7．计算 2
3 的结果是（ ）
A 2 2 3 3．- B． C．- D．
3 3 2 2
8．要使多项式 2 + 2 不含 的一次项，则 的值为（ ）
A．- 4 B．4 C．- 1 D．1
9．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，
这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中 BD是“优美
线”的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点 C作 CD⊥AB于点 D，过点 B作 BM⊥AC于点 M，
连接 MD，过点 D作 DN⊥MD，交 BM于点 N．CD与 BM相交于点 E，若点 E是 CD的中点，则
下列结论中正确的有（ ）个
①AD＝DE；②∠AMD＝45°；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ABC= 5S△DNE．
A．1 B．2 C．3 D．4
第 10题图 第 14题图 第 16题图
二、填空题（共 6 小题）
11．计算：6 3 ÷ 2 = ．
12．若5 5 = 125， 则 m+n= ．
13．一个多边形的内角和是 1080°，则这个多边形的边数是 ．
14 1．如图，在△ 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，
2
作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 = 3， = 7，则△ 的周长为 ．
15．如果一个等腰三角形的两边长为 2和 5，那么这个三角形的周长是 ．
16．如图，△ 中，∠ = 90°， = 6， = 8， 平分∠ ，且 ⊥ ，则△ 与△
的面积和是 ．
三、解答题（共 9 小题）
17．计算：(1) 1 2025- - 2- 3 9 ； (2) 3 + 2 2 2．
3 + = 0 4 1 > 2
18．（1）解方程组： 2 = 7； （2）解不等式组： 1 ≤ 2 ．2 3
19．先化简，再求值： x 2y x y x y x 2y ，其中 = 0， = 2．
20．如图，在平面直角坐标系 中，△ABC三个顶点坐标
分别为 A(-3,5),B(-1,2),C(-4,1)．
(1) 请画出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1；
(2)请直接写出点 B1，C1的坐标；
(3)请求出△ABC的面积．
21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，过点 A作 AD//BC，交∠ABC的
平分线于点 D，BD交 AC于点 E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若点 E是 AC的中点，求∠D的度数．
22．为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料，根据调查得知，3辆重型卡车与
2辆轻型卡车可以一次共同运输 800箱；7辆重型卡车与 4辆轻型卡车可以一次共同运输 1800箱．
(1)求 1辆重型卡车和 1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共 15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为 6000
元．每趟每辆轻型货车的费用为 4000元．总费用不超过 73000元，那么最多安排多少台重型货车？
23．如图①，在四边形 ABCD中，已知∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点 E在 CD的
延长线上，∠BAC＝∠DAE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求证：CA平分∠BCD；
(3)如图②，若 AF是△ABC的边 BC上的高，已知 AF＝2，求四边形 ABCD的面积.
24. 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都
不为 0时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式．
【特例感知】
代数式 m + n + p中任意两个字母交换位置，可得到代数式 n + m + p，p + n + m，m + p + n，因
为 n + m + p＝p + n + m＝m + p + n，所以 m + n + p是对称式．而交换式子 m n中字母 m，n
的位置，得到代数式 n m，因为 m n≠ n m，所以 m n不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
（1）下列代数式中是对称式的有 （填序号）；

①2m 2n m n
( 1) 2025 2026
；②[（ 2） ] ；③ ；④（ ） ；⑤（ + ） ．( 1)
（2）若关于 m，n的代数式 k（m n）2 km2+n2为对称式，则 k的值为 ；
（3）已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q．
①若 p＝4，q＝﹣3，求对称式（a﹣3）（b﹣3）的值；
②若 p = -1，且对称式 2 + 2 ( + )= 0，求代数式 3 3 2 + 2026的值．
25. 以线段 、 为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ 与等腰△ ， = ， = ，
∠ = ，∠ = ，且 + = 180°．
(1)如图 1，当点 A、B、C三点共线时，求证： ⊥ ；
(2)如图 2，当点 A、B、C三点不共线时，连接 ，点 为 中点，连接 、 ，求证： ⊥ ；
(3)如图 3，当点 B在线段 上运动时（点 B与 A、D不重合），连接 DE，若 = 60°，AC = 4，且
S 1△ACD=4 3，求 AE DE的最小值.
2
八上第一次学情调研参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B A C A B D D
11．3m2 12．3 13．八 （8）
14．10 15．12 16．12
17．(1) 3 ； (2) 3x4 .
2025
【详解】（1）解： -1 - 2- 3 9 -1- 2 - 3 3 -1- 2 3 3 3．
（2 2）解： x x 3 2x2 x4 4x4 3x4 ．
18 = 1 1 4．（1） = 3 ;（2） < ≤ .2 3
3 + = 0①
【详解】解：（1） ，
2 = 7②
①+2×②，得 7x=7, = 1，∴ = 1该方程组的解为 = 3；
4 1 > 2 ①
（2 1 4）
1 ≤ 2
解不等式①得 > ，解不等式②得 ≤ ，
② 2 3
2 3
∴ 1 4该不等式组的解集为 < ≤ ．
2 3
19． 2xy；4.
2 2 2 2
【详解】解：原式= x xy 2xy 2y x 2xy xy 2y =2xy，
当 = 0 = 1， = 2 时，原式=4．
20．(1)见解析;(2) ;(3) .
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．
（2）解： ；
（3）解： ．
21．(1)证明见解析(2)30°
【详解】
（1）证明：∵ BD平分∠ABC ∴ ∠ABD=∠DBC
又∵ AD//BC ∴ ∠D=∠DBC
∴ ∠D=∠ABD
∴ AD=AB
∴△ABD是等腰三角形
答案第 1页，共 4页
（2）解：∵ AD//BC∴ ∠DAE=∠C
又∵ AE=CE，∠AED=∠CEB
∴ △ADE≌△CAB（ASA） ∴ AD =BC
又由（1）得 AD=AB，依题 AB=AC
∴ AB=AC=BC ，△ABC是等边三角形∴ ∠ABC=60°
∵ BD平分∠ABC∴ ∠ABD=30°
∴ 由（1）知∠D=∠ABD=30°
∴∠D=30°．
22．(1)1辆重型卡车能够单独运输 200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输 100 箱展
览材料；
(2)最多安排 6台重型货车．
【详解】（1）解：设 1辆重型卡车能够单独运输 箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输
箱展览材料，
3 + 2 = 800 = 200
根据题意得： 7 + 4 = 1800，解得： = 100，
答：1辆重型卡车能够单独运输 200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输 100箱展览材料
（2）设使用 台重型货车，则使用 15 台轻型货车，
≥ 0
根据题意得： 15 ≥ 0 ，解得：0 ≤ ≤ 6.5，
6000 + 4000 15 ≤ 73000
又∵ 为正整数，∴ 的最大值为 6
答：最多安排 6台重型货车．
23．(1)见解析；(2)见解析；(3)4.
【详解】(1)∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中， AB＝AD， ∴△ABC≌△ADE(ASA).
∠ABC＝∠ADE，
(2)∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠ACD，即 CA平分∠BCD
(3)如图，过点 A作 AM⊥CE，垂足为点 M.
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM=2.
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD＋∠DAE＝∠CAD＋∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AM⊥CE，∴M为 CE的中点．∴CM＝AM＝ME=2.∴CE=4
答案第 2页，共 4页
又由（1）知△ABC≌△ADE，
∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=AM·CE÷2=4
24．(1)①②⑤；(2) -1；(3)①18；②2025.
【详解】解：（1）①∵2m 2n＝2n 2m，∴①是对称式；
②∵[（ 2）m]n＝[（ 2）m]n，∴②是对称式；
( 1) ( 1)
③∵ ≠ ，∴③不是对称式；
( 1) ( 1)
2025 2025
④∵（ ） ≠ （ ） ，∴④不是对称式；
2026 2026
⑤∵ （ + ） ＝（ + ） ，∴⑤是对称式；
故答案为：①②⑤；
（2）∵关于 m，n的代数式 k（m﹣n）2﹣km2+n2为对称式，
∴k（m﹣n）2﹣km2+n2＝k（n﹣m）2﹣kn2+m2，
∴k（m﹣n）2﹣k（n﹣m）2﹣km2+kn2+n2﹣m2＝0，
∴k（n2﹣m2）+（n2﹣m2）＝0，即（n2﹣m2）（k+1）＝0，
∴k＝﹣1．故答案为：﹣1；
(3)① 将（x﹣a）（x﹣b）展开，得：
（x﹣a）（x﹣b）= 2 + = 2 （ + ） + ，
∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2 + px + q，∴ + = = 4， = = 3，
又∵（a﹣3）（b﹣3）= 3 3 + 9，
把 + = 4， = 3代入，可得：
3 3 ×（ 4） + 9 = 18.
②∵ + = = 1， = 1
∴ 2 + 2 ( + ) = 2 + 2 = 2 + 1 2 1 = 0，
即 3 2 3 + 1 = 0，3 2 = 3 1 = 0，
∴3 3 2 + 2026 = (3 2 3 + 1)· + (3 2 3 + 1) + 2025 = 0· + 0 + 2025 = 2025
25(1)见解析；(2) 见解析；(3)2 3.
【详解】（1）证明：在△DAC中，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADC＝α 1，∠DCA+∠DAC+∠ADC＝180°，∴∠DCA＝90° 2α，
1
同理可得：∠ = 90° 2 ，
答案第 3页，共 4页
∵90° 2 + 90°

2 + ∠ = 180°，α+β＝180°，
∴∠DCE＝90°，∴DC⊥CE；
（2）证明：延长 DF至 Q，使 FQ＝DF，连 BQ，
=
在△AFD和△BFQ中， ∠ = ∠ ，∴△AFD≌△BFQ（SAS），
=
∴AD＝BQ，∠DAF＝∠QBF，
又∵AD＝DC，∴DC＝QB，
由（1）知∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠EBC，
设∠DAC＝∠DCA＝x，∠ECB＝∠EBC＝y，
∠CAB＝∠1，∠CBA＝∠2，
∴∠QBF＝x﹣∠1，
∴∠QBE＝y+x﹣∠1﹣∠2，∠DCE＝180°﹣y﹣x﹣∠1﹣∠2，
由（1）知 y+x＝90°，
∴∠DCE＝∠QBE＝90°﹣∠1﹣∠2，
=
在△DCE和△QBE中， ∠ = ∠ ，∴△DCE≌△QBE（SAS），∴DE＝QE，
=
又∵DF＝QF，∴DF⊥EF；
（3）解：取 AB的中点 F，连接 EF，由（2）知 DF⊥EF，
∴EB＝EA，
∵EB＝EC，∴EC＝EA，即点 E在 AC的垂直平分线上
∵α = 60°，DA = DC，∴△ACD是等边三角形，
∴DE平分∠ADC,则∠EDC=30°，
作 EH⊥CD于 H,则 EH 1= DE(在含 30°角的直角三角形中，对边是斜边的一半)，
2
1
∴AE+ DE=AE+EH,根据垂线段最短，当 A、E、H共线且 AH⊥BC时，AE+EH最小值为 A到
2
CD的距离 h，
AC = 4 3 1∵ =4， △ ，有 × 4 = 4 3,解得 h=2 3.2
可求得最小值为 2 3.
答案第 4页，共 4页

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