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宁夏回族自治区银川市第二中学 2026 届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = 1 ≤ ≤ 2 , = ∈ N < 2 ，则 ∩ =( )
A. < 2 B. 0,1 C. 1,0,1 D. 1 ≤ < 2
2 = 3 i.复数 i 在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命题“ ∈ ，有 2 + 2 + 3 ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ R，有 2 + 2 + 3 < 0 B. 0 ∈ R，使得 20 + 2 0 + 3 < 0
C. R，有 2 + 2 + 3 < 0 D. ∈ R，使得 20 0 + 2 0 + 3 ≥ 0
4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，
日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于 400 元的销售收入．则这批台灯
的销售单价 (单位：元)的取值范围是( )
A. |10 ≤ < 16 B. |12 ≤ < 18 C. |15 ≤ ≤ 20 D. |10 ≤ ≤ 20
5 log , > 0.函数 ( ) = 2 2 + , ≤ 0有且只有一个零点的充要条件是( )
A. 0 < < 1 B. ≤ 0 或 > 1 C. 0 < < 12 D.
1
2 < < 1
6.已知函数 ( ) = | | | 2| + 1，则对任意实数 ，有( )
A. (1 ) = 2 (1 + ) B. ( ) = ( ) 2
C. (2 ) = 2 + ( ) D. (2 + ) = (2 )
7.函数 = cos + ln 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
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8.已知 ( )是定义在 R 上的奇函数，且当 > 0 时， ( ) = 2 3 + 2，则以下说法错误的是( )
A. (0) = 0 B.当 < 0 时， ( ) = 2 3 2
C. ( ) ≥ 2 当且仅当 ≥ 3 D. = 1 是 ( )的极大值点
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1，则( )
A.当 > 1 时， ( )有三个零点
B.当 < 0 时， = 0 是 ( )的极大值点
C.存在 ， ，使得 = 为曲线 = ( )的对称轴
D.存在 ，使得点 1, (1) 为曲线 = ( )的对称中心
10.在 中，| + | = 6，| + | = 3，( + ) = 0，则( )
A. = 3 B. = 3π4
C. 3 3的面积为 2 D. + = 3 7
11.已知定义域均为 R 的函数 ( ), ( )满足 (2 ) + ( ) = 2, (4 ) = ( ), (2) = 3，若 ( ) =
(2 + ) + 4，则下列说法正确的是( )
A. ( )的图象关于 轴对称 B. 8 为 ( )的一个周期
C. (2023) = 1 D. 22 =1 ( ) = 16
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = ( , 1), = ( 1,2 ),若 ⊥ ，则| | =
13.已知函数 ( )的导数 ′( ) = ( + 1)( )，若 ( )在 = 1 处取到极大值，则 的取值范围是 ．
14.设 ∈ (0,1)，若函数 ( ) = + (1 + ) 在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 = 2 sin ．
(1)求角 的大小；
(2)若 不是钝角三角形，且 = 3， + = 3， > ，求 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
设等比数列{ }满足 1 + 2 = 4， 3 1 = 8．
(1)求{ }的通项公式；
(2)记 为数列{log3 }的前 项和．若 + + 1 = +3，求 ．
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17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中， ⊥底面 , // , = = = 1, = 2, = 3．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e 3．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
( ) = 1已知函数 22 + 2ln ∈ R ．
(1)若函数 ( )有两个极值点 1, 2 1 < 2 ，求 的范围；
(2)在(1)的条件下，求证：2 1 + 2 > 9 3ln2．
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参考答案
1.
2.
3.
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8.
9.
10.
11.
12. 2
13.(0, + ∞) ∪ ( ∞, 1)
14. 5 12 , 1
15.【详解】(1)在 中，由 3 = 2 sin 及正弦定理得 3sin = 2sin sin ，
又 0 < < π 3，所以 sin > 0，故 sin = 2 ，
又 0 < < π = π = 2π，所以 3或 3 ．
(2) π由(1)知不是钝角三角形则 = 3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 2 + 2 = 3，
即( + )2 3 = 3，而 + = 3，则 = 2，
又 > ，所以解得 = 2, = 1．
16.【详解】(1)设等比数列 的公比为 ，
1 + 1 = 4 = 1
根据题意，有 1 21 1 = 8
，解得 = 3 ,
所以 = 3 1 ；
(2)令 = log = log 3 1 3 3 = 1，
所以 = (0+ 1) 2 =
( 1)
2 ，
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根据 + +1 =
( 1) ( +1) ( +2)( +3)
+3，可得 2 + 2 = 2 ，
整理得 2 5 6 = 0，因为 > 0，所以 = 6，
17.【详解】(1)证明：在四边形 中，作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
因为 // , = = = 1, = 2，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 = = 12，
3
故 = 2 22 ， = + = 3，
所以 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
= 3，
则 (1,0,0), 0, 3, 0 , 0,0, 3 ，
则 = 1,0, 3 , = 0, 3, 3 , = 0,0, 3 ，
设平面 的法向量 = ( , , )，
{ = + 3 = 0则有 ，可取 = 3, 1,1 ，
= 3 + 3 = 0
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cos , =
5
则

= 5 ，
5所以 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
18.【详解】(1)当 = 1 时，则 ( ) = e 1， ′( ) = e 1，
可得 (1) = e 2， ′(1) = e 1，
即切点坐标为 1, e 2 ，切线斜率 = e 1，
所以切线方程为 e 2 = e 1 ( 1)，即 e 1 1 = 0．
(2)解法一：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ≤ 0，则 ′( ) ≥ 0 对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
1
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，则 ′( ) = 2 + > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)；
解法二：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
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若 ( )有极小值，则 ′( ) = e 有零点，
令 ′( ) = e = 0，可得e = ，
可知 = e 与 = 有交点，则 > 0，
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，符合题意，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，
因为则 = 2, = ln 1 在(0, + ∞)内单调递增，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
2
19. 1【详解】(1)由 ( ) = 2
2 + 2ln ( > 0)，得 ′( ) = + 2 +2 = ，
令 ( ) = 2 + 2，则 = 2 8，
①当 ≤ 0，即 2 2 ≤ ≤ 2 2时， ( ) ≥ 0 恒成立，
则 ′( ) ≤ 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
②当 > 0，即 < 2 2或 > 2 2，
( )当 < 2 2时， ( )在(0, + ∞)上单调递增， ( ) > (0) > 0 恒成立，
从而 ′( ) < 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
2 2
( ) 8 + 8当 > 2 2时，函数 ( )有两个零点： 1 = 2 ， 2 = 2 ，
列表如下：
0, 1 1 1, 2 2 2, + ∞
′( )
0 + 0
( )
减 极小值 增 极大值 减
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综上，当函数 ( )有两个极值点时， 的范围为 2 2, + ∞ ．
(2)由(1)知，当 > 2 2时， ( )有两个极值点 1， 2， 1 < 2，
且 1， 2是方程 ( ) = 0 的两个根，从而 1 = 21 + 2， 22 = 2 + 2，
由韦达定理得 1 2 = 2， 1 + 2 = ，所以 0 < 1 < 2 < 2，
则 2 1 + 2 = 2
1 22 1 +
1 2
1 2ln 1 + 2 2 + 2 2ln 2
= 2
1 1
1 + 2 1 4ln 1 2
2
2 + 2 2 2 22 2ln 2 = 1 + 2 1 + 2 4ln 1 2 2 + 2 + 2 2ln 2
= 2 + 11 2
2
2 ln 4 2
4 1
1 2 + 6 = 2 + 2
2
2 ln
16
2
+ 6，
2 2
令 = 22( > 2)， ( ) =
4 1
+ 2 ln
16
+ 6，
则 ′( ) = 4 1 1 ( +4)( 2) 2 + 2 + = 2 2 ，
当 > 2 时， ′( ) > 0，则 ( )在(2, + ∞)上单调递增，从而 ( ) > (2) = 9 3ln2，
故 2 1 + 2 > 9 3ln2．
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