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习题课4　小船过河与关联速度问题
1.已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内过河、最短位移过河的情景图依次是（　　）
A.①② B.①⑤
C.④⑤ D.②③
2.（多选）野外求生时必须具备一些基本常识，才能在享受野外探险刺激的同时，保证最基本的安全。一野外求生人员进入河中央小岛的情景如图所示。已知河宽80 m，水流速度为3 m/s，人在静水中游泳的速度为5 m/s，P为河正中央的小岛，O为河边一位置，OP垂直河岸，人要从河边某处游到小岛P处，则该人员运动的（　　）
A.最短位移为40 m
B.最短位移为50 m
C.最短时间为10 s，应从O点左侧30 m处开始游动
D.最短时间为8 s，应从O点左侧24 m处开始游动
3.小船过一条河，船头方向始终与河岸垂直，小船相对静水的速度大小不变。小船由A到B的运动轨迹如图所示，则该过程中河水的流速（　　）
A.一直减小 B.一直增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
4.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度（　　）
A.不变 B.逐渐增大
C.逐渐减小 D.先增大后减小
5.如图所示，在水平力F作用下，物体B沿粗糙水平地面向右运动，物体A恰匀速上升，那么以下说法正确的是（　　）
A.物体B正向右做匀减速运动
B.斜绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2
C.地面对物体B的摩擦力减小
D.物体B正向右做加速运动
6.如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一绕过定滑轮的轻绳相连，现在A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是（　　）
A.此时B球的速度为v
B.此时B球的速度为v
C.在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动
D.在β增大到90°的过程中，B球做减速运动
7.（多选）一条小船要过50 m宽的河，已知船在静水中的速度为4 m/s，水流速度为3 m/s，则以下说法中正确的是（　　）
A.小船过河的位移一定大于50 m
B.小船过河的速度一定小于等于5 m/s
C.小船过河的最短时间为12.5 s
D.若船头指向不变，则小船过河时将做匀速直线运动
8.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA＝20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为（　　）
A.10 m/s B. m/s
C.40 m/s D.10 m/s
9.如图所示，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速率v拉动软藤，当软藤与竖直方向成θ角时，小猴子的水平运动速度大小为（　　）
A.vcos θ B.vsin θ
C. D.
10.（多选）如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆AB，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前（　　）
A.半圆柱体向右做匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B.半圆柱体向右做匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C.半圆柱体以速度为v向右做匀速运动，杆同半圆柱体接触点和半圆柱体中心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D.半圆柱体以速度为v向右做匀速运动，杆同半圆柱体接触点和半圆柱体中心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
11.（2024·江苏淮安期末）如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖直平面内，小球P、Q用小铰链（图中未画出）分别与轻杆两端相连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小为（　　）
A.vcos θ B.v
C. D.
12.有一小船正在渡河，如图所示，在到达离对岸30 m的P点时，其下游40 m处有一危险水域，假设船的发动机可以使船在静水中以6 m/s 的速度行驶，水流速度为5 m/s，求：
（1）为了能在最短时间内靠岸，则船头的方向及渡河的时间为多少？是否有危险？
（2）若船刚到达P点时发动机突然停止工作，只能改用桨划船，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么小船从现在起相对于静水的最小划行速度应是多大？
习题课4　小船过河与关联速度问题
1.C　小船过河类问题，若要小船在最短时间内过河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移过河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确。
2.AD　由题意可知，人在静水中的速度大于水流速度，则人可以垂直河岸沿OP运动到P点，即最短位移为40 m，故A正确，B错误；当人在静水中的速度方向垂直河岸时，所用时间最短，为tmin＝ s＝8 s，应从O点左侧d＝v水tmin＝3×8 m＝24 m处开始游动，故C错误，D正确。
3.A　从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，加速度的方向与水流方向相反，水速一直减小，故A正确，B、C、D错误。
4.B　小船的运动为实际运动，故把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速度v不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向间的夹角θ逐渐增大。v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大，选项A、C、D错误，B正确。
5.B　将物体B的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向，沿绳方向上的分速度等于物体A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝vA，所以vB＝，在物体B向右运动的过程中α减小，vA不变，所以物体B的速度减小，但不是匀减速，A、D错误；根据vBcos α＝vA，斜绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2，B正确；物体A做匀速运动，则绳子的拉力始终不变，B向右运动的过程中绳与水平方向之间的夹角减小，所以绳沿竖直方向的分力减小，对B进行受力分析可知物体B受到地面的支持力增大，所以物体B受到地面的滑动摩擦力也增大，C错误。
6.A　如图所示，将A球的速度分解到沿轻绳方向和垂直于轻绳的方向上，A球沿轻绳方向的分速度等于B球沿轻绳方向的分速度。沿轻绳方向的分速度为v绳子＝vcos α＝vBcos β，所以vB＝＝ v，故A正确，B错误。在β增大到90°的过程中，轻绳的方向与B球运动的方向之间的夹角始终是锐角，所以轻绳对B球的拉力一直是动力，B球的速度一直增大，B球做加速运动，故C、D错误。
7.CD　船在静水中的速度大于水流速度，所以船的合速度可以垂直河岸，船可以行驶至河岸对面，这时船的位移就是50 m，故A错误；小船的过河速度与小船的过河方向有关，小船过河速度可能大于5 m/s，故B错误；小船过河最短时间跟垂直河岸的分运动有关，当垂直河岸的分运动的速度等于小船在静水中的速度时，小船的过河时间最短，设河宽为d，则过河时间为t＝＝12.5 s，故C正确；若船头指向不变，小船在垂直于河岸的分运动和顺流水方向的分运动均是匀速直线运动，所以小船合运动是匀速直线运动，故D正确。
8.B　将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos 30°，解得vB＝＝ m/s，故B正确。
9.D　由题意知，小猴子沿绳子方向的速度等于老猴子拉绳子的速度，如图所示，小猴子沿水平方向的速度为v'，即v＝v'sin θ，所以小猴子沿水平方向的运动速度v'＝，D正确。
10.BC　竖直杆与半圆柱体接触点的实际速度是接触点沿切线方向的速度与半圆柱速度的合速度，如图所示，根据速度的合成，运用平行四边形定则，得v杆＝vtan θ，故C正确，D错误。半圆柱体向右运动，θ角减小，由v杆＝vtan θ知，A错误，B正确。
11.B　若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆方向的分速度相等，则有vcos θ＝vQcos θ，解得Q的速度大小为vQ＝v，故选B。
12.（1）见解析　（2）3 m/s
解析：（1）当船头朝向正对岸航行时，渡河时间最短，为t＝＝ s＝5 s，此时船沿河岸方向前进的距离为x＝v水t＝5×5 m＝25 m＜40 m，所以没有危险。
（2）设小船到达危险区前，恰好到达对岸，合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为θ，则有tan θ＝＝，即θ＝37°，小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则可知，当船相对于静水的速度v船'垂直于合速度v合时，v船'最小，由图可知v船'＝v水sin θ＝5× m/s＝3 m/s。
3 / 3习题课4　小船过河与关联速度问题
核心素养目标 科学思维 通过对小船渡河的实例分析，理解运动的独立性、合运动与分运动的关系，掌握运动的合成与分解的矢量运算法则。
科学态度 与责任 通过对关联速度的求解，感受用物理知识解决实际问题的成就感，形成严谨的科学态度。
要点一　小船渡河问题
【探究】
如图所示，小船（小船视为质点）在有一定流速的水中渡河时，参与两个方向的分运动，即随水流的运动（水流的速度v水）和小船相对水的运动（即船在静水中的速度v船），小船的实际运动是合运动（v合）。（假设河的宽度为d，v船＞v水）思考以下问题：
（1）若使小船垂直于河岸过河（过河位移最短），应将船头偏向上游，如图所示，此时过河时间怎样计算？
（2）若使小船过河的时间最短，小船应怎样行驶？最短时间是多少？小船最终到达对岸什么位置？
【归纳】
1.模型构建
（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。
（2）小船渡河问题涉及的三个速度
①分速度v水：水流的速度；
②分速度v船：船在静水中的速度；
③合速度v：表示船的实际航行的速度。
2.小船渡河的两类常见问题
渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间 tmin＝
渡河位 移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
【典例1】　（多选）已知船在静水中的最大速度为8 m/s，船以该速度渡过某条河，河的两岸是平行线，船头与岸的夹角为30°时船恰好垂直于岸航行，河水流速恒定，船经过20 s 到达对岸，则下列说法正确的是（　　）
A.河宽为80 m
B.河水流速大小为4 m/s
C.船的实际速度大小为12 m/s
D.若船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°
尝试解答
1.端午节赛龙舟是中华民族的传统，龙舟竞渡是铜梁独具韵味的传统风情之一。若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽72 m 且两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为4 m/s，河水的流速为3 m/s，下列说法正确的是（　　）
A.该龙舟以最短时间渡河通过的位移为96 m
B.该龙舟渡河的最大速率约为8 m/s
C.该龙舟渡河的最短时间为18 s
D.该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
2.小船横渡一条平直的河，河水流速平行于河岸。为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先做加速运动后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞。小船在静水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关于小船渡河的说法正确的是（　　）
A.小船的运动轨迹为直线
B.河宽是150 m
C.小船到达对岸时，沿水流方向运动了60 m
D.小船渡河的最大速度是13 m/s
要点二　“关联”速度问题
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。
2.常见模型
题型一　绳的关联速度
【典例2】　（多选）如图所示，人在岸上用跨过定滑轮的轻绳拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f。当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时（　　）
A.人拉绳行走的速度大小为vcos θ
B.人拉绳行走的速度大小为
C.船的加速度大小为
D.船的加速度大小为
尝试解答
题型二　杆的关联速度
【典例3】　（多选）如图所示，一根长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑的滑槽向下运动，B球沿水平光滑的滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），下列说法正确的是（　　）
A.A球下滑过程中的加速度一直大于g
B.B球运动过程中的速度先变大后变小
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
思路点拨　由于滑槽限制，杆接近水平时，杆在水平方向的速度趋于零，据此分析两球的运动情况。
尝试解答
1.质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。如图所示，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时，下列判断正确的是（　　）
A.P的速率为v
B.P的速率为vcos θ2
C.绳的拉力等于mgsin θ1
D.绳的拉力小于mgsin θ1
2.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（A、B可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中使其从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，A球与球形容器球心O等高，A球的速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（　　）
A.v2＝v1 B.v2＝2v1
C.v2＝v1 D.v2＝v1
1.如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的（　　）
A.Oa方向 B.Ob方向
C.Oc方向 D.Od方向
2.（多选）如图所示，小船速度大小为v1，方向与上游河岸成θ角，从A处过河，正好到达正对岸的B处。现水流速度变大少许，要使小船过河也正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有（　　）
A.保持v1不变，同时增大θ角
B.保持v1不变，同时减小θ角
C.保持θ角不变，增大v1大小
D.保持θ角不变，减小v1大小
3.（多选）（2024·山东东营期中）钓鱼是一项越来越受欢迎的活动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线，如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线（钓鱼者和鱼竿视为不动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法正确的是（　　）
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当θ＝60°时，鱼的速率为2v
C.当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v
D.鱼受到的合外力恒定
4.（2024·山东聊城期末）如图所示，图甲是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是（　　）
A.船以该种方式渡河位移最短
B.船以该种方式渡河时间最长
C.AB段中水流速度不断增大
D.BC段中水流速度不断减小
5.如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时（如图乙所示），小球B的速度是v，则此时A的速度为（　　）
A.v B.2v C.v D.v
习题课4　小船过河与关联速度问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）t＝＝。
（2）应使船头正对河岸行驶，如图所示，此时过河时间t＝，小船一定在对岸下游处靠岸。
【典例1】　AB　河宽为d＝vtsin 30°＝80 m，A正确；河水的流速为v'＝vcos 30°＝4 m/s，B正确；船的实际速度大小为v合＝vsin 30°＝4 m/s，C错误；若船以最短时间渡河，则船头垂直于河岸，航线与岸的夹角的正切值满足tan α＝＝，所以α≠60°，D错误。
素养训练
1.C　当该龙舟垂直河岸航行时渡河时间最短，可得tmin＝＝ s＝18 s，沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝54 m，则该龙舟以最短时间渡河通过的位移s＝＝ m＝90 m，A错误，C正确；当该龙舟在静水中的速度与水流速度方向相同时合速度最大，则最大速度为4 m/s＋3 m/s＝7 m/s＜8 m/s，B错误；由于该龙舟在静水中的速度大于河水的流速，因此该龙舟的合速度可以垂直河岸，能够沿垂直河岸的航线抵达对岸，D错误。
2.B　由图甲可知小船在静水中先做加速运动后做减速运动，具有加速度，又水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向垂直，小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d＝×30×10 m＝150 m，B正确；根据运动的等时性可知，小船沿水流方向运动了30 s，则沿水流方向运动的距离s＝3×30 m＝90 m，C错误；根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，为 m/s＝ m/s，D错误。
要点二
知识精研
【典例2】　AC　
船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转。因此将船的速度按如图所示（沿绳方向与垂直于绳方向）方向进行分解，人拉绳行走的速度大小v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，以船为研究对象，由牛顿第二定律，得Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
【典例3】　BC　先分析B球的运动情况，B球以初速度等于零开始向右运动，当A球落到最下方时B球的速度再次为零，所以B球在水平方向先加速后减速，即B球运动过程中的速度先变大后变小，根据受力分析可知，A球刚开始下滑时，杆对B球产生的是偏向右下方的力，所以杆对A球产生的是偏向左上方的力，此时A球的加速度小于重力加速度g，选项A错误，B正确；由于A球和B球沿杆方向的分速度大小相等，则当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，故选项C正确，D错误。
素养训练
1.B　
将小车的速度v进行分解如图所示，有vP＝vcos θ2，故A错误，B正确；小车向右运动， θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律，有T－mgsin θ1＝ma，可知绳对P的拉力T＞mgsin θ1，故C、D错误。
2.C　
当A球与球形容器球心O等高时，速度v1方向竖直向下，速度分解图如图所示，由图可知，v11＝v1sin 30°＝v1，B球此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向上的分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确。
【教学效果·勤检测】
1.B　人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对地面向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救生员做匀速直线运动，则救生员直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故选B。
2.BC　由题意可知，当水流速度稍有增大时，为保证能到达正对岸的B处，由图甲可知，当保持v1大小不变时，减小θ角，则可实现垂直到达正对岸的B处，选项A错误，B正确；由图乙可知，当保持θ角不变时，增大v1大小可实现垂直到达正对岸的B处，选项C正确，D错误。
3.AB　
如图，将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直于鱼线方向的速度，则v ＝ v鱼cos θ，当钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错误。
4.D　若船头垂直于河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
5.C　将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcos 45°＝v，解得vA＝v，故选C。
6 / 6(共62张PPT)
习题课4　小船过河与关联速度问题
核心素 养目标 科学思维 通过对小船渡河的实例分析，理解运动的独
立性、合运动与分运动的关系，掌握运动的
合成与分解的矢量运算法则。
科学态度 与责任 通过对关联速度的求解，感受用物理知识解
决实际问题的成就感，形成严谨的科学态
度。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　小船渡河问题
【探究】
　如图所示，小船（小船视为质点）在有一定流速的水中渡河时，参
与两个方向的分运动，即随水流的运动（水流的速度v水）和小船相对
水的运动（即船在静水中的速度v船），小船的实际运动是合运动（v
合）。（假设河的宽度为d，v船＞v水）思考以下问题：
（1）若使小船垂直于河岸过河（过河位移最短），应将船头偏向上
游，如图所示，此时过河时间怎样计算？
提示： t＝＝。
（2）若使小船过河的时间最短，小船应怎样行驶？最短时间是多
少？小船最终到达对岸什么位置？
提示： 应使船头正对河岸行驶，如图所
示，此时过河时间t＝，小船一定在对岸下
游处靠岸。
【归纳】
1. 模型构建
（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的
合运动。
（2）小船渡河问题涉及的三个速度
①分速度v水：水流的速度；
②分速度v船：船在静水中的速度；
③合速度v：表示船的实际航行的速度。
2. 小船渡河的两类常见问题
渡河时 间最短
渡河
位移
最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足
v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河
位移最短，等于河宽d
【典例1】　（多选）已知船在静水中的最大速度为8 m/s，船以该速
度渡过某条河，河的两岸是平行线，船头与岸的夹角为30°时船恰好
垂直于岸航行，河水流速恒定，船经过20 s到达对岸，则下列说法正
确的是（　　）
A. 河宽为80 m
C. 船的实际速度大小为12 m/s
D. 若船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°
解析：河宽为d＝vtsin 30°＝80 m，A正确；河水的流速为v'＝vcos
30°＝4 m/s，B正确；船的实际速度大小为v合＝vsin 30°＝4 m/s，
C错误；若船以最短时间渡河，则船头垂直于河岸，航线与岸的夹角
的正切值满足tan α＝＝，所以α≠60°，D错误。
1. 端午节赛龙舟是中华民族的传统，龙舟竞渡是铜梁独具韵味的传统
风情之一。若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽72 m且两
岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为4 m/s，河水的流速为3
m/s，下列说法正确的是（　　）
A. 该龙舟以最短时间渡河通过的位移为96 m
B. 该龙舟渡河的最大速率约为8 m/s
C. 该龙舟渡河的最短时间为18 s
D. 该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
解析： 　当该龙舟垂直河岸航行时渡河时间最短，可得tmin＝
＝ s＝18 s，沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝54 m，则该龙舟以最短
时间渡河通过的位移s＝＝ m＝90 m，A错误，
C正确；当该龙舟在静水中的速度与水流速度方向相同时合速度最
大，则最大速度为4 m/s＋3 m/s＝7 m/s＜8 m/s，B错误；由于该龙
舟在静水中的速度大于河水的流速，因此该龙舟的合速度可以垂直
河岸，能够沿垂直河岸的航线抵达对岸，D错误。
2. 小船横渡一条平直的河，河水流速平行于河岸。为尽快到达对岸，
船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先做加速运动
后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞。小船在静
水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关
于小船渡河的说法正确的是（　　）
A. 小船的运动轨迹为直线
B. 河宽是150 m
C. 小船到达对岸时，沿水流方向运动
了60 m
D. 小船渡河的最大速度是13 m/s
解析： 　由图甲可知小船在静水中先做加速运动后做减速运动，
具有加速度，又水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向
垂直，小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研
究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度—时间图像中图线与时间
轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d＝×30×10 m＝150 m，
B正确；根据运动的等时性可知，小船沿水流方向运动了30 s，则
沿水流方向运动的距离s＝3×30 m＝90 m，C错误；根据矢量合成
法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，为
m/s＝ m/s，D错误。
要点二　“关联”速度问题
1. 解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向
的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转
动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳（或
杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。
2. 常见模型
题型一　绳的关联速度
【典例2】　（多选）如图所示，人在岸上用跨过定滑轮的轻绳拉
船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f。当轻绳与水面的夹角为θ
时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时（　　）
A. 人拉绳行走的速度大小为vcos θ
解析：船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间
的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转。因此将船的
速度按如图所示（沿绳方向与垂直于绳方向）方向进
行分解，人拉绳行走的速度大小v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，以船为研究对象，由牛顿第二定律，得Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
题型二　杆的关联速度
【典例3】　（多选）如图所示，一根长直轻杆两端分别固定小球A和
B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。
由于微小的扰动，A球沿竖直光滑的滑槽向下运动，B球沿水平光滑的
滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），下列
说法正确的是（　　）
A. A球下滑过程中的加速度一直大于g
B. B球运动过程中的速度先变大后变小
C. vA＝vBtan θ
D. vA＝vBsin θ
思路点拨　由于滑槽限制，杆接近水平时，杆在水平方向的速度趋于
零，据此分析两球的运动情况。
解析：先分析B球的运动情况，B球以初速度等于零开始向右运动，当
A球落到最下方时B球的速度再次为零，所以B球在水平方向先加速后
减速，即B球运动过程中的速度先变大后变小，根据受力分析可知，A
球刚开始下滑时，杆对B球产生的是偏向右下方的力，所以杆对A球产
生的是偏向左上方的力，此时A球的加速度小于重力加速度g，选项A
错误，B正确；由于A球和B球沿杆方向的分速度大小相等，则当杆与
竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝
vBtan θ，故选项C正确，D错误。
1. 质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光
滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小
车以速率v水平向右做匀速直线运动。如图所示，当小车与滑轮间
的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是（　　）
A. P的速率为v
B. P的速率为vcos θ2
C. 绳的拉力等于mgsin θ1
D. 绳的拉力小于mgsin θ1
解析： 　将小车的速度v进行分解如图所示，有vP
＝vcos θ2，故A错误，B正确；小车向右运动， θ2减
小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上
做加速运动，由牛顿第二定律，有T－mgsin θ1＝
ma，可知绳对P的拉力T＞mgsin θ1，故C、D错误。
2. 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（A、B可视为
质点），将其放在一个光滑球形容器中使其从位置1开始下滑，如
图所示，当轻杆到达位置2时，A球与球形容器球心O等高，A球的
速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度
大小为v2，则（　　）
B. v2＝2v1
C. v2＝v1
解析： 　当A球与球形容器球心O等高时，速
度v1方向竖直向下，速度分解图如图所示，由
图可知，v11＝v1sin 30°＝v1，B球此时速度
方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝
v2，两球沿杆方向上的分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b
点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运
动方向应为图中的（　　）
A. Oa方向 B. Ob方向
C. Oc方向 D. Od方向
解析： 　人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对地面
向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救生员做匀速直
线运动，则救生员直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故选B。
2. （多选）如图所示，小船速度大小为v1，方向与上游河岸成θ角，
从A处过河，正好到达正对岸的B处。现水流速度变大少许，要使
小船过河也正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有（　　）
A. 保持v1不变，同时增大θ角
B. 保持v1不变，同时减小θ角
C. 保持θ角不变，增大v1大小
D. 保持θ角不变，减小v1大小
解析： 　由题意可知，当水流速度稍有增大时，为保证能到达
正对岸的B处，由图甲可知，当保持v1大小不变时，减小θ角，则可
实现垂直到达正对岸的B处，选项A错误，B正确；由图乙可知，当
保持θ角不变时，增大v1大小可实现垂直到达正对岸的B处，选项C
正确，D错误。
3. （多选）（2024·山东东营期中）钓鱼是一项越来越受欢迎的活
动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线，如图所示，在
收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线
（钓鱼者和鱼竿视为不动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法
正确的是（　　）
A. 鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B. 当θ＝60°时，鱼的速率为2v
C. 当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v
D. 鱼受到的合外力恒定
解析： 　如图，将鱼的速度分解为沿鱼线方向的
速度和垂直于鱼线方向的速度，则v ＝ v鱼cos θ，当
钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增
大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，故A正
确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时v鱼
＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错
误。
4. （2024·山东聊城期末）如图所示，图甲是救援船水上渡河演练的
场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚
线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A
点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是
（　　）
A. 船以该种方式渡河位移最短
B. 船以该种方式渡河时间最长
C. AB段中水流速度不断增大
D. BC段中水流速度不断减小
解析： 　若船头垂直于河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位
移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于
河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直
分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相
同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移
变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
5. 如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻
绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容
器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静
止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时（如图
乙所示），小球B的速度是v，则此时A的速度为（　　）
A. v B. 2v
解析： 　将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直于轻绳
方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度
的分解可得vAcos 45°＝v，解得vA＝v，故选C。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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1. 已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中
用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内
过河、最短位移过河的情景图依次是（　　）
A. ①②
B. ①⑤
C. ④⑤
D. ②③
解析： 　小船过河类问题，若要小船在最短时间内过河，则船头
垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流
速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移过河，此时船头指向上
游，⑤对，故C正确。
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2. （多选）野外求生时必须具备一些基本常识，才能在享受野外探险
刺激的同时，保证最基本的安全。一野外求生人员进入河中央小岛
的情景如图所示。已知河宽80 m，水流速度为3 m/s，人在静水中
游泳的速度为5 m/s，P为河正中央的小岛，O为河边一位置，OP垂
直河岸，人要从河边某处游到小岛P处，则该人员运动的（　　）
A. 最短位移为40 m
B. 最短位移为50 m
C. 最短时间为10 s，应从O点左侧30 m处开始游
动
D. 最短时间为8 s，应从O点左侧24 m处开始游动
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解析： 　由题意可知，人在静水中的速度大于水流速度，则人
可以垂直河岸沿OP运动到P点，即最短位移为40 m，故A正确，B
错误；当人在静水中的速度方向垂直河岸时，所用时间最短，为
tmin＝ s＝8 s，应从O点左侧d＝v水tmin＝3×8 m＝24 m处开始游
动，故C错误，D正确。
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3. 小船过一条河，船头方向始终与河岸垂直，小船相对静水的速度大
小不变。小船由A到B的运动轨迹如图所示，则该过程中河水的流
速（　　）
A. 一直减小 B. 一直增大
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
解析： 　从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，加速度的方向与水
流方向相反，水速一直减小，故A正确，B、C、D错误。
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4. 用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，
如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度（　　）
A. 不变 B. 逐渐增大
C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
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解析： 　小船的运动为实际运动，故把小船的运动
分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分
运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速
度v不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向间的夹角θ逐渐增大。v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大，选项A、C、D错误，B正确。
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5. 如图所示，在水平力F作用下，物体B沿粗糙水平地面向右运动，
物体A恰匀速上升，那么以下说法正确的是（　　）
A. 物体B正向右做匀减速运动
C. 地面对物体B的摩擦力减小
D. 物体B正向右做加速运动
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解析： 　将物体B的运动分解为沿绳方向和垂直
于绳方向，沿绳方向上的分速度等于物体A的速
度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝
vA，所以vB＝，在物体B向右运动的过程中α减
小，vA不变，所以物体B的速度减小，但不是匀减速，A、D错误；根据vBcos α＝vA，斜绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2，B正确；物体A做匀速运动，则绳子的拉力始终不变，B向右运动的过程中绳与水平方向之间的夹角减小，所以绳沿竖直方向的分力减小，对B进行受力分析可知物体B受到地面的支持力增大，所以物体B受到地面的滑动摩擦力也增大，C错误。
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6. 如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一
绕过定滑轮的轻绳相连，现在A球以速度v向左匀速移动，某时刻
连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是
（　　）
C. 在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动
D. 在β增大到90°的过程中，B球做减速运动
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解析： 　如图所示，将A球的速度分解到沿轻
绳方向和垂直于轻绳的方向上，A球沿轻绳方向
的分速度等于B球沿轻绳方向的分速度。沿轻绳
方向的分速度为v绳子＝vcos α＝vBcos β，所以vB＝
＝ v，故A正确，B错误。在β增大到90°的过程中，轻绳的方向与B球运动的方向之间的夹角始终是锐角，所以轻绳对B球的拉力一直是动力，B球的速度一直增大，B球做加速运动，故C、D错误。
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7. （多选）一条小船要过50 m宽的河，已知船在静水中的速度为4
m/s，水流速度为3 m/s，则以下说法中正确的是（　　）
A. 小船过河的位移一定大于50 m
B. 小船过河的速度一定小于等于5 m/s
C. 小船过河的最短时间为12.5 s
D. 若船头指向不变，则小船过河时将做匀速直线运动
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解析： 　船在静水中的速度大于水流速度，所以船的合速度可
以垂直河岸，船可以行驶至河岸对面，这时船的位移就是50 m，故
A错误；小船的过河速度与小船的过河方向有关，小船过河速度可
能大于5 m/s，故B错误；小船过河最短时间跟垂直河岸的分运动有
关，当垂直河岸的分运动的速度等于小船在静水中的速度时，小船
的过河时间最短，设河宽为d，则过河时间为t＝＝12.5 s，故C
正确；若船头指向不变，小船在垂直于河岸的分运动和顺流水方向
的分运动均是匀速直线运动，所以小船合运动是匀速直线运动，故
D正确。
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8. 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个
物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，
物体A以速度vA＝20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α＝30°角
时，物体B的速度大小vB为（　　）
C. 40 m/s D. 10 m/s
解析： 　将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分
解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos 30°，解得vB
＝＝ m/s，故B正确。
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9. 如图所示，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。
小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的
老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体
水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速率v拉动软藤，当
软藤与竖直方向成θ角时，小猴子的水平运动速度大小为（　　）
A. vcos θ B. vsin θ
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解析： 　由题意知，小猴子沿绳子方向的速度等于老
猴子拉绳子的速度，如图所示，小猴子沿水平方向的速
度为v'，即v＝v'sin θ，所以小猴子沿水平方向的运动速
度v'＝，D正确。
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10. （多选）如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为
R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直
杆AB，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前（　　）
A. 半圆柱体向右做匀速运动时，竖直杆向上做匀减
速直线运动
B. 半圆柱体向右做匀速运动时，竖直杆向上做减速
直线运动
C. 半圆柱体以速度为v向右做匀速运动，杆同半圆柱
体接触点和半圆柱体中心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D. 半圆柱体以速度为v向右做匀速运动，杆同半圆柱体接触点和半圆柱体中心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
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解析： 　竖直杆与半圆柱体接触点的实际
速度是接触点沿切线方向的速度与半圆柱速度
的合速度，如图所示，根据速度的合成，运用
平行四边形定则，得v杆＝vtan θ，故C正确，D
错误。半圆柱体向右运动，θ角减小，由v杆＝
vtan θ知，A错误，B正确。
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11. （2024·江苏淮安期末）如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖
直平面内，小球P、Q用小铰链（图中未画出）分别与轻杆两端相
连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点
时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度
大小为（　　）
A. vcos θ B. v
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解析： 　若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的
速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆
方向的分速度相等，则有vcos θ＝vQcos θ，解得Q的速度大小为vQ
＝v，故选B。
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12. 有一小船正在渡河，如图所示，在到达离对岸30 m的P点时，其
下游40 m处有一危险水域，假设船的发动机可以使船在静水中以6
m/s的速度行驶，水流速度为5 m/s，求：
（1）为了能在最短时间内靠岸，则船头
的方向及渡河的时间为多少？是否有危险？
答案： 见解析　
解析： 当船头朝向正对岸航行时，渡河时间最短，为t
＝＝ s＝5 s，此时船沿河岸方向前进的距离为x＝v水t＝
5×5 m＝25 m＜40 m，所以没有危险。
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（2）若船刚到达P点时发动机突然停止工作，只能改用桨划船，
为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么小船从现在起相
对于静水的最小划行速度应是多大？
答案： 3 m/s
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解析：设小船到达危险区前，恰好到
达对岸，合速度方向如图所示，设合速
度方向与河岸的夹角为θ，则有tan θ＝
＝，即θ＝37°，小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则可知，当船相对于静水的速度v船'垂直于
合速度v合时，v船'最小，由图可知v船'＝v水sin θ＝5× m/s＝3 m/s。
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