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习题课5　平抛运动规律的综合应用
1.如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，则B小球比A小球（　　）
A.先抛出，初速度大 B.后抛出，初速度大
C.先抛出，初速度小 D.后抛出，初速度小
2.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为（　　）
A.0.5 s B.1.0 s
C.1.5 s D.5.0 s
3.如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　）
A.当v1＞v2时，α1＞α2
B.当v1＞v2时，α1＜α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
4.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（　　）
A.1∶1 B.1∶3
C.16∶9 D.9∶16
5.（多选）（2024·山东济南期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
6.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m。某同学先将一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s 的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为（　　）
A.6 m/s B.7.5 m/s
C.9 m/s D.11.25 m/s
7.如图所示，一根长木杆A、B两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地面上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗小石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度至少为（　　）
A.2 m/s B.3 m/s
C.5 m/s D. m/s
8.（多选）如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体中心，O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度为g＝10 m/s2，则（　　）
A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s
9.如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（　　）
A.20 B.18
C.9.0 D.3.0
10.如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，重力加速度g取10 m/s2，则落地点到C点的水平距离为（　　）
A. m B. m
C. m D. m
11.如图所示，A、B球以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B在光滑的斜面上运动，落地点为P2，P1、P2处于同一水平面上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A.A、B同时落地
B.A落地的速度与B落地时的速度相同
C.从抛出到落地，A沿x轴方向的位移小于B沿x轴方向的位移
D.A、B落地时的动能相同
12.如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球（可视为质点）从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v0的取值范围（围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取10 m/s2）
13.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速度为g）
（1）A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
习题课5　平抛运动规律的综合应用
1.B　B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较短，又两球同时落在斜面上，所以B后抛出；B水平位移较大所用时间较短，根据v0＝可知，B的初速度较大。故B正确。
2.B　滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故选B。
3.C　小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan φ＝＝，故可得tan φ＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是φ，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，故C正确。
4.D　根据平抛运动的规律可知x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误。
5.BD　小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故B、D正确。
6.B　由平抛运动的规律可知x＝v0t1，y＋6.25 m＝g，当小球恰能落到平台B上时x＝v0't2，y＝g，联立解得v0'＝7.5 m/s，故B正确。
7.D　平抛的运动轨迹如图所示A、C之间的距离为10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）tan 37°，根据平抛运动规律有：x＝v0t，y＝gt2，tan 53°＝＝，联立解得v0＝ m/s，故选D。
8.AC　小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆柱体相切于C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝＝，R＝0.75 m，解得y＝ m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t得v0＝4 m/s。选项A、C正确。
9.B　摩托车落到c点时，根据平抛运动规律有h＝v01t1，h＝g，解得＝；同理摩托车落到b点时有＝9gh。又动能E1＝m、E2＝m，所以＝18，故A、C、D错误，B正确。
10.A　设AB高为h，则从A点抛出的小球运动的时间t1＝，从D点抛出的小球运动的时间t2＝，在水平方向上有v0t1－v0t2＝，落地点到C点的水平距离s＝v0t1－，联立代入数据得s＝ m，故A正确，B、C、D错误。
11.C　对于A球做平抛运动，运动的时间为tA＝，对于B球做类平抛运动，沿斜面向下做匀加速运动，加速度为a＝gsin θ，根据＝a，解得tB＝ ，可知tB＞tA，故A错误。A落地的速度与B落地时的速度方向不相同，故B错误。沿x轴方向上有xA＝v0tA，xB＝v0tB，又tB＞tA可知xA＜xB，故C正确。两球的质量关系不确定，不能比较动能的关系，故D错误。
12.5 m/s＜v0＜13 m/s
解析：小球做平抛运动，刚好能碰到围墙上边沿时，
水平方向：L＝v0t
竖直方向：H－h＝gt2
解得v0＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，
水平方向：L＋x＝v0't'
竖直方向：H＝gt'2
解得v0'＝13 m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，v0的取值范围为5 m/s＜v0＜13 m/s。
13.（1）　　（2）　
解析：（1）设飞行时间为t，则
水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝。
（2）如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt'可得
t'＝＝＝tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝。
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核心素养目标 科学思维 1.理解平抛运动的两个重要推论，会利用两个推论处理平抛运动问题。 2.掌握平抛运动与斜面相结合的两种模型及处理方法。 3.会分析平抛运动的临界极值问题。 4.会根据平抛运动的处理方法分析类平抛运动问题。
要点一　平抛运动的两个重要推论
【探究】
　（1）如图所示，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？
（2）结合以上结论并观察速度的反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？
【归纳】
平抛运动的两个重要推论
（1）做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
【典例1】　（多选）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达一竖直墙面时，小球速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在时间t内的位移方向与水平方向的夹角一定为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变短
D.若小球初速度增大，则θ减小
尝试解答
1.物体做平抛运动的轨迹如图所示，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P（x0，y0），其速度vP的反向延长线交x轴于A点（A点未画出），则OA的长度为（　　）
A.x0 B.0.5x0
C.0.3x0 D.不能确定
2.如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足（　　）
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
要点二　与斜面有关的平抛运动
【探究】如图所示，将物体沿斜面水平抛出并落在斜面上的A点，其中B点是轨迹中离斜面最远的点。
（1）若B点的速度方向与水平方向的夹角为θ，则由抛出点O到B点的时间为多大？
（2）由O到B的竖直高度是多少？
【归纳】
平抛运动中与斜面有关的两种情况的特点及分析方法对比
运动情形 分析方法 运动规律 飞行时间
从空中抛出垂直落到斜面上 分解速度，构建速度三角形 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ t＝
从斜面抛出又落到斜面上 分解位移，构建位移三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ t＝
【典例2】　（多选）如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C.小球A、B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1
D.小球A、B在空中运动的时间比为tan2θ∶1
尝试解答
方法技巧
巧解斜面上的平抛运动
（1）抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。
（2）垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度的分解。
1.在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（　　）
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
2.（多选）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球垂直击中斜面，则t＝
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
要点三　平抛运动的临界极值问题
1.分析平抛运动中临界极值问题的思路
（1）确定运动性质；
（2）分析临界条件；
（3）确定临界状态，并画出轨迹示意图；
（4）灵活运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。
2.处理平抛运动中临界极值问题的关键
（1）从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，确定临界状态及临界轨迹，并由此列出符合临界条件的物理方程。
（2）恰当运用数学知识分析求解临界与极值问题。
【典例3】　宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6 m的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的小球与障碍物相距x，以v0＝4 m/s的水平速度向右抛出，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，为使小球能穿过该孔，求：
（1）L最大值；
（2）L＝0.6 m时，x取值范围。
尝试解答
1.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，g取10 m/s2。一小球以水平速度v飞出，欲打在第4台阶上，则v的取值范围是（　　）
A. m/s＜v＜2 m/s
B.2 m/s＜v＜3.5 m/s
C. m/s＜v＜ m/s
D.2 m/s＜v＜ m/s
2.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）
A. ＜v ＜L1
B. ＜v ＜
C. ＜v＜
D. ＜v ＜
要点四　类平抛运动
1.类平抛运动的受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合力方向上做初速度为零的匀加速直线运动。加速度a＝。
3.类平抛运动的研究方法
（1）常规分解法
两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为v0x、v0y，然后分别在x、y方向列方程求解。
【典例4】　如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出（v0∥CD），小球运动到B点，已知A点的高度为h。求小球到达B点时的速度大小及所用时间。
尝试解答
如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平射入，求：（g取10 m/s2）
（1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
（2）小球到达斜面底端时的速度大小。
1.（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A.va＝vb B.va＝vb
C.ta＝tb D.ta＝tb
2.羽毛球运动员曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，表演时的场地示意图如图所示。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则（　　）
A.击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C.假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
3.2022年冬奥会在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员（可视为质点）从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中（　　）
A.运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B.运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C.运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D.运动员先后下落的高度之比为3∶4
4.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向
的夹角θ＝60°，A、B两点的高度差 h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为（　　）
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D. m/s
5.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　）
A. B.
C. D.
习题课5　平抛运动规律的综合应用
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）不相同：由题图知，tan θ＝＝，tan α＝＝＝，所以tan θ＝2tan α。
（2）由（1）得tan θ＝2tan α，又tan θ＝，tan α＝解得xA'B＝。
【典例1】　AC　小球与墙相撞时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，vx＝vytan θ＝gttan θ，所以水平抛出时的初速度为gttan θ，A正确；设小球在时间t内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝＝＝＝，故α不一定等于，B错误；由于小球到墙的距离一定，初速度增大，则运动的时间变短，C正确；由于tan θ＝，初速度增大，运动时间变短，则tan θ增大，θ增大，D错误。
素养训练
1.B　方法一　
由题意作图，设vP与水平方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝ ①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t ②
竖直方向有y0＝vyt ③
由①②③得tan θ＝ ④
在△AEP中，由几何关系得AE＝ ⑤
联立④⑤得AE＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
方法二　由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。
2.D　方法一　由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
方法二　设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，故tan φ＝2tan θ，选项D正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：
（1）如图所示，由tan θ＝，
vy＝gt，得t＝。
（2）hOB＝·t＝·＝。
【典例2】　BC 　由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时位移方向与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知tan φ＝2tan θ，选项A错误，B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝＝，tan θ＝，联立解得＝，选项C正确，D错误。
素养训练
1.A　
画出小球在斜面上方运动的轨迹，如图所示，可知s＝vt，stan θ＝gt2，则s＝·v2，即s∝v2。甲、乙两球的抛出速度分别为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，又水平方向速度之比为2∶1，由落至斜面时的速率v斜＝可得，落至斜面时的速率之比为2∶1，故A正确。
2.AB　小球以最小位移到达斜面即位移与斜面垂直，位移与水平方向的夹角为－θ，则tan＝＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向的夹角为－θ，则tan＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误。
要点三
知识精研
【典例3】　（1）0.8 m　（2）0.8 m≤x≤1 m
解析：（1）小球要穿过小孔，竖直方向
经过小孔的上边
H－h－d＝g
经过小孔下边H－h＝g
经过小孔的时间最多有Δt＝t2－t1＝0.2 s
水平方向v0Δt≥L
所以L最大值为Lmax＝v0Δt＝0.8 m。
（2）当L＝0.6 m时，小球在水平方向的运动满足
v0t1≤x，v0t2≥x＋L
整理可得0.8 m≤x≤1 m。
素养训练
1.A　小球恰好经过第3台阶边缘时，根据平抛运动规律，有x＝vt，y＝gt2，代入数据解得小球恰好经过第3台阶边缘时的水平速度为 m/s，同理可得小球恰好经过第4台阶边缘时的水平速度为2 m/s，则v的取值范围为 m/s＜v＜2 m/s，故A正确。
2.D　当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速率最小。由平抛运动规律可知，＝v1t，2h＝gt2，联立解得v1＝。当发射机正对右侧台面的某个角发射且乒乓球恰好到达那个角上时，发射速率最大。由平抛运动规律可知＝v2t'，3h＝gt'2，联立解得v2＝，即速率v的最大取值范围为＜v＜，故选项D正确。
要点四
知识精研
【典例4】　　
解析：小球从A点抛出后在斜面上做类平抛运动。由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma
小球沿水平方向做匀速直线运动，有vx＝v0
小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有vy＝at，＝at2
小球到达B点时的速度大小
vB＝
联立以上各式解得vB＝，
t＝ 。
素养训练
　（1）20 m　（2）10 m/s
解析：（1）小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
mgsin 30°＝ma，又L＝at2
解得t＝
所以x＝v0t＝v0＝20 m。
（2）设小球运动到斜面底端时的速度大小为v，则有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝＝＝＝10 m/s
故v＝＝10 m/s。
【教学效果·勤检测】
1.AD　a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝g，可求出ta＝tb，va＝vb。故A、D正确。
2.B　甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
3.C　设运动员的速度和水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，而位移和水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，因此可得tan α＝2 tan θ；平抛运动速度的偏向角的正切等于位移的偏向角的正切的2倍，又运动员先后落在雪坡上时位移的偏向角相同，所以，速度的偏向角相同，即运动员落到雪坡上的速度方向相同，故A错误；根据tan θ＝，可得t＝，由于v1∶v2＝3∶4，可知t1∶t2＝3∶4，因运动员落到雪坡上的速度方向相同，则落到雪坡上的速度之比 v1'∶v2'＝3∶4，根据h＝gt2可知运动员先后下落的高度之比为h1∶h2＝∶＝9∶16，故C正确，B、D错误。
4.C　根据h＝gt2得t＝ ＝ s＝ s，竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，球刚要落到球拍上时速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
5.A　
如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误。
7 / 7(共83张PPT)
习题课5　平抛运动规律的综合应用
核心
素 养目
标 科学
思维 1.理解平抛运动的两个重要推论，会利用两个推论处理
平抛运动问题。
2.掌握平抛运动与斜面相结合的两种模型及处理方法。
3.会分析平抛运动的临界极值问题。
4.会根据平抛运动的处理方法分析类平抛运动问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　平抛运动的两个重要推论
【探究】
（1）如图所示，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和
位移方向相同吗？两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？
提示： 不相同：由题图知，tan θ＝＝，tan α＝＝
＝，所以tan θ＝2tan α。
（2）结合以上结论并观察速度的反向延长线与x轴的交点，你有什么
发现？
提示： 由（1）得tan θ＝2tan α，又tan θ＝，tan α＝
解得xA'B＝。
【归纳】
平抛运动的两个重要推论
（1）做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移
方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此
时水平位移的中点。
【典例1】　（多选）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时
间t到达一竖直墙面时，小球速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻
力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A. 小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
C. 若小球初速度增大，则平抛运动的时间变短
D. 若小球初速度增大，则θ减小
解析：小球与墙相撞时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为
vy＝gt，vx＝vytan θ＝gttan θ，所以水平抛出时的初速度为gttan θ，A正
确；设小球在时间t内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝
＝＝＝，故α不一定等于，B错误；由于小球到墙的距
离一定，初速度增大，则运动的时间变短，C正确；由于tan θ＝，
初速度增大，运动时间变短，则tan θ增大，θ增大，D错误。
1. 物体做平抛运动的轨迹如图所示，物体从O点抛出，x、y分别表示
其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P（x0，
y0），其速度vP的反向延长线交x轴于A点（A点未画出），则OA的
长度为（　　）
A. x0 B. 0.5x0
C. 0.3x0 D. 不能确定
解析： 　方法一　由题意作图，设vP与水平
方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝　①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t　②
竖直方向有y0＝vyt　③
由①②③得tan θ＝　④
在△AEP中，由几何关系得AE＝　⑤
联立④⑤得AE＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
方法二　由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延
长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。
2. 如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落
在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足
（　　）
A. tan φ＝sin θ B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ D. tan φ＝2tan θ
解析： 　方法一　由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向
的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角
φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
方法二　设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，
故tan φ＝2tan θ，选项D正确。
要点二　　与斜面有关的平抛运动
【探究】如图所示，将物体沿斜面水平抛出并落在斜面上的A点，其
中B点是轨迹中离斜面最远的点。
（1）若B点的速度方向与水平方向的夹角为θ，则由抛出点O到B点的
时间为多大？
提示： 如图所示，由tan θ＝，
vy＝gt，得t＝。
（2）由O到B的竖直高度是多少？
提示： hOB＝·t＝·＝。
【归纳】
平抛运动中与斜面有关的两种情况的特点及分析方法对比
运动情形 分析方法 运动规律 飞行时间
从空中抛出垂直
落到斜面上 分解速度，构建
速度三角形
运动情形 分析方法 运动规律 飞行时间
从斜面抛出又落
到斜面上 分解位移，构建
位移三角形
【典例2】　（多选）如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜
面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中
某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点。不计空气
阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A. 若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐
角为φ，则tan θ＝2tan φ
B. 若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝
2tan θ
C. 小球A、B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1
D. 小球A、B在空中运动的时间比为tan2θ∶1
解析：由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时位移方向与
水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知tan φ＝2tan θ，选项A错误，
B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为
t2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝＝，tan θ＝，联立解得
＝，选项C正确，D错误。
方法技巧
巧解斜面上的平抛运动
（1）抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。
（2）垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度
的分解。
1. 在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水
平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至
斜面时速率的（　　）
A. 2倍 B. 4倍
C. 6倍 D. 8倍
解析： 　画出小球在斜面上方运动的轨
迹，如图所示，可知s＝vt，s·tan θ＝gt2，
则s＝·v2，即s∝v2。甲、乙两球的抛出速度分别为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，又水平方向速度之比为2∶1，由落至斜面时的速率v斜＝可得，落至斜面时的速率之比为2∶1，故A正确。
2. （多选）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球
以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为
t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
解析： 　小球以最小位移到达斜面即位移与斜面垂直，位移与
水平方向的夹角为－θ，则tan＝＝＝，即t＝
，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向的
夹角为－θ，则tan＝，即t＝，B正确；小球击中斜
面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为
Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误。
要点三　平抛运动的临界极值问题
1. 分析平抛运动中临界极值问题的思路
（1）确定运动性质；
（2）分析临界条件；
（3）确定临界状态，并画出轨迹示意图；
（4）灵活运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。
2. 处理平抛运动中临界极值问题的关键
（1）从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等
关键词，确定临界状态及临界轨迹，并由此列出符合临界条
件的物理方程。
（2）恰当运用数学知识分析求解临界与极值问题。
【典例3】　宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6 m的矩形孔，其下
沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的小球与障碍物相距x，以v0＝4
m/s的水平速度向右抛出，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，为使小球能
穿过该孔，求：
（1）L最大值；
答案： 0.8 m　
解析： 小球要穿过小孔，竖直方向
经过小孔的上边
H－h－d＝g
经过小孔下边H－h＝g
经过小孔的时间最多有Δt＝t2－t1＝0.2 s
水平方向v0Δt≥L
所以L最大值为Lmax＝v0Δt＝0.8 m。
（2）L＝0.6 m时，x取值范围。
答案： 0.8 m≤x≤1 m
解析：当L＝0.6 m时，小球在水平方向
的运动满足v0t1≤x，v0t2≥x＋L
整理可得0.8 m≤x≤1 m。
1. 一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，g取10
m/s2。一小球以水平速度v飞出，欲打在第4台阶上，则v的取值范
围是（　　）
解析： 　小球恰好经过第3台阶边缘时，根据平抛运动规律，有x
＝vt，y＝gt2，代入数据解得小球恰好经过第3台阶边缘时的水平
速度为 m/s，同理可得小球恰好经过第4台阶边缘时的水平速度
为2 m/s，则v的取值范围为 m/s＜v＜2 m/s，故A正确。
2. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）
解析： 　当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射
速率最小。由平抛运动规律可知，＝v1t，2h＝gt2，联立解得v1
＝。当发射机正对右侧台面的某个角发射且乒乓球恰好到达
那个角上时，发射速率最大。
由平抛运动规律可知＝v2t'，3h＝gt'2，联立解得v2＝
，即速率v的最大取值范围为＜v＜
，故选项D正确。
要点四　类平抛运动
1. 类平抛运动的受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2. 类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合力方向上做初速度为零的
匀加速直线运动。加速度a＝。
3. 类平抛运动的研究方法
（1）常规分解法
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面
直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为v0x、
v0y，然后分别在x、y方向列方程求解。
【典例4】　如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A
点以速度v0水平抛出（v0∥CD），小球运动到B点，已知A点的高度为
h。求小球到达B点时的速度大小及所用时间。
答案：　
解析：小球从A点抛出后在斜面上做类平抛运动。由牛顿第二定律得
mgsin θ＝ma
小球沿水平方向做匀速直线运动，有vx＝v0
小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有vy＝
at，＝at2
小球到达B点时的速度大小
vB＝
联立以上各式解得vB＝，
t＝ 。
　如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶
端以v0＝10 m/s的初速度水平射入，求：（g取10 m/s2）
（1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
答案： 20 m　
解得t＝
所以x＝v0t＝v0＝20 m。
解析： 小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于
v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿
第二定律有
mgsin 30°＝ma，又L＝at2
（2）小球到达斜面底端时的速度大小。
答案： 10 m/s
解析：设小球运动到斜面底端时的速度大小为v，则有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝＝＝＝10 m/s
故v＝＝10 m/s。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经
过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度
vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计
空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
B. va＝vb
C. ta＝tb
解析： 　a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2
倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝
g，可求出ta＝tb，va＝vb。故A、D正确。
2. 羽毛球运动员曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，表演时的场
地示意图如图所示。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等
高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则
（　　）
A. 击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B. 击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C. 假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大
小的速度发球可能击中丁鼓
D. 击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
解析： 　甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运
动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正
确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
3. 2022年冬奥会在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所
示，某运动员（可视为质点）从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝
3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从
飞出到落到雪坡上的整个过程中（　　）
A. 运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B. 运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C. 运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D. 运动员先后下落的高度之比为3∶4
解析： 　设运动员的速度和水平方向的夹角为α，则tan α＝＝
，而位移和水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，因此可得
tan α＝2 tan θ；平抛运动速度的偏向角的正切等于位移的偏向角的
正切的2倍，又运动员先后落在雪坡上时位移的偏向角相同，所
以，速度的偏向角相同，即运动员落到雪坡上的速度方向相同，故
A错误；
根据tan θ＝，可得t＝，由于v1∶v2＝3∶4，可知t1∶t2＝3∶4，
因运动员落到雪坡上的速度方向相同，则落到雪坡上的速度之比
v1'∶v2'＝3∶4，根据h＝gt2可知运动员先后下落的高度之比为h1∶h2
＝∶＝9∶16，故C正确，B、D错误。
4. 如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰
撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向
的夹角θ＝60°，A、B
两点的高度差 h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则
球刚要落到球拍上时速度的大小为（　　）
解析： 　根据h＝gt2得t＝ ＝ s＝ s，竖直分速度
vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，球刚
要落到球拍上时速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，
A、B、D错误。
5. 如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方
向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B
点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，
则A、B之间的水平距离为（　　）
解析： 　如图所示，对在B点时的速度进
行分解，小球运动的时间t＝＝，则
A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正
确，B、C、D错误。
02
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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1. 如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两
个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，
则B小球比A小球（　　）
A. 先抛出，初速度大
B. 后抛出，初速度大
C. 先抛出，初速度小
D. 后抛出，初速度小
解析：B　B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较
短，又两球同时落在斜面上，所以B后抛出；B水平位移较大所用
时间较短，根据v0＝可知，B的初速度较大。故B正确。
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2. 滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞
出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空
气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间
为（　　）
A. 0.5 s B. 1.0 s
C. 1.5 s D. 5.0 s
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解析： 　滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖
直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0
s，故选B。
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3. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速
度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达
斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达
斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　）
A. 当v1＞v2时，α1＞α2
B. 当v1＞v2时，α1＜α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
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解析： 　小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位
移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝
，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan
φ＝＝，故可得tan φ＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移
方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的
夹角也总是φ，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的
关系无关，故C正确。
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4. 如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点
把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平
抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的
运动时间之比为（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（　　）
A. 1∶1 B. 1∶3
C. 16∶9 D. 9∶16
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解析： 根据平抛运动的规律可知x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则
运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运
动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，
A、B、C错误。
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5. （多选）（2024·山东济南期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜
面顶端О点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后
以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距
离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是
（　　）
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解析： 　小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间
距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故
B、D正确。
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6. 如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m。某同学先将一个小球
从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台
左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使
小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛
出小球的速度至少为（　　）
A. 6 m/s B. 7.5 m/s
C. 9 m/s D. 11.25 m/s
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解析： 　由平抛运动的规律可知x＝v0t1，y＋6.25 m＝g，当
小球恰能落到平台B上时x＝v0't2，y＝g，联立解得v0'＝7.5
m/s，故B正确。
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7. 如图所示，一根长木杆A、B两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地
面上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的
距离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗
小石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取10
m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度
至少为（　　）
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解析： 　平抛的运动轨迹如图所示A、C之间的
距离为10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）
tan 37°，根据平抛运动规律有：x＝v0t，y＝
gt2，tan 53°＝＝，联立解得v0＝ m/s，
故选D。
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8. （多选）如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面
上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视
为质点），恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体中心，
O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加
速度为g＝10 m/s2，则（　　）
A. 小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B. 小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C. 小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D. 小球做平抛运动的初速度为6 m/s
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解析： 　小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆柱体相切于
C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角
为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，
又水平位移x＝1.6R，tan θ＝＝，R＝0.75 m，解得y＝ m，
根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t得v0＝4 m/s。选
项A、C正确。
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9. 如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿
摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高
0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的
水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能
越过坑到达b点。等于（　　）
A. 20 B. 18
C. 9.0 D. 3.0
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解析： 　摩托车落到c点时，根据平抛运动规律有h＝v01t1，h
＝g，解得＝；同理摩托车落到b点时有＝9gh。
又动能E1＝m、E2＝m，所以＝18，故A、C、D错
误，B正确。
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10. 如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2 m，
倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初
速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一
点，重力加速度g取10 m/s2，则落地点到C点的水平距离为
（　　）
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解析： 　设AB高为h，则从A点抛出的小球运动的时间t1＝，
从D点抛出的小球运动的时间t2＝，在水平方向上有v0t1－v0t2＝
，落地点到C点的水平距离s＝v0t1－，联立代入数据得s＝
m，故A正确，B、C、D错误。
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11. 如图所示，A、B球以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运
动，落地点为P1；B在光滑的斜面上运动，落地点为P2，P1、P2处
于同一水平面上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是
（　　）
A. A、B同时落地
B. A落地的速度与B落地时的速度相同
C. 从抛出到落地，A沿x轴方向的位移小于B沿x轴
方向的位移
D. A、B落地时的动能相同
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解析： 　对于A球做平抛运动，运动的时间为tA＝，对于B球
做类平抛运动，沿斜面向下做匀加速运动，加速度为a＝gsin θ，
根据＝a，解得tB＝，可知tB＞tA，故A错误。A落
地的速度与B落地时的速度方向不相同，故B错误。沿x轴方向上
有xA＝v0tA，xB＝v0tB，又tB＞tA可知xA＜xB，故C正确。两球的质量
关系不确定，不能比较动能的关系，故D错误。
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12. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的
水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球（可视为质
点）从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的
速度v0的取值范围（围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取10
m/s2）
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答案：5 m/s＜v0＜13 m/s
解析：小球做平抛运动，刚好能碰到围墙上边沿时，
水平方向：L＝v0t
竖直方向：H－h＝gt2
解得v0＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，
水平方向：L＋x＝v0't'
竖直方向：H＝gt'2
解得v0'＝13 m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，v0的取值范
围为5 m/s＜v0＜13 m/s。
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13. 如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度
v0水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速
度为g）
（1）A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
答案： 　　
解析： 设飞行时间为t，则
水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝。
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（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大
距离为多大？
答案： 　
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解析：如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面
和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以
v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt'可得
t'＝＝＝tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝。
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