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1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象、数学运算
3.掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 直观想象、数学运算
　　在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画（如图）.
【问题】　那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按　　　　方向绕着交点旋转到和直线l首次　　　时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示；
（2）范围：当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为　　　　.
2.斜率
在直线l上任取两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记Δx＝x2－x1（Δx≠0），Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy，因此，比值k＝反映了直线l的倾斜程度.称k＝　　　　　（其中x1≠x2）为经过不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线l的斜率，k＝的大小与两点P1，P2在直线上的位置　　　.
若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一.
知识点二　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
1.直线的斜率k与倾斜角α的关系
若直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率为 k＝　　.
（1）当α∈时，斜率k　　0，且k随倾斜角α的增大而　　　；
（2）当α∈时，斜率k　　0，且k随倾斜角α的增大而　　　；
（3）当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率与方向向量的关系
（1）若k是直线l的斜率，则v＝　　　是它的一个方向向量；
（2）若直线l的一个方向向量的坐标为（x，y），其中x≠0，则它的斜率k＝　　　.
【想一想】
1.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？
2.当直线l的斜率k存在时，直线l的一个方向向量是（1，k），那么当k不存在时，它的一个方向向量是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.（　　）
（2）若k是直线的斜率，则k∈R.（　　）
（3）任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（　　）
（4）任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.（　　）
2.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　）
A.45° B.135°
C.45°或135° D.－45°
3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的一个方向向量的坐标为　　　　.
　　
题型一 直线的倾斜角
【例1】　（1）一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为（　　）
A.α B.180°－α
C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
（2）直线y＝0的倾斜角为　　　　.
尝试解答
通性通法
　　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此类问题的关键是要根据题意画出图形，找准倾斜角.弄清直线是如何旋转的，并明确倾斜角的大小.
【跟踪训练】
1.直线x＝的倾斜角为（　　）
A.不存在 B.
C.0 D.π
2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为　　　　.
题型二 直线的斜率
角度1　根据直线的倾斜角求斜率
【例2】　（1）已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
（2）已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，则直线l'的斜率为　　　　.
尝试解答
角度2　利用经过直线上不同两点的坐标求斜率
【例3】　已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－1，1），B（1，1），C（1，－1），求直线AB，BC，AC的斜率.
尝试解答
通性通法
求直线斜率的方法
（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率k＝tan α；
（2）公式法：已知直线上任意两点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2）求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率k＝.
【跟踪训练】
1.已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝　　　　.
2.过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为　　　　.
题型三 直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系
【例4】　已知直线l的一个方向向量为v＝（3，－），求直线l的斜率和倾斜角.
尝试解答
通性通法
　　设直线l的一个方向向量为a＝（u，v），直线l的倾斜角为θ，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上不同的两点，则
（1）u＝0 x2－x1＝0 θ＝ k不存在；
（2）u≠0 k＝＝tan θ＝ a＝u（1，k）；
（3）a＝（u，v）＝λ（cos θ，sin θ）（λ≠0）；
（4）v（x2－x1）－u（y2－y1）＝0.
【跟踪训练】
　已知直线l经过点A（－2，0）与B（－5，3），求直线l的一个方向向量、斜率k与倾斜角θ.
题型四 直线的倾斜角与斜率的应用
【例5】　已知坐标平面内三点P（3，－1），M（6，2），N（－，），直线l过点P.若直线l与线段MN相交：
（1）求直线l的倾斜角的取值范围；
（2）利用（1）的结论求直线l的斜率的取值范围.
尝试解答
通性通法
1.求过定点P的直线l斜率的取值范围的策略
如图，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.
2.斜率公式的几何意义
求形如的最值，利用的几何意义：连接定点（a，b）与动点（x，y）的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程.
【跟踪训练】
　已知f（x）＝log2（x＋1），且a＞b＞c＞0，试用图示法比较，，的大小关系.
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　）
A.（4，2）与（－4，1）
B.（0，3）与（3，0）
C.（3，－1）与（2，－1）
D.（－2，2）与（－2，5）
2.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（　　）
A.2　　 B.1　　　C.－1　　 D.－2
3.若直线l的方向向量为a＝（1，），则直线l的斜率为（　　）
A. B.
C. D.
4.（多选）给出下列四种说法，其中错误的是（　　）
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴
D.若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°
5.经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.（其中m≥1）
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）逆时针　重合　（2）[0，π）
2.　无关
知识点二
1.tan α　（1）≥　增大　（2）＜　增大
2.（1）（1，k）　（2）
想一想
1.提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为和－，而＞－.应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述结论在这两个区间分别成立.
2.提示：（0，1）（答案不唯一）.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3.（1，）（答案不唯一）　解析：由直线l的倾斜角为30°，得直线l的斜率k＝tan 30°＝，所以直线l的一个方向向量的坐标为（1，）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）0　解析：（1）如图①，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图②，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
（2）直线y＝0即为x轴，该直线的倾斜角为0.
跟踪训练
1.B　根据题意，直线x＝与x轴垂直，其倾斜角为，故选B.
2.135°　解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
【例2】　（1）C　（2）－
解析：（1）因为直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k＝tan 30°＝.故选C.
（2）设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan（α＋60°）＝＝＝－.
【例3】　解：kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.
跟踪训练
1.－5　解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.
2.1　解析：由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
【例4】　解：因为直线l的一个方向向量为v＝（3，－），所以直线l的斜率为＝－，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，又0≤θ＜π，所以θ＝.
跟踪训练
　解：因为直线l经过点A（－2，0）与B（－5，3），
所以直线l的一个方向向量＝（－3，3），
直线l的斜率k＝＝－1，
又直线l的倾斜角为θ，所以tan θ＝－1，
因为θ∈[0，π），所以θ＝.
【例5】　解：（1）如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，
由题意知，tan α1＝＝1，
tan α2＝＝－，
故直线PM的倾斜角为，直线PN的倾斜角为.
结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是.
（2）由（1）知≤α≤，由正切函数的性质可得，
当≤α＜时，k＝tan α≥1；
当＜α≤时，k＝tan α≤－；
当α＝时，斜率不存在.
综上，斜率k的取值范围是{k｜k≤－或k≥1}.
跟踪训练
　解：表示经过点O（0，0）和点A（x，f（x））的直线的斜率，所以我们可以赋予，，几何意义：表示3个斜率.作函数f（x）＝log2（x＋1）的图象如图所示.
因为a＞b＞c＞0，在函数图象上找到对应点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），将这三点与原点相连，可得＞＞.
随堂检测
1.D　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
2.A　由题意知，tan 45°＝，得m＝2.
3.D　取坐标平面内两点O（0，0）和A（1，），则a＝＝（1，），则直线OA的斜率即为直线l的斜率，而kOA＝，所以直线l的斜率为.故选D.
4.BCD　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B、C错误；D中α有可能为135°，故D错误.
5.（0°，90°]　解析：当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m＞1时，tan α＝＞0，∴0°＜α＜90°.故0°＜α≤90°.
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1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直
线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法
刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算
公式 直观想象、
数学运算
3.掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画（如
图）.
【问题】　那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线的倾斜角与斜率
1. 倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，
把 x 轴（正方向）按 方向绕着交点旋转到和直线 l
首次 时所成的角，称为直线 l 的倾斜角.通常倾斜角用
α表示；
（2）范围：当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因
此，直线的倾斜角α的取值范围为 .
逆时针　
重合　
[0，π）　
2. 斜率
在直线 l 上任取两个不同的点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），记Δ x
＝ x2－ x1（Δ x ≠0），Δ y ＝ y2－ y1，则在直线 l 上点 P1平移到点 P2，
相当于在横轴上改变了Δ x ，即横坐标的改变量为Δ x ，在纵轴上改
变了Δ y ，即纵坐标的改变量为Δ y ，因此，比值 k ＝ 反映了直线 l
的倾斜程度.称 k ＝ （其中 x1≠ x2）为经过不同两点 P1
（ x1， y1）， P2（ x2， y2）的直线 l 的斜率， k ＝ 的大小与两点
P1， P2在直线上的位置 .
若直线 l 垂直于 x 轴，则它的斜率不存在；若直线 l 不与 x 轴垂直，
则它的斜率存在且唯一.
　
无关　
知识点二　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
1. 直线的斜率 k 与倾斜角α的关系
若直线 l 的倾斜角为α ，则直线 l 的斜率为 k ＝
.
（1）当α∈ 时，斜率 k 0，且 k 随倾斜角α的增大而
；
tan α
≥　
增
大　
（2）当α∈ 时，斜率 k 0，且 k 随倾斜角α的增大
而 ；
（3）当α＝ 时，直线 l 与 x 轴垂直，此时直线 l 的斜率不存在.
＜　
增大　
2. 直线的斜率与方向向量的关系
（1）若 k 是直线 l 的斜率，则 v ＝ 是它的一个方
向向量；
（2）若直线 l 的一个方向向量的坐标为（ x ， y ），其中 x ≠0，则它
的斜率 k ＝ .
（1， k ）　
　
1. 直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？
提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为 和－ ，而 ＞
－ .应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）
时，上述结论在这两个区间分别成立.
2. 当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的一个方向向量是（1， k ），那
么当 k 不存在时，它的一个方向向量是什么？
提示：（0，1）（答案不唯一）.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α＜180°. （　√　）
（2）若 k 是直线的斜率，则 k ∈R. （　√　）
（3）任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （　√　）
（4）任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. （　×　）
√
√
√
×
2. 若直线 l 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　）
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. －45°
解析：　作出直线 l ，如图所示，由图易知，应选B.
3. 已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的一个方向向量的坐标
为 .
解析：由直线 l 的倾斜角为30°，得直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ ，
所以直线 l 的一个方向向量的坐标为（1， ）.
（1， ）（答案不唯一）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的倾斜角
【例1】　（1）一条直线 l 与 x 轴相交，其向上方向与 y 轴正方向所成
的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为（　D　）
A. α B. 180°－α
C. 180°－α或90°－α D. 90°＋α或90°－α
D
解析：如图①，当 l 向上方向
的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为
90°＋α；如图②，当 l 向上方向的
部分在 y 轴右侧时，倾斜角为90°
－α.
（2）直线 y ＝0的倾斜角为 .
解析：直线 y ＝0即为 x 轴，该直线的倾斜角为0.
0　
通性通法
　　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此类问题的关键是要
根据题意画出图形，找准倾斜角.弄清直线是如何旋转的，并明确倾斜
角的大小.
【跟踪训练】
1. 直线 x ＝ 的倾斜角为（　　）
A. 不存在
C. 0 D. π
解析：　根据题意，直线 x ＝ 与 x 轴垂直，其倾斜角为 ，故
选B.
2. 已知直线 l1的倾斜角α1＝15°，直线 l1与 l2的交点为 A ，直线 l1和 l2
向上的方向之间所成的角为120°，则直线 l2的倾斜角为 .
解析：如图，直线 l2的倾斜角为α2，结合图形及三角
形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋
15°＝135°，故直线 l2的倾斜角为135°.
135°　
题型二 直线的斜率
角度1　根据直线的倾斜角求斜率
【例2】　（1）已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的斜率为
（　C　）
C
解析：因为直线 l 的倾斜角为30°，所以直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ .故选C.
（2）已知斜率为2的直线 l 与 x 轴交于点 A ，直线 l 绕点 A 逆时针旋转
60°得到直线l'，则直线l'的斜率为 .
解析：设直线 l ，l'的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因
为直线 l 绕点 A 逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，
所以直线l'的斜率为 k ＝tan（α＋60°）＝ ＝
＝－ .
－ 　
角度2　利用经过直线上不同两点的坐标求斜率
【例3】　已知坐标平面内△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A （－1，
1）， B （1，1）， C （1，－1），求直线 AB ， BC ， AC 的斜率.
解： kAB ＝ ＝0， kAC ＝ ＝－1.
∵ B ， C 两点的横坐标相等，∴直线 BC 的斜率不存在.
通性通法
求直线斜率的方法
（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率 k
＝tan α；
（2）公式法：已知直线上任意两点的坐标 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2）求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相
等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率 k ＝ .
1. 已知过两点 A （4， y ）， B （2，－3）的直线的倾斜角为135°，
则 y ＝ .
解析：直线 AB 的斜率 k ＝tan 135°＝－1，又 k ＝ ，由 ＝
－1，得 y ＝－5.
2. 过点 P （－2， m ）， Q （ m ，4）的直线的斜率为1，则 m 的值
为 .
解析：由斜率公式 k ＝ ＝1，得 m ＝1.
－5　
1　
【跟踪训练】
题型三 直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系
【例4】　已知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（3，－ ），求直线 l 的
斜率和倾斜角.
解：因为直线 l 的一个方向向量为 v ＝（3，－ ），所以直线 l 的斜
率为 ＝－ ，设直线 l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－ ，又0≤θ＜π，
所以θ＝ .
通性通法
　　设直线 l 的一个方向向量为 a ＝（ u ， v ），直线 l 的倾斜角为θ，
A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是直线 l 上不同的两点，则
（1） u ＝0 x2－ x1＝0 θ＝ k 不存在；
（2） u ≠0 k ＝ ＝tan θ＝ a ＝ u （1， k ）；
（3） a ＝（ u ， v ）＝λ（ cos θ， sin θ）（λ≠0）；
（4） v （ x2－ x1）－ u （ y2－ y1）＝0.
【跟踪训练】
　已知直线 l 经过点 A （－2，0）与 B （－5，3），求直线 l 的一
个方向向量、斜率 k 与倾斜角θ.
解：因为直线 l 经过点 A （－2，0）与 B （－5，3），
所以直线 l 的一个方向向量 ＝（－3，3），
直线 l 的斜率 k ＝ ＝－1，
又直线 l 的倾斜角为θ，所以tan θ＝－1，
因为θ∈[0，π），所以θ＝ .
题型四 直线的倾斜角与斜率的应用
【例5】　已知坐标平面内三点 P （3，－1）， M （6，2）， N （－
， ），直线 l 过点 P . 若直线 l 与线段 MN 相交：
（1）求直线 l 的倾斜角的取值范围；
解：如图所示，考虑临界状态，令直线 PM 的倾斜角为
α1，直线 PN 的倾斜角为α2，
由题意知，tan α1＝ ＝1，
tan α2＝ ＝－ ，
故直线 PM 的倾斜角为 ，直线 PN 的倾斜角为 .
结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线 l 的倾斜角α
的取值范围是 .
（2）利用（1）的结论求直线 l 的斜率的取值范围.
解：由（1）知 ≤α≤ ，由正切函数的性质可得，
当 ≤α＜ 时， k ＝tan α≥1；
当 ＜α≤ 时， k ＝tan α≤－ ；
当α＝ 时，斜率不存在.
综上，斜率 k 的取值范围是 .
通性通法
1. 求过定点 P 的直线 l 斜率的取值范围的策略
如图，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交时，因为过点 P 且与 x 轴垂直
的直线 PC 的斜率不存在，而直线 PC 与线段 AB 不相交，所以直线 l
的斜率 k 的取值范围是 kPA ≤ k ≤ kPB . 解决这类问题时，可利用数形结
合思想直观地判断直线的位置.
2. 斜率公式的几何意义
求形如 的最值，利用 的几何意义：连接定点（ a ， b ）与动
点（ x ， y ）的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率
的取值范围问题，简化运算过程.
【跟踪训练】
　已知 f （ x ）＝log2（ x ＋1），且 a ＞ b ＞ c ＞0，试用图示法比较
， ， 的大小关系.
解： 表示经过点 O （0，0）和点 A （ x ， f （ x ））的直线的
斜率，所以我们可以赋予 ， ， 几何意义：表示
3个斜率.作函数 f （ x ）＝log2（ x ＋1）的图象如图所示.
因为 a ＞ b ＞ c ＞0，在函数图象上找到对应点（ a ， f （ a ）），
（ b ， f （ b ）），（ c ， f （ c ）），将这三点与原点相连，可得
＞ ＞ .
1. 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　）
A. （4，2）与（－4，1）
B. （0，3）与（3，0）
C. （3，－1）与（2，－1）
D. （－2，2）与（－2，5）
解析：　D项，因为 x1＝ x2＝－2，所以直线垂直于 x 轴，倾斜角
为90°，斜率不存在.
2. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m
＝（　　）
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
解析：　由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2.
3. 若直线 l 的方向向量为 a ＝（1， ），则直线 l 的斜率为（　　）
解析：　取坐标平面内两点 O （0，0）和 A （1， ），则 a ＝
＝（1， ），则直线 OA 的斜率即为直线 l 的斜率，而 kOA ＝
，所以直线 l 的斜率为 .故选D.
4. （多选）给出下列四种说法，其中错误的是（　　）
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为－30°
C. 倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴
解析：　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为
负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于 y 轴，因此A正
确，B、C错误；D中α有可能为135°，故D错误.
5. 经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围
是 .（其中 m ≥1）
解析：当 m ＝1时，倾斜角α＝90°；当 m ＞1时，tan α＝ ＞0，
∴0°＜α＜90°.故0°＜α≤90°.
（0°，90°]　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋ ），则此直线的
倾斜角是（　　）
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
解析：　由题意知 k ＝ ＝－ ，∴直线的倾斜角为150°.
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2. “直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若直线 l 的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或
0°，若直线 l 的倾斜角为锐角，则该直线 l 的斜率为正数，即大于
0，所以“直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的必要不
充分条件.故选B.
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3. 过 A （4， y ）， B （2，－3）两点的直线的一个方向向量为 n ＝
（－1，－1），则 y ＝（　　）
C. －1 D. 1
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解析：　法一　由直线上的两点 A （4， y ）， B （2，－3），得
＝（－2，－3－ y ），又直线 AB 的一个方向向量为 n ＝（－1，
－1），因此 n ∥ ，所以（－2）×（－1）－（－3－ y ）×（－
1）＝0，解得 y ＝－1，故选C.
法二　由直线的一个方向向量为 n ＝（－1，－1）得，直线的斜率为
＝1，所以 ＝1，解得 y ＝－1，故选C.
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4. 已知直线 l 经过点 A （1，2），且不经过第四象限，则直线 l 的斜率
k 的取值范围是（　　）
A. （－1，0] B. [0，1]
C. [1，2] D. [0，2]
解析：　由图可知当直线位于如图阴影部分所示
的区域内时满足题意，所以直线 l 的斜率满足0≤ k
≤2.故选D.
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5. （多选）已知直线 l 过点 P1（2，3）与 P2（1，1），则 l 的方向向量
的坐标可以是（　　）
A. （1，2） B. （2，1）
解析：　由题意知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（2－1，3－1）
＝（1，2）＝2 ，故A、C正确.
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6. （多选）下列说法中，正确的是（　　）
A. 直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角
B. 直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C. 若直线的倾斜角为α，则 sin α＞0
D. 任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：　对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，故
A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°
时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于 x
轴时，α＝0°， sin α＝0，故C不正确，显然D正确.
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7. 已知直线 l 的一个方向向量 v ＝（ ，－1），则直线 l 的斜率 k
＝ 　－ 　，倾斜角α＝ 　 　.
解析：∵ k ＝ ＝－ ，∴tan α＝－ ，又∵0≤α＜π，∴α＝ .
－ 　
　
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8. 如图，已知直线 l1的倾斜角是150°， l2⊥ l1，垂足为 B . l1， l2与 x 轴
分别相交于点 C ， A ， l3平分∠ BAC ，则 l3的倾斜角为 .
解析：因为直线 l1的倾斜角为150°，所以∠ BCA ＝30°，又因为
l2⊥ l1，所以 l3的倾斜角为 ×（90°－30°）＝30°.
30°　
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9. 已知点 A （2，－1），若在坐标轴上存在一点 P ，使直线 PA 的倾斜
角为45°，则点 P 的坐标为 .
解析：若点 P 在 x 轴上，设点 P 的坐标为 P （ x ，0），则 k ＝
＝tan 45°＝1，∴ x ＝3，即 P （3，0）.若点 P 在 y 轴上，设
点 P 的坐标为 P （0， y ），则 k ＝ ＝tan 45°＝1，∴ y ＝－
3，即 P （0，－3）.
（3，0）或（0，－3）　
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10. 已知直线 l 上两点 A （－2，3）， B （3，－2），求其斜率.若点 C
（ a ， b ）在直线 l 上，求 a ， b 间应满足的关系，并求当 a ＝
时， b 的值.
解：由斜率公式得 kAB ＝ ＝－1.
∵ C 在 l 上，∴ kAC ＝－1，即 ＝－1，
∴ a ＋ b －1＝0.
当 a ＝ 时， b ＝1－ a ＝ .
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11. 若直线经过点 P （1，1）和点 Q （2， t ＋ ），其中 t ＞0，则该直
线的倾斜角的取值范围是（　　）
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解析：　由直线的斜率公式、基本不等式得 k ＝ ＝ ＋ t －
1≥2 －1＝1（当且仅当 ＝ t ，即 t ＝1时取等号），所以直线
的倾斜角的取值范围是［ ， ）.
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12. 若直线 l 经过 A （2，1）， B （1， m2）（ m ∈R）两点，则直线 l
的倾斜角α的取值范围是（　　）
A. 0°≤α＜180°
B. 45°≤α＜90°或90°＜α＜180°
C. 0°≤α≤45°
D. 0°≤α≤45°或90°＜α＜180°
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解析：　过 A （2，1）， B （1， m2）两点的直线 l 的斜率为 k ＝
tan α＝ ＝1－ m2，因为 m2≥0，所以1－ m2≤1，因为0°≤α＜
180°，所以0°≤α≤45°或90°＜α＜180°，故选D.
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13. （多选）若直线 l 与 x 轴交于点 A ，其倾斜角为α，直线 l 绕点 A 顺
时针旋转 后得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角可能为（　　）
解析：　因为直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以当 ≤α
＜π时，直线 l1的倾斜角为α－ ，当0≤α＜ 时，直线 l1的倾斜角为
π－（ －α）＝ ＋α.故选B、C.
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14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边
所在直线的斜率分别为 ， .
解析：设正方形为 OABC ，已知对角线为 OB ，设 OB 的倾斜角为
θ，则 kOB ＝2， kOA ＝tan（θ－45°）＝ ＝ ， kOC ＝tan（θ＋
45°）＝ ＝－3，所以两条邻边所在直线的斜率分别为 和
－3.
　
－3　
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15. 已知两点 A （－3，4）， B （3，2），过点 P （1，0）的直线 l 与
线段 AB 有公共点.
（1）求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取
值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
解：如图，由题意可知 kPA ＝ ＝－1，
kPB ＝ ＝1.
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（2）求直线 l 的倾斜角α的取值范围.
解：由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角
之间，又 PB 的倾斜角是45°， PA 的倾斜角是135°，∴α的
取值范围是{α｜45°≤α≤135°}.
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16. 已知点 M （ x ， y ）在函数 y ＝－2 x ＋8的图象上，当 x ∈[2，5]
时，求 的取值范围.
解： ＝ 的几何意义是过 M （ x ， y ）， N （－1，－1）
两点的直线的斜率.
∵点 M 在函数 y ＝－2 x ＋8的图象上，且 x ∈[2，5]，
∴设该线段为 AB 且 A （2，4）， B （5，－2）.
∵ kNA ＝ ， kNB ＝－ ，∴－ ≤ ≤ .
∴ 的取值范围为 .
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谢 谢 观 看！
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161.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
1.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（　　）
A.30° B.150°
C.60° D.120°
2.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝（　　）
A.－ B.
C.－1 D.1
4.已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A.（－1，0] B.[0，1]
C.[1，2] D.[0，2]
5.（多选）已知直线l过点P1（2，3）与P2（1，1），则l的方向向量的坐标可以是（　　）
A.（1，2） B.（2，1）
C. D.
6.（多选）下列说法中，正确的是（　　）
A.直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角
B.直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C.若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D.任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
7.已知直线l的一个方向向量v＝（，－1），则直线l的斜率k＝　　　　，倾斜角α＝　　　　.
8.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　.
9.已知点A（2，－1），若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为　　　　.
10.已知直线l上两点A（－2，3），B（3，－2），求其斜率.若点C（a，b）在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值.
11.若直线经过点P（1，1）和点Q（2，t＋），其中t＞0，则该直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A.（ 0，］ B.［，）
C.（，］ D.［，π）
12.若直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）
A.0°≤α＜180°
B.45°≤α＜90°或90°＜α＜180°
C.0°≤α≤45°
D.0°≤α≤45°或90°＜α＜180°
13.（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1，则直线l1的倾斜角可能为（　　）
A.α＋ B.α＋
C.α－ D.－α
14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　.
15.已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围.
16.已知点M（x，y）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，5]时，求的取值范围.
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
1.B　由题意知k＝＝－，∴直线的倾斜角为150°.
2.B　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.
3.C　法一　由直线上的两点A（4，y），B（2，－3），得＝（－2，－3－y），又直线AB的一个方向向量为n＝（－1，－1），因此n∥，所以（－2）×（－1）－（－3－y）×（－1）＝0，解得y＝－1，故选C.
法二　由直线的一个方向向量为n＝（－1，－1）得，直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1，故选C.
4.D　由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
5.AC　由题意知直线l的一个方向向量为v＝（2－1，3－1）＝（1，2）＝2，故A、C正确.
6.AD　对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，故A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，显然D正确.
7.－　　解析：∵k＝＝－，∴tan α＝－，又∵0≤α＜π，∴α＝.
8.30°　解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，又因为l2⊥l1，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°.
9.（3，0）或（0，－3）　解析：若点P在x轴上，设点P的坐标为P（x，0），则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P（3，0）.若点P在y轴上，设点P的坐标为P（0，y），则k＝＝tan 45°＝1，∴y＝－3，即P（0，－3）.
10.解：由斜率公式得kAB＝＝－1.
∵C在l上，∴kAC＝－1，即＝－1，
∴a＋b－1＝0.
当a＝时，b＝1－a＝.
11.B　由直线的斜率公式、基本不等式得k＝＝＋t－1≥2－1＝1（当且仅当＝t，即t＝1时取等号），所以直线的倾斜角的取值范围是［，）.
12.D　过A（2，1），B（1，m2）两点的直线l的斜率为k＝tan α＝＝1－m2，因为m2≥0，所以1－m2≤1，因为0°≤α＜180°，所以0°≤α≤45°或90°＜α＜180°，故选D.
13.BC　因为直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以当≤α＜π时，直线l1的倾斜角为α－，当0≤α＜时，直线l1的倾斜角为π－（－α）＝＋α.故选B、C.
14.　－3　解析：设正方形为OABC，已知对角线为OB，设OB的倾斜角为θ，则kOB＝2，kOA＝tan（θ－45°）＝＝，kOC＝tan（θ＋45°）＝＝－3，所以两条邻边所在直线的斜率分别为和－3.
15.解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
（1）要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是{α｜45°≤α≤135°}.
16.解：＝的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率.
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]，
∴设该线段为AB且A（2，4），B（5，－2）.
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围为.
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