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苏科版数学八年级上学期期中模拟试卷一(范围:1~2章)
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八上·信都月考）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·高州开学考）在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3． 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE⊥AB 于点 E，交AC 于点 F，且DE=AB=4，连接BD，若BD=AC，BC=2，则AE的长为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025八上·长沙开学考）有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．（2025八上·余姚期末）如图，若 ，则添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025八上·期中） 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，点D，E分别在AC，BC边上，将∠C沿直线DE折叠，点C恰好落在AB边上的点 F处，且DF平分∠ADE，若BC=9，则CD的长为 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（2020八上·银川期中）　 　； 的平方根是　 　.
10．（2024八上·淮安期中）比较大小：　 　（填或）．
11．（2025八上·安州开学考）若一个正数的两个平方根分别是和，则　 　
12．（2024八上·郫都期中）若，其中，为两个连续的整数，则的值为　 　．
13．（2023八上·城阳期中）　 　（结果精确到1）．
14．（2025八上·长沙开学考）一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件　 　（填“合格”或“不合格”）.
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为　 　．
16．（2025八上·宁波开学考） 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为　 　．
17．（2024八上·江油期中）如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有　 　（填序号）．
18．（2025八上·南漳期末）为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：　 　．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
三、解答题（共9题，共96分）
19．（2024八上·杭州期中）把下列各数的序号填在相应的横线上
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
20．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
21． 如图， 连接AC， AD， BD， BE， CE， 求证
22．（2024八上·江南期中）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数
23．（2024八上·拱墅期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由；
（2）若，，且c是奇数，求的周长．
24．（2024八上·成都期中）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
25．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
26．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
27．（2022八上·宛城月考）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明.
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，不是全等形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合， 是全等形，故本选项符合题意；
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合， 不是全等形，故本选项不符合题意；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合， 不是全等形，故本选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个图形经过旋转、翻折、平移后能与另一个图形完全重合，这两个图形就是全等图形，全等图形的形状、大小一样，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数；
0是整数，属于有理数；
开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；
是有限小数，属于有理数；
，属于有理数；
是分数，属于有理数；
（相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数．
综上，无理数共有3个．
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义，逐数进行识别，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ABC=90°，
在Rt△ABC 和 Rt△DEB 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，
∴BC=EB=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得 Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，则BC=EB=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：
2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7，
2+4=6，不能构成三角形，
2-4<7，不能构成三角形，
2+6>7，能构成三角形，
4+6>7，能构成三角形，
∴其中能构成三角形的有2种，
故答案为：B.
【分析】先列出所有可能的三根木条组合，再根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后统计符合条件的组合数并分析选项.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 选项A：若∠B=∠C，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（ASA） 。因此，选项A可以用来证明全等。
选项B：若AE=AD，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（SAS） 。因此，选项B也可以用来证明全等。
选项C：若BE =CD，这并不直接给出两个三角形中对应边或角相等的信息，无法证明△ABE≌△ACD ，因为缺少必要的对应角或边相等的条件。因此，选项C无法用来直接证明全等。
选项D：若 ，由于AB=AC，∠A=∠A，我们可以直接得到△ABE≌△ACD（AAS）。因此，选项D可以用来证明全等。
故答案为：C。
【分析】 在判定两个三角形全等时，通常可以使用SAS（两边和它们的夹角相等），ASA（两角和它们的夹边相等），AAS（两角和其中一个角的对边相等），以及SSS（三边相等）等方法，而SSA是无法证明两个三角形全等的。
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵将∠C沿DE折叠，点C 正好落在AB边的点 F处，
∴∠CDE=∠FDE，CD=DF，
∵ DF平分∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∴∠CDE=∠FDE=∠ADF.
∵∠CDE+∠FDE+∠ADF=180°，
∴∠CDE=∠FDE =∠ADF=60°.
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AFD=
在Rt△ADF中，
在△ABC中，∠C=60°，∠A=90°，BC=9
∴∠B=30°
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠CDE=∠FDE，CD=DF，再根据角平分线定义可得∠EDF=∠ADF，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠FDE =∠ADF=60°，再根据边之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
9．【答案】4；±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 4
=9
9的平方根是±3
∴ 的平方根是±3
故答案为：4；±3.
【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是a的算术平方根，即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】先利用估算无理数大小的方法分析求解，再比较大小即可.
11．【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：a+3+a-5=0.解方程即可求出a.
12．【答案】6
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴，
a、b为两个连续的整数，
，，
．
故答案为：6．
【分析】由题意，估算的大小，根据a、b为两个连续的整数即可求得a、b的值，再将a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
13．【答案】6
【知识点】计算器在数的开方中的应用；精准度与有效数字
【解析】【解答】∵，
∴精确到1时，6，
故答案为：6.
【分析】根据近似数和有效数字的定义及四舍五入的方法求解即可。
14．【答案】合格
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，由三角形的外角性质，
∵∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠A+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°.
∵140°=140°
∴这个零件合格，
故答案为：合格.
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在上截取FP=EM，连接BD，
∵DA平分∠BAC，
∴DE=DH
同理可得DF=DH，
∴DE=DF ，
在Rt△ADE和Rt△ADH
∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE=AH，
同理可得CF=CH，
∵DE=DF，∠DEM=∠DFP，EM=FP，
∴△DEM≌△DFP(SAS)
∴DM=DP，∠EDM=∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF=∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP=∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB.
∴DE//BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF
∴∠MDP=∠EDF=90°，DF=BE=DE=BF
∵∠MDN=45°，
∴∠PDN=45°
在△DMN和△DPN中
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM
∴△BMN的周长 MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4.
∴BE=BF=DE=DF=DH=2
设AB=a，BC=b，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD
∴，
∴；
∵AE=AB-BE=a-2，CF=BC-BF=b-2，
∴AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13，
∴a+b=17
∴，
∴Rt△ABC的面积为30，
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在E上截取FP=EM，连接BD根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AE=AH，证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH，证明△DEM≌△DFP，得到DM=DP，∠EDM=∠FDP，再证明△DMN≌△DPN(SAS)得到MN=NP=NF+FP=NF+EM，则可求出BE=BF=2，设AB=a，BC=b，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，可得；根据AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13可得a+b=17，据此可得答案.
16．【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP.
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°
∴△ABP≌△EBP(ASA)
∴S△ABP=S△BEP， AP=PE
∴△APC和△CPE等底同高
∴S△APC=S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=8+m，
又∵S△PBC=S△BPE -S△CPE， ，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
17．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；反证法；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，，
，
，，故①正确；
，，，
，故②正确；
∴，
连接，如图所示；
在和中，
，，
，
，
∴平分，故④正确；
在和中，
，，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
假如，
那么，
，
，
，与三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角矛盾；
故
故③不正确；
故答案为：①②④.
【分析】首先通过ASA证明△ABF≌△ACF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，AB=AC，据此可判断①；接着通过ASA证明△ACN≌△ABM，由全等三角形的对应边相等得AN=AM，据此可判断②；进而通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，由全等三角形的性质得∠EDA=∠FDA，据此可判断④；通过HL判读出Rt△AEM≌Rt△AFN，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，进而推出∠MAD= ∠NAD，再由SAS判读出△AMD≌△AND，由全等三角形的对应边相等得DM=DN，从而利用反证法判断出CD≠DN，据此可判断③.
18．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，故，
解得：（不符合题意），故③错误．
④证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
19．【答案】①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：
整数：①⑤⑧；
负分数：③⑥；
无理数：②⑦⑨．
故答案为：①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨．
【分析】根据整数（正整数、负整数和0），负分数和无理数的定义判断即可．
20．【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBC，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠FDB=90°，
∴∠CEF+∠EBC=∠DFB+∠FBD=90°，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠FBD=∠EBC，然后由三角形内角和定理，进行等量代换后得∠CEF=∠DFB，由∠CFE=∠DFB，即可得证结论.
21．【答案】证明：如图，
∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质可得∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据角之间的关系及三角形内角和定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：（1）∵
∴，即
又∵，，
∴；
（2）解：（2）∵
∴
∵
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据等式的性质得到，然后根据SSS即可证出；
（2）首先根据全等三角形对应角相等得到，再利用三角形内角和定理即可得出的度数 。
（1）∵
∴，即
又∵，，
∴；
（2）∵
∴
∵
∴．
23．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为，，，
∴，
∴
∵c为奇数，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，结合绝对值的非负性得到，最后根据等边三角形的判定得证；
（2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，最后求出三边的和即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为
∴，
即
∵c为奇数，
∴，
∴的周长．
24．【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于x的方程，解方程求出的值，通过估算可求出的值；
（2）由题意求出，再将a、b、c的值代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
25．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
26．【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
27．【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接，
则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
1 / 1苏科版数学八年级上学期期中模拟试卷一(范围:1~2章)
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八上·信都月考）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，不是全等形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合， 是全等形，故本选项符合题意；
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合， 不是全等形，故本选项不符合题意；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合， 不是全等形，故本选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个图形经过旋转、翻折、平移后能与另一个图形完全重合，这两个图形就是全等图形，全等图形的形状、大小一样，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八上·高州开学考）在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数；
0是整数，属于有理数；
开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；
是有限小数，属于有理数；
，属于有理数；
是分数，属于有理数；
（相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数．
综上，无理数共有3个．
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义，逐数进行识别，即可得出答案。
3． 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE⊥AB 于点 E，交AC 于点 F，且DE=AB=4，连接BD，若BD=AC，BC=2，则AE的长为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ABC=90°，
在Rt△ABC 和 Rt△DEB 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，
∴BC=EB=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得 Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，则BC=EB=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．（2025八上·长沙开学考）有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：
2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7，
2+4=6，不能构成三角形，
2-4<7，不能构成三角形，
2+6>7，能构成三角形，
4+6>7，能构成三角形，
∴其中能构成三角形的有2种，
故答案为：B.
【分析】先列出所有可能的三根木条组合，再根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后统计符合条件的组合数并分析选项.
5．（2025八上·余姚期末）如图，若 ，则添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 选项A：若∠B=∠C，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（ASA） 。因此，选项A可以用来证明全等。
选项B：若AE=AD，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（SAS） 。因此，选项B也可以用来证明全等。
选项C：若BE =CD，这并不直接给出两个三角形中对应边或角相等的信息，无法证明△ABE≌△ACD ，因为缺少必要的对应角或边相等的条件。因此，选项C无法用来直接证明全等。
选项D：若 ，由于AB=AC，∠A=∠A，我们可以直接得到△ABE≌△ACD（AAS）。因此，选项D可以用来证明全等。
故答案为：C。
【分析】 在判定两个三角形全等时，通常可以使用SAS（两边和它们的夹角相等），ASA（两角和它们的夹边相等），AAS（两角和其中一个角的对边相等），以及SSS（三边相等）等方法，而SSA是无法证明两个三角形全等的。
6．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
7．（2025八上·期中） 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，点D，E分别在AC，BC边上，将∠C沿直线DE折叠，点C恰好落在AB边上的点 F处，且DF平分∠ADE，若BC=9，则CD的长为 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵将∠C沿DE折叠，点C 正好落在AB边的点 F处，
∴∠CDE=∠FDE，CD=DF，
∵ DF平分∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∴∠CDE=∠FDE=∠ADF.
∵∠CDE+∠FDE+∠ADF=180°，
∴∠CDE=∠FDE =∠ADF=60°.
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AFD=
在Rt△ADF中，
在△ABC中，∠C=60°，∠A=90°，BC=9
∴∠B=30°
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠CDE=∠FDE，CD=DF，再根据角平分线定义可得∠EDF=∠ADF，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠FDE =∠ADF=60°，再根据边之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
8．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（2020八上·银川期中）　 　； 的平方根是　 　.
【答案】4；±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 4
=9
9的平方根是±3
∴ 的平方根是±3
故答案为：4；±3.
【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是a的算术平方根，即可得出答案.
10．（2024八上·淮安期中）比较大小：　 　（填或）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】先利用估算无理数大小的方法分析求解，再比较大小即可.
11．（2025八上·安州开学考）若一个正数的两个平方根分别是和，则　 　
【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：a+3+a-5=0.解方程即可求出a.
12．（2024八上·郫都期中）若，其中，为两个连续的整数，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴，
a、b为两个连续的整数，
，，
．
故答案为：6．
【分析】由题意，估算的大小，根据a、b为两个连续的整数即可求得a、b的值，再将a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
13．（2023八上·城阳期中）　 　（结果精确到1）．
【答案】6
【知识点】计算器在数的开方中的应用；精准度与有效数字
【解析】【解答】∵，
∴精确到1时，6，
故答案为：6.
【分析】根据近似数和有效数字的定义及四舍五入的方法求解即可。
14．（2025八上·长沙开学考）一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件　 　（填“合格”或“不合格”）.
【答案】合格
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，由三角形的外角性质，
∵∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠A+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°.
∵140°=140°
∴这个零件合格，
故答案为：合格.
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定.
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在上截取FP=EM，连接BD，
∵DA平分∠BAC，
∴DE=DH
同理可得DF=DH，
∴DE=DF ，
在Rt△ADE和Rt△ADH
∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE=AH，
同理可得CF=CH，
∵DE=DF，∠DEM=∠DFP，EM=FP，
∴△DEM≌△DFP(SAS)
∴DM=DP，∠EDM=∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF=∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP=∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB.
∴DE//BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF
∴∠MDP=∠EDF=90°，DF=BE=DE=BF
∵∠MDN=45°，
∴∠PDN=45°
在△DMN和△DPN中
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM
∴△BMN的周长 MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4.
∴BE=BF=DE=DF=DH=2
设AB=a，BC=b，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD
∴，
∴；
∵AE=AB-BE=a-2，CF=BC-BF=b-2，
∴AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13，
∴a+b=17
∴，
∴Rt△ABC的面积为30，
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在E上截取FP=EM，连接BD根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AE=AH，证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH，证明△DEM≌△DFP，得到DM=DP，∠EDM=∠FDP，再证明△DMN≌△DPN(SAS)得到MN=NP=NF+FP=NF+EM，则可求出BE=BF=2，设AB=a，BC=b，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，可得；根据AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13可得a+b=17，据此可得答案.
16．（2025八上·宁波开学考） 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP.
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°
∴△ABP≌△EBP(ASA)
∴S△ABP=S△BEP， AP=PE
∴△APC和△CPE等底同高
∴S△APC=S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=8+m，
又∵S△PBC=S△BPE -S△CPE， ，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
17．（2024八上·江油期中）如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；反证法；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，，
，
，，故①正确；
，，，
，故②正确；
∴，
连接，如图所示；
在和中，
，，
，
，
∴平分，故④正确；
在和中，
，，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
假如，
那么，
，
，
，与三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角矛盾；
故
故③不正确；
故答案为：①②④.
【分析】首先通过ASA证明△ABF≌△ACF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，AB=AC，据此可判断①；接着通过ASA证明△ACN≌△ABM，由全等三角形的对应边相等得AN=AM，据此可判断②；进而通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，由全等三角形的性质得∠EDA=∠FDA，据此可判断④；通过HL判读出Rt△AEM≌Rt△AFN，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，进而推出∠MAD= ∠NAD，再由SAS判读出△AMD≌△AND，由全等三角形的对应边相等得DM=DN，从而利用反证法判断出CD≠DN，据此可判断③.
18．（2025八上·南漳期末）为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：　 　．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，故，
解得：（不符合题意），故③错误．
④证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
三、解答题（共9题，共96分）
19．（2024八上·杭州期中）把下列各数的序号填在相应的横线上
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
【答案】①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：
整数：①⑤⑧；
负分数：③⑥；
无理数：②⑦⑨．
故答案为：①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨．
【分析】根据整数（正整数、负整数和0），负分数和无理数的定义判断即可．
20．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBC，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠FDB=90°，
∴∠CEF+∠EBC=∠DFB+∠FBD=90°，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠FBD=∠EBC，然后由三角形内角和定理，进行等量代换后得∠CEF=∠DFB，由∠CFE=∠DFB，即可得证结论.
21． 如图， 连接AC， AD， BD， BE， CE， 求证
【答案】证明：如图，
∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质可得∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据角之间的关系及三角形内角和定理即可求出答案.
22．（2024八上·江南期中）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数
【答案】（1）证明：（1）∵
∴，即
又∵，，
∴；
（2）解：（2）∵
∴
∵
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据等式的性质得到，然后根据SSS即可证出；
（2）首先根据全等三角形对应角相等得到，再利用三角形内角和定理即可得出的度数 。
（1）∵
∴，即
又∵，，
∴；
（2）∵
∴
∵
∴．
23．（2024八上·拱墅期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由；
（2）若，，且c是奇数，求的周长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为，，，
∴，
∴
∵c为奇数，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，结合绝对值的非负性得到，最后根据等边三角形的判定得证；
（2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，最后求出三边的和即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为
∴，
即
∵c为奇数，
∴，
∴的周长．
24．（2024八上·成都期中）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于x的方程，解方程求出的值，通过估算可求出的值；
（2）由题意求出，再将a、b、c的值代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
25．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
26．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
27．（2022八上·宛城月考）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明.
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.
【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接，
则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
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