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蚌埠二中2025-2026学年度第一学期回顾
高二数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
6．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
7．在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
9．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）.
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
10．如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形
B．平面EFM平面
C．直线ME与所成的角为
D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为
11．已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且 （为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，的最小值为
C．当时，存在点，使得平面
D．当时，点到直线的最小距离为
三、填空题：第13，14题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。
12．已知，．若与的夹角是钝角，则整数k的取值可以是 ．（写出一个符合条件的取值即可）
13．（博雅）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ．
（中字）在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．
14.（博雅）已知圆的半径为1，点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点为和，则的最小值为 .
（中字）对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。
15．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长
为2，且，求：
(1)的长；
(2)直线和所成角的余弦值.
16．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求的长．
17．（博雅）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
(3)过点作，垂足为，求的最大值．
（中字）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长。
蚌埠二中2025-2026学年度第一学期回顾
高二数学学科答案
一、二选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B D C B ABC BCD
题号 11
答案 ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。第13，14题是分层试题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。
12．（
13．（博雅）
13.（中字）
14．（博雅）
14.（中字）
四、解答题：本大题共3小题，共47分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题是分层试题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。
15．（1）如图，连接，设，，，
依题意，
而，
，
所以.
（2）连接，，
所以
，
又，，
所以，
故直线和所成角的余弦值为.
16．（1）
在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为是正三角形，D是中点，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解法一：
在中过点D作，垂足为F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
设，则，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
解法二：
在正三棱柱中，取中点，连结，
则，，两两垂直，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，得．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即
解得，，
取，则，，
得．
因为平面平面，
所以，解得或，
所以或2．
17．（1）由已知得，即，得，
故，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得，
由题意知均存在且不等于0，
则设直线的方程为：，
则．
设直线方程为：
与椭圆方程联立得：，，
所以，因为，
故，因此．
同理．
斜率为
，
故.
（3）由（2）知：直线的方程为：，
即
所以直线过定点．
因为，由几何意义知：，
故的最大值为．

（中字）（1）取的中点，连结，，因为，所以，
在中，，所以，在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）连结，，，，所以，
且，由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，，所以两两垂直，
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则，
所以点到平面的距离.
（3）设，由在平面内可知，
即，
所以，即，所以，
因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，
即，解得，故，.
所以点不在内，.
试卷第4页，共4页

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