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太原市志达中学校 2025~2026 学年八年级 10 月学业诊断
数学
注意事项：
1. 本试卷共 6 页，满分 110 分，考试时间 60 分钟.
2. 考生务必将自己的姓名、班级、考场、考号填写在答题卡相应的位置上.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分， 共 30 分）
1.有理数 16 的平方根是( )
A.±4 B. 4 C. ±8 D. 8
2.下列实数中，是无理数的是( )
A. - 5 B.
C. D. - 0.5
3.下列各式正确的为( )
A. B.
C. D.
4.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 0.1，0.1，0.2 B. 2，3，4
C. 13，5，12 D. ，，
5.我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性．这种验证方法体现了我们数学的( )
A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 类比思想
6.已知，，则( )
A. 14.36 B. 143.6 C. 45.4 D. 454
7.如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为( )
A. B.
C. D.
8.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，点是边上一个动点．若，，则的最小值为( )
A.8 B. 9.6 C. 10 D. 4.5
10.如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为( )
A. 36 B. 42 C. 48 D. 52
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分， 共 15 分）
11.如果一个数的立方根是 3，那么这个数是__________.
12.比较大小关系：______ 3（填“＞”或“＜”或“＝”）.
13.如图是一个数值转换机示意图，当输入 x 的值为 - 7 时，则输出 y 的值为 __________.
14.学校有一长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”．在花圃内走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了______米，但是却踩伤花草．
15.如图，在长方形纸片 ABCD 中， AB = 5， BC = 3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处， PE， DE 分别交 AB 于点 G， F，若 GE = GB，则 BF 的长为 ____．
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 55 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(本题 10 分)求下列各式中的 x.
（1）4（x+1）2＝1.
（2）（2x - 1）3＝ - 27.
17.（本题 10 分）请根据如图所示的对话内容回答下列问题. 我有一个正方体的魔方，它的体积是 。我有一个长方体的纸盒，它的体积是 ，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等.
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的长.
18.（本题 12 分）如图，在 中，，，，点 是 外一点，连接 ，，且 ，.
（1）求证：；
（2）求四边形 面积.
19.（本题 10 分）综合与实践
笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下：
课题 测量旗杆的高度相关问题探究
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工具 皮尺，绳子
示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端 的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从 处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点 处．此时测得点 到地面的距离 为 2 米，， 两点之间的距离为 8 米（图中各点均在同一铅直平面内）．
提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？
解决问题 如图，过点 作 于点 ．根据题意得 米， 米．...
请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程．
20.（本题 13 分）如图，已知在 中，，，， 是 上的一点，，点 从 点出发沿射线 方向以每秒 3 个单位的速度向右运动．设点 的运动时间为 ．连接 ．
（1）当 秒时，求 的长度；
（2）当 为等腰三角形时，求 的值；
（3）过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为何值时，能使 ？
附加题：（本题 10 分）
21.综合与实践
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法.
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 、、. 显然，，. 请用 、、 分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
（1） ① ，
② ，
③ ，
则它们满足的关系式为 ④ 经化简，可得到勾股定理.
【知识运用】
（2）如图 2，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，、 为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为 、， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（3）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，请用尺规作图在图 2 中作出 点的位置并求出 的距离.
【知识迁移】
（4）借助上面的思考过程与几何模型，请直接写出代数式 的最小值（）太原市志达中学校2025~2026学年八年级10月学业诊断
数学参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分， 共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D C B B D B B C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分， 共15分）
11. 27
12. ＜
13.
14. 4
15.
三、解答题（本大题共5个小题，共55分）
16. (本题10分)（1） （2）
17. (本题10分)
（1）设魔方的棱长为x cm,
由题意可得,
解得x=6,
答：该魔方的棱长为6cm;
（2）设该长方体纸盒的长为y cm,
由题意可得,
解得y=10（负值舍去）,
答：该长方体纸盒的长为10cm.
18. (本题12分)
（1）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，
∴,
∴BC=5.
∵CD=4，BD=3，
∴,
∵BC=5，∴,
∴,
∴△DBC是直角三角形，且∠D=90°，
（2）；
由（1）知在中，，AC = 12，BC = 5，
.
四边形 ABCD = .
19. （本题 10 分）
由题意知，CD = BE = 2 米，DE = CB = 8 米，
设旗杆 AB 的高度为 x 米，则 AE 的长度为（x - 2）米，
在中，AE = x - 2，DE = 8，AD = AB = x，
由勾股定理得：，
即，
解得：x = 17，
旗杆 AB 的高度为 17 米.
20. （本题 13 分）（1）AP = 10
（2）
（3）t = 3 或 7
21. （1）①
②
③，
④，
（2）两个村庄相距 41 千米
（3）如图 2②所示：
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
即 千米．
（4）
代数式 的最小值为： ．

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