资源简介

(共67张PPT)
第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象
2.探索并掌握两点间的距离公式 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何
特征：①平行；②重合；③相交.
【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它
们的代数特征各是什么？
（2）如何求两直线相交时的交点坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　两条直线的交点坐标
　直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0和直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的位置关
系如表所示：
一组 无数组 无解
直线 l1与 l2的公共点个数 一个 零个
直线 l1与 l2的位置关系 重合
无数个　
相交　
平行　
【想一想】
1. 仅用直线的斜率能判断两条直线的位置关系吗？
提示：不能.
2. 两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点
坐标吗？
提示：是.
知识点二　两点间的距离公式

2. 文字叙述：平面内两点的距离等于这两点间的横坐标之差与纵坐标
之差的平方和的算术平方根.
提醒　（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直
线 P1 P2平行于 x 轴时，｜ P1 P2｜＝｜ x2－ x1｜；当直线 P1 P2平行于
y 轴时，｜ P1 P2｜＝｜ y2－ y1｜；当点 P1， P2中有一个是原点
时，｜ P1 P2｜＝ .
　
1. 直线 x ＝1和直线 y ＝2的交点坐标是（　　）
A. （2，2） B. （1，1）
C. （1，2） D. （2，1）
解析：　由得交点坐标为（1，2），故选C.
2. 已知 A （3，7）， B （2，5），则 A ， B 两点间的距离为（　　）
A. 5
C. 3
解析：　由平面内两点间的距离公式可知｜ AB ｜＝
＝ .
3. 已知 A （1，2）， B （ a ，6），且｜ AB ｜＝5，则 a 的值为
.
解析：由｜ AB ｜＝ ＝5，解得 a ＝4
或－2.
－2或
4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 两条直线的交点问题
角度1　两条直线相交的判定和求交点坐标
【例1】　判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的
坐标：
（1） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0；
解：方程组得
所以 l1与 l2相交，且交点坐标为（－ ， ）.
（2） l1：2 x －6 y ＋3＝0， l2： y ＝ x ＋ ；
解：联立直线 l1与 l2的方程得方程组
②×6，整理得2 x －6 y ＋3＝0，即方程②可以化为方程①，所以
l1与 l2重合.
（3） l1： x ＋ y ＋2＝0， l2：2 x ＋2 y ＋3＝0.
解：联立直线 l1与 l2的方程得方程组
由①×2－②，可知该方程组无解.所以 l1与 l2无公共点，即 l1∥
l2.
通性通法
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；
方法二：两直线斜率都存在且不相等或两直线中一条斜率存在另一条
斜率不存在.
角度2　求过两直线交点的直线方程
【例2】　已知直线 l 经过直线2 x － y －3＝0和4 x －3 y －5＝0的交点
P ，且垂直于直线 x ＋ y －2＝0，则直线 l 的方程为 .
解析：法一　由得即点 P 的坐标为（2，
1），因为直线 l 与直线 x ＋ y －2＝0垂直，所以直线 l 的斜率为1，由
点斜式得直线 l 的方程为 y －1＝1×（ x －2），即 x － y －1＝0.
x － y －1＝0　
法二　由得即点 P 的坐标为（2，1），因
为直线 l 与直线 x ＋ y －2＝0垂直，所以可设直线 l 的方程为 x － y ＋ C
＝0，把点 P 的坐标代入得2－1＋ C ＝0，解得 C ＝－1.故直线 l 的方程
为 x － y －1＝0.
法三　直线 l 的方程可设为2 x － y －3＋λ（4 x －3 y －5）＝0（其中λ为
常数），即（2＋4λ） x －（1＋3λ） y －5λ－3＝0，因为直线 l 与直线 x
＋ y －2＝0垂直，所以 ·（－1）＝－1，解得λ＝－1.故直线 l 的方
程为 x － y －1＝0.
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再
结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线方程，再
结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
1. 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1） l1：2 x ＋ y ＋3＝0， l2： x －2 y －1＝0；
解：解方程组得所以直线
l1与 l2相交，交点坐标为（－1，－1）.
【跟踪训练】
（2） l1：2 x ＋ y ＋1＝0， l2：4 x ＋2 y ＋3＝0.
解：解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线 l1与 l2无
公共点，即 l1∥ l2.
2. 求过两直线 l1： x －3 y ＋4＝0和 l2：2 x ＋ y ＋5＝0的交点和原点的直
线方程.
解：设过两直线交点的直线系方程为 x －3 y ＋4＋λ（2 x ＋ y ＋5）＝
0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线方程为 x
－3 y ＋4－ （2 x ＋ y ＋5）＝0，即3 x ＋19 y ＝0.
题型二 两点间的距离公式
【例3】　已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （－3，1）， B （3，－
3）， C （1，7），试判断△ ABC 的形状.
解：法一　根据两点间的距离公式得，
｜ AB ｜＝ ＝2 ，
｜ AC ｜＝ ＝2 ，
｜ BC ｜＝ ＝2 ，
∴｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，且｜ AB ｜＝｜ AC ｜，
∴△ ABC 是等腰直角三角形.
法二　∵ kAC ＝ ＝ ， kAB ＝ ＝－ ，
则 kAC · kAB ＝－1，∴ AC ⊥ AB .
又∵｜ AC ｜＝ ＝2 ，
｜ AB ｜＝ ＝2 ，
∴｜ AC ｜＝｜ AB ｜，∴△ ABC 是等腰直角三角形.
1. （变设问）本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长.
解：设点 M 的坐标为（ x ， y ），因为点 M 为 BC 的中点，所以 x ＝
＝2， y ＝ ＝2，即点 M 的坐标为（2，2）.由两点间的距离
公式得｜ AM ｜＝ ＝ ，所以 BC 边上
的中线 AM 的长为 .
【母题探究】
2. （变条件）若本例中的条件变为“ A （－2，－1）， B （－4，－
3）， C （0，－5）”其结论又如何？
解：根据两点间的距离公式得，
｜ AB ｜＝ ＝2 ，
｜ AC ｜＝ ＝2 ，
｜ BC ｜＝ ＝2 ，
∴｜ AC ｜＝｜ BC ｜.
又∵ A ， B ， C 三点不共线，∴△ ABC 是等腰三角形.
通性通法
平面上两点间距离公式的应用
（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，
设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐
标的方程或方程组求解；
（2）已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离
公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能
是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
1. 已知点 A （－3，4）， B （2， ），在 x 轴上找一点 P ，使｜
PA ｜＝｜ PB ｜，并求｜ PA ｜的值.
【跟踪训练】
解：设点 P 的坐标为（ x ，0），则有
｜ PA ｜＝ ＝ ，
｜ PB ｜＝ ＝ .
由｜ PA ｜＝｜ PB ｜，得 x2＋6 x ＋25＝ x2－4 x ＋7，解得 x ＝－ .
故所求点 P 的坐标为 .
｜ PA ｜＝ ＝ .
2. 已知点 M （ x ，－4）与点 N （2，3）间的距离为7 ，求 x 的值.
解：由｜ MN ｜＝7 ，得｜ MN ｜＝ ＝
7 ，即 x2－4 x －45＝0，解得 x1＝9或 x2＝－5.
故所求 x 的值为9或－5.
题型三 直线恒过定点问题
【例4】　求证：不论λ为何实数，直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ
－3都恒过一定点.
证明：法一（特殊值法）　取λ＝0，得到直线 l1：2 x ＋ y ＋3＝0，取λ
＝1，得到直线 l2： x ＝－3，
故 l1与 l2的交点为 P （－3，3）.
将点 P （－3，3）代入方程左边，
得（λ＋2）×（－3）－（λ－1）×3＝－6λ－3，等于右边，
∴点（－3，3）在直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3上.
∴直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过定点（－3，3）.
法二（分离参数法）　由（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3，
整理得（2 x ＋ y ＋3）＋λ（ x － y ＋6）＝0.
则直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过直线2 x ＋ y ＋3＝0与 x －
y ＋6＝0的交点.
由方程组得
∴直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过定点（－3，3）.
通性通法
解直线（直线方程中含有参数）过定点问题的方法
（1）任给直线方程中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直
线，然后验证这两条直线的交点就是直线（直线方程中含有参
数）所过的定点，从而问题得解；
（2）分项整理，将直线方程化为 f （ x ， y ）＋λ g （ x ， y ）＝0的形
式，则方程组的解即所求定点的坐标.
【跟踪训练】
平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：（2 k －1） x ＋（ k －1） y
－7 k ＋4＝0（ k ∈R）.求证：直线 l 经过第一象限.
证明：方程（2 k －1） x ＋（ k －1） y －7 k ＋4＝0可化为 k （2 x
＋ y －7）－ x － y ＋4＝0，
由解得
所以直线 l 过定点 M （3，1）.
因为 M （3，1）在第一象限，所以直线 l 经过第一象限.
1. 两条直线 l1：2 x － y －1＝0与 l2： x ＋3 y －11＝0的交点坐标为
（　　）
A. （3，2） B. （2，3）
C. （－2，－3） D. （－3，－2）
解析：　解方程组得
2. 直线 y ＝ x 上的两点 P ， Q 的横坐标分别是1，5，则｜ PQ ｜＝
（　　）
A. 4
C. 2
解析：　∵ P （1，1）， Q （5，5），∴｜ PQ ｜＝ ＝4
.
3. （多选）直线 x ＋ y －1＝0上与点 P （－2，3）的距离等于 的点
的坐标可能是（　　）
A. （－4，5） B. （－3，4）
C. （－1，2） D. （0，1）
解析：　设所求点的坐标为（ x0， y0），有 x0＋ y0－1＝0，且
＝ ，两式联立解得或
4. 设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上， AB 的中点是 P （2，－1），则｜
AB ｜＝ .
解析：设点 A 的坐标为（ a ，0），点 B 的坐标为（0， b ），则 ＝
2， ＝－1，解得 a ＝4， b ＝－2，∴｜ AB ｜＝
＝2 .
2 　

解析：解方程组得又该点（－1，－
2）也在直线 x ＋ ky ＝0上，∴－1－2 k ＝0，∴ k ＝－ .
－ 　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
　　
1. 已知直线 l1：3 x ＋4 y －5＝0与 l2：3 x ＋5 y －6＝0相交，则它们的交
点是（　　）
解析：　由得故交点为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 以点 A （－3，0）， B （3，－2）， C （－1，2）为顶点的三角形
是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 以上都不是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
法二　∵ kAC ＝ ＝1， kBC ＝ ＝－1，∴ kAC · kBC ＝－1，∴ AC
⊥ BC ，∴△ ABC 为直角三角形.故选C.
解析：　法一　∵｜ AB ｜＝ ＝ ＝
＝2 ，｜ BC ｜＝ ＝ ＝
＝4 ，｜ AC ｜＝ ＝ ＝2 ，∴｜ AC ｜2
＋｜ BC ｜2＝｜ AB ｜2，∴△ ABC 为直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 过点 A （4， a ）和点 B （5， b ）的直线与 y ＝ x ＋ m 平行，则｜
AB ｜＝（　　）
A. 6
C. 2 D. 不能确定
解析：　由 kAB ＝1，得 ＝1，∴ b － a ＝1.∴｜ AB ｜＝
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知点 A （ x ，5）关于点（1， y ）的对称点为（－2，－3），则点
P （ x ， y ）到原点的距离是（　　）
A. 2 B. 4
C. 5
解析：　根据中点坐标公式得到 ＝1且 ＝ y ，解得 x ＝4， y
＝1，所以点 P 的坐标为（4，1），则点 P （ x ， y ）到原点的距离 d
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下列直线中，与直线 x ＋ y －1＝0相交的是（　　）
A. 直线 x ＋ y ＝3 B. 直线 x ＋ y ＝0
C. 直线 y ＝ x －3 D. 直线 y ＝ x －1
解析：　易知直线 x ＋ y －1＝0的斜率为－1，所以与直线 x ＋ y
－1＝0相交的直线的斜率必定不为－1，选项A、B中的直线的斜率
都是－1；选项C、D中的直线的斜率都是1，故A、B不符合题意.故
选C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）若 y ＝ a ｜ x ｜与 y ＝ x ＋ a （ a ＞0）的图象有两个交点，
则 a 的取值可能为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　 y ＝ a ｜ x ｜表示关于 y 轴对称的
两条射线， y ＝ x ＋ a （ a ＞0）表示与 y ＝ x 平行
且在 y 轴上的截距为 a （ a ＞0）的直线，根据题
意，画出大致图象，如图，若 y ＝ a ｜ x ｜与 y
＝ x ＋ a 的图象有两个交点，且 a ＞0，则根据图
象可知 a ＞1.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 直线 x ＋2 y －4＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是 .
解析：解方程组得即直线 x ＋2 y －4＝0
与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
（0，2）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 若直线2 x ＋3 y － k ＝0与直线 x － ky ＋12＝0的交点在 y 轴上，则 k 的
值是 .
解析：法一　联立方程得消去 y 得 x ＝
.由题意知 ＝0，解得 k ＝±6.
±6　
法二　显然 k ≠0，在2 x ＋3 y － k ＝0中，令 x ＝0，得 y ＝ ，在 x － ky
＋12＝0中，令 x ＝0，得 y ＝ ，由题意可得 ＝ ，解得 k ＝±6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 在直线 x － y ＋4＝0上求一点 P ，使它到点 M （－2，－4）， N
（4，6）的距离相等，则点 P 的坐标为 .
　
解析：设 P 点的坐标是（ a ， a ＋4），由题意可知｜ PM ｜＝｜
PN ｜，即 ＝
，解得 a ＝－ ，故 P 点的坐标是
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 若两条直线 l1： y ＝ kx ＋2 k ＋1和 l2： x ＋2 y －4＝0的交点在第四象
限，求 k 的取值范围.
解：联立两直线的方程
解得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴解得
即－ ＜ k ＜－ .
则 k 的取值范围为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 已知直线 l ：2 x ＋ y －2＝0，直线 m ： x ＋ ky ＋1＝0.若直线 l 与 m
的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围为（　　）
B. （0，2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　∵直线 l ：2 x ＋ y －2＝0，直线 m ： x ＋ ky ＋1＝0相交，∴2 k －1≠0，即 k ≠ .联立解得又直线 l 与 m 的交点在第一象限，∴解得 k ＜－ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 已知点 A （3，0）， B （0，3）， M （1，0）， O 为坐标原点，
P ， Q 分别在线段 AB ， BO 上运动，则△ MPQ 的周长的最小值为
（　　）
A. 4 B. 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　过 A （3，0）， B （0，3）两点的直线方程为 x ＋ y －3
＝0.设 M （1，0）关于直线 x ＋ y －3＝0对称的点为 N （ x1，
y1），则解得即 N （3，2）.同理
可求得 M （1，0）关于点 O 对称的点为 E （－1，0）.△ MPQ 的周
长为｜ MQ ｜＋｜ PQ ｜＋｜ MP ｜＝｜ EQ ｜＋｜ PQ ｜＋｜
NP ｜，当 N ， P ， Q ， E 四点共线时，周长取得最小值为｜ NE ｜
＝ ＝2 .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）平面上三条直线 x －2 y ＋1＝0， x －1＝0， x ＋ ky ＝0，
若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数 k 的值为（　　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因为平面上三条直线 x －2 y ＋1＝0， x －1＝0， x ＋
ky ＝0将平面划分为六个部分，所以直线 x ＋ ky ＝0与直线 x －2 y ＋
1＝0平行或直线 x ＋ ky ＝0与直线 x －1＝0平行或直线 x ＋ ky ＝0经
过直线 x －2 y ＋1＝0与直线 x －1＝0的交点（1，1）.当直线 x ＋ ky
＝0与直线 x －2 y ＋1＝0平行时，可得 k ＝－2.当直线 x ＋ ky ＝0与
直线 x －1＝0平行时，可得 k ＝0.当直线 x ＋ ky ＝0经过直线 x －2 y
＋1＝0与直线 x －1＝0的交点（1，1）时，1＋ k ＝0，解得 k ＝－1.
所以 k ＝－2或 k ＝0或 k ＝－1.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知两直线 a1 x ＋ b1 y ＋1＝0和 a2 x ＋ b2 y ＋1＝0的交点为 P （2，
3），则过两点 Q （ a1， b1）， P （ a2， b2）（ a1≠ a2）的直线方程
为 .
解析：因为两直线 a1 x ＋ b1 y ＋1＝0和 a2 x ＋ b2 y ＋1＝0的交点为 P
（2，3），所以2 a1＋3 b1＋1＝0且2 a2＋3 b2＋1＝0，所以 Q （ a1，
b1）， P （ a2， b2）（ a1≠ a2）在直线2 x ＋3 y ＋1＝0上，所以过两
点 Q （ a1， b1）， P （ a2， b2）（ a1≠ a2）的直线方程为2 x ＋3 y ＋
1＝0.
2 x ＋3 y ＋1＝0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知直线 l1：2 x ＋ y －6＝0和点 A （1，－1），过点 A 作直线 l 与已
知直线 l1相交于点 B ，且使｜ AB ｜＝5，求直线 l 的方程.
解：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＋1＝ k （ x －1），
解方程组得
即 B .
由｜ AB ｜＝ ＝5，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得 k ＝－ ，∴直线 l 的方程为 y ＋1＝－ （ x －1），
即3 x ＋4 y ＋1＝0.
当直线 l 的斜率不存在时，方程为 x ＝1.
此时，与 l1的交点为（1，4），也满足题意.
综上所述，直线 l 的方程为3 x ＋4 y ＋1＝0或 x ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知直线 l ： x ＋2 y －2＝0，试求：
（1）点 P （－2，－1）关于直线 l 的对称点坐标；
解：设点 P 关于直线 l 的对称点为P'（ x0， y0），则线
段PP'的中点在直线 l 上，且PP'⊥ l .
所以解得
即P'点的坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）直线 l 关于点 A （1，1）对称的直线方程.
解：设直线 l 关于点 A （1，1）的对称直线为l'，则直线
l 上任一点 P1（ x1， y1）关于点 A 的对称点P'1（ x ， y ）一定
在直线l'上，反之也成立.
由得
将（ x1， y1）代入直线 l 的方程，得 x ＋2 y －4＝0，
即直线l'的方程为 x ＋2 y －4＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！1.5　两条直线的交点坐标 1.6　平面直角坐标系中的距离公式
第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是（　　）
A. B.
C. D.
2.以点A（－3，0），B（3，－2），C（－1，2）为顶点的三角形是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
3.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则｜AB｜＝（　　）
A.6 B.
C.2 D.不能确定
4.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　）
A.2 B.4
C.5 D.
5.（多选）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的是（　　）
A.直线x＋y＝3 B.直线x＋y＝0
C.直线y＝x－3 D.直线y＝x－1
6.（多选）若y＝a｜x｜与y＝x＋a（a＞0）的图象有两个交点，则a的取值可能为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
7.直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是　　　　.
8.若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值是　　　　.
9.在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M（－2，－4），N（4，6）的距离相等，则点P的坐标为　　　　.
10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
11.已知直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0.若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（　　）
A.（－∞，－）
B.（0，2）
C.（－，0）
D.（－∞，－）∪（0，＋∞）
12.已知点A（3，0），B（0，3），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（　　）
A.4 B.5
C.2 D.
13.（多选）平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的值为（　　）
A.－2 B.－1
C.0 D.1
14.已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），则过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为　　　　.
15.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A（1，－1），过点A作直线l与已知直线l1相交于点B，且使｜AB｜＝5，求直线l的方程.
16.已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
（1）点P（－2，－1）关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l关于点A（1，1）对称的直线方程.
第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式
1.B　由得故交点为.
2.C　法一　∵｜AB｜＝＝＝＝2，｜BC｜＝＝＝＝4，｜AC｜＝＝＝2，∴｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，∴△ABC为直角三角形.
法二　∵kAC＝＝1，kBC＝＝－1，∴kAC·kBC＝－1，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形.故选C.
3.B　由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴｜AB｜＝＝＝.
4.D　根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为（4，1），则点P（x，y）到原点的距离d＝＝.
5.CD　易知直线x＋y－1＝0的斜率为－1，所以与直线x＋y－1＝0相交的直线的斜率必定不为－1，选项A、B中的直线的斜率都是－1；选项C、D中的直线的斜率都是1，故A、B不符合题意.故选C、D.
6.BCD　y＝a｜x｜表示关于y轴对称的两条射线，y＝x＋a（a＞0）表示与y＝x平行且在y轴上的截距为a（a＞0）的直线，根据题意，画出大致图象，如图，若y＝a｜x｜与y＝x＋a的图象有两个交点，且a＞0，则根据图象可知a＞1.故选B、C、D.
7.（0，2）　解析：解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
8.±6　解析：法一　联立方程得消去y得x＝.由题意知＝0，解得k＝±6.
法二　显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝，由题意可得＝，解得k＝±6.
9.　解析：设P点的坐标是（a，a＋4），由题意可知｜PM｜＝｜PN｜，
即
＝，
解得a＝－，
故P点的坐标是.
10.解：联立两直线的方程
解得
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴解得
即－＜k＜－.
则k的取值范围为.
11.A　∵直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0相交，∴2k－1≠0，即k≠.联立解得又直线l与m的交点在第一象限，∴解得k＜－.故选A.
12.C　过A（3，0），B（0，3）两点的直线方程为x＋y－3＝0.设M（1，0）关于直线x＋y－3＝0对称的点为N（x1，y1），则解得即N（3，2）.同理可求得M（1，0）关于点O对称的点为E（－1，0）.△MPQ的周长为｜MQ｜＋｜PQ｜＋｜MP｜＝｜EQ｜＋｜PQ｜＋｜NP｜，当N，P，Q，E四点共线时，周长取得最小值为｜NE｜＝＝2.故选C.
13.ABC　因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面划分为六个部分，所以直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行或直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）.当直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行时，可得k＝－2.当直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行时，可得k＝0.当直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）时，1＋k＝0，解得k＝－1.所以k＝－2或k＝0或k＝－1.故选A、B、C.
14.2x＋3y＋1＝0　解析：因为两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），所以2a1＋3b1＋1＝0且2a2＋3b2＋1＝0，所以Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）在直线2x＋3y＋1＝0上，所以过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
15.解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－1），
解方程组得
即B.
由｜AB｜＝
＝5，
解得k＝－，∴直线l的方程为y＋1＝－（x－1），
即3x＋4y＋1＝0.
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为（1，4），也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
16.解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x0，y0），则线段PP'的中点在直线l上，且PP'⊥l.
所以
解得
即P'点的坐标为.
（2）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l'，则直线l上任一点P1（x1，y1）关于点A的对称点P'1（x，y）一定在直线l'上，反之也成立.
由得
将（x1，y1）代入直线l的方程，得x＋2y－4＝0，
即直线l'的方程为x＋2y－4＝0.
1 / 21.5　两条直线的交点坐标 1.6　平面直角坐标系中的距离公式
第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象
2.探索并掌握两点间的距离公式 数学运算
　　
　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何特征：①平行；②重合；③相交.
【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它们的代数特征各是什么？
（2）如何求两直线相交时的交点坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　两条直线的交点坐标
　直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
【想一想】
1.仅用直线的斜率能判断两条直线的位置关系吗？
2.两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？
知识点二　两点间的距离公式
1.公式：点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式｜AB｜＝　　　　　　　　　　　　.
2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点间的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.
提醒　（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜；当直线P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜；当点P1，P2中有一个是原点时，｜P1P2｜＝.
1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（　　）
A.（2，2）　 B.（1，1）　 C.（1，2）　 D.（2，1）
2.已知A（3，7），B（2，5），则A，B两点间的距离为（　　）
A.5 B.
C.3 D.
3.已知A（1，2），B（a，6），且｜AB｜＝5，则a的值为　　　　.
　　
题型一 两条直线的交点问题
角度1　两条直线相交的判定和求交点坐标
【例1】　判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
（2）l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
（3）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
尝试解答
通性通法
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；
方法二：两直线斜率都存在且不相等或两直线中一条斜率存在另一条斜率不存在.
角度2　求过两直线交点的直线方程
【例2】　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为　　　　.
尝试解答
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
【跟踪训练】
1.判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：2x＋y＋1＝0，l2：4x＋2y＋3＝0.
2.求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程.
题型二 两点间的距离公式
【例3】　已知△ABC的三个顶点分别为A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求BC边上的中线AM的长.
2.（变条件）若本例中的条件变为“A（－2，－1），B（－4，－3），C（0，－5）”其结论又如何？
通性通法
平面上两点间距离公式的应用
（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解；
（2）已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【跟踪训练】
1.已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
2.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，求x的值.
题型三 直线恒过定点问题
【例4】　求证：不论λ为何实数，直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3都恒过一定点.
尝试解答
通性通法
解直线（直线方程中含有参数）过定点问题的方法
（1）任给直线方程中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是直线（直线方程中含有参数）所过的定点，从而问题得解；
（2）分项整理，将直线方程化为f（x，y）＋λg（x，y）＝0的形式，则方程组的解即所求定点的坐标.
【跟踪训练】
　 平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k－1）x＋（k－1）y－7k＋4＝0（k∈R）.求证：直线l经过第一象限.
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（　　）
A.（3，2） B.（2，3）
C.（－2，－3） D.（－3，－2）
2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（　　）
A.4　　 B.4
C.2　　 D.2
3.（多选）直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于的点的坐标可能是（　　）
A.（－4，5） B.（－3，4）
C.（－1，2） D.（0，1）
4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝　　　　.
5.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝　　　　.
1.5　两条直线的交点坐标
1.6　平面直角坐标系中的距离公式
第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点一
　无数个　相交　平行
想一想
1.提示：不能.
2.提示：是.
知识点二
1.
自我诊断
1.C　由得交点坐标为（1，2），故选C.
2.B　由平面内两点间的距离公式可知｜AB｜＝＝.
3.－2或4　解析：由｜AB｜＝＝5，解得a＝4或－2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）解方程组得所以l1与l2相交，且交点坐标为（－，）.
（2）联立直线l1与l2的方程得方程组
②×6，整理得2x－6y＋3＝0，即方程②可以化为方程①，所以l1与l2重合.
（3）联立直线l1与l2的方程得方程组
由①×2－②，可知该方程组无解.所以l1与l2无公共点，即l1∥l2.
【例2】　x－y－1＝0
解析：法一　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×（x－2），即x－y－1＝0.
法二　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0.
法三　直线l的方程可设为2x－y－3＋λ（4x－3y－5）＝0（其中λ为常数），即（2＋4λ）x－（1＋3λ）y－5λ－3＝0，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以·（－1）＝－1，解得λ＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0.
跟踪训练
1.解：（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）.
（2）解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
2.解：设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0.
【例3】　解：法一　根据两点间的距离公式得，
｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝2，
｜BC｜＝＝2，
∴｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又∵｜AC｜＝＝2，
｜AB｜＝＝2，
∴｜AC｜＝｜AB｜，∴△ABC是等腰直角三角形.
母题探究
1.解：设点M的坐标为（x，y），因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为（2，2）.由两点间的距离公式得｜AM｜＝＝，所以BC边上的中线AM的长为.
2.解：根据两点间的距离公式得，
｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝2，
｜BC｜＝＝2，
∴｜AC｜＝｜BC｜.
又∵A，B，C三点不共线，∴△ABC是等腰三角形.
跟踪训练
1. 解：设点P的坐标为（x，0），则有
｜PA｜＝
＝，
｜PB｜＝
＝.
由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
｜PA｜＝
＝.
2.解：由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
【例4】　证明：法一（特殊值法）　取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P（－3，3）.
将点P（－3，3）代入方程左边，
得（λ＋2）×（－3）－（λ－1）×3＝－6λ－3，等于右边，
∴点（－3，3）在直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3上.
∴直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过定点（－3，3）.
法二（分离参数法）　由（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3，
整理得（2x＋y＋3）＋λ（x－y＋6）＝0.
则直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点.
由方程组得
∴直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过定点（－3，3）.
跟踪训练
　证明：方程（2k－1）x＋（k－1）y－7k＋4＝0可化为k（2x＋y－7）－x－y＋4＝0，
由解得
所以直线l过定点M（3，1）.
因为M（3，1）在第一象限，所以直线l经过第一象限.
随堂检测
1.B　解方程组得
2.B　∵P（1，1），Q（5，5），∴｜PQ｜＝＝4.
3.BC　设所求点的坐标为（x0，y0），有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或
4.2　解析：设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴｜AB｜＝＝2.
5.－　解析：解方程组得又该点（－1，－2）也在直线x＋ky＝0上，∴－1－2k＝0，∴k＝－.
4 / 4

展开更多......

收起↑