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苏科版数学八年级上学期期中模拟试卷二(范围:1~2章)
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
2．（2024八上·濉溪期末）某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　）
A．对称性 B．三角形的内角和为180°
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
3．如图，已知，，与交于点，于点，于点，那么图中全等的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
4．（2023八上·汝州期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2025八上·义乌开学考）估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．（2025八上·长沙开学考）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC=△BFA，则需添加的条件是（　　）
A．EC=FA B．DC=BA C．∠D=∠B D．∠DCE=∠BAF
7．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（　　）
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八上·莲都期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．4 B．6 C． D．8
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（2025八上·台州期末）如图，，若，则长度为　 　．
10．（2025八上·开福开学考）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是　 　．
11．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为　 　．
12．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为　 　．
13．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 =　 　．
14．（2016八上·禹州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
15．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是　 　．
16．（2020八上·靖江期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM=3cm，PN=4cm，MN=5.5cm，则线段QR的长为　 　.
17．（2025八上·红花岗期末）如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为　 　．
18．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
三、解答题（共9题，共96分）
19．（2022八上·晋江月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
20．（2022八上·深圳期中）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
请解答：
（1）的整数部分是　 　；
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，求的值．
21．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
22．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
23．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
24．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
25．（2021八上·南部期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
26．（2024八上·重庆市开学考）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
（1）若，则=_____°；
（2）如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
（3）如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
27．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性，
故选：D
【分析】利用三角形的稳定性即可作答．
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】图中的全等三角形有：，，，，，，，共7对.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，根据全等三角形的判定解答即可.
4．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，，
解得，
，
，
，即，
故选：B．
【分析】先利用一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，列出关于a的方程，得出，再代入求出它的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
5．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°，
∴添加DC=AB后，满足HL.
故选：B.
【分析】已知DE=BF，∠BFA=∠DEC=90”，具备了一直角边对应相等，故添加DC=BA后可根据HL判定△DEC △BFA.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB， PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故答案为：C.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，即的最大值是．
故答案为：D．
【分析】取的中点，连接，即可得到，然后推导得到，即可得到，进而可得解题．
9．【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵BC=9，CE=3，
∴EF=BC=9，
∴．
故答案为：6．
【分析】由题可知，全等三角形的性质可得，进而得出结论．
10．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：从作图可知，OE=O'N，OF=O'M，EF=NM，
的理由是SSS，
故答案为： SSS.
【分析】由作图痕迹可知OE=O'N，OF=O'M，EF=NM，结合全等三角形的判定可得答案.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△AMK和△BKN中，
∴△AMK≌△BKN(SAS)
∴∠AKM=∠BNK
∵∠AKM+∠BKN+∠NKM=180°，∠BKN+∠BNK+∠B=180°，
∴∠B=∠MKN=40°，
∴∠P=180°-2×40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用SAS定理证明△AMK≌△BKN，可得∠AKM=∠BNK，再根据等量代换，三角形内角和定理，进而即可求解.
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】过F作于G，利用作图可知平分，利用角平分线的性质可求出FG的长，利用勾股定理求出AG的长，再利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BG=BC，设，可表示出AB、AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
13．【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
14．【答案】4：5：6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
16．【答案】6.5cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，
∴OA垂直平分PQ，
∴QM=PM=3cm，
∴QN=MN-QM=5.5cm-3cm=2.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，
∴RN=PN=4cm，
∴QR=QN+RN=2.5cm+4cm=6.5cm.
故答案为6.5cm.
【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM=PM=3cm，RN=PN=4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可.
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
∵中，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即点在的垂直平分线上运动，
∴由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
如图，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，
∵，，
∴，
，
又∵，
∴，
在中，，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，得到，然后根据等边三角形的性质可以得到，，即可得到，然后根据得到，即可得到，发现点在的垂直平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，求出∠F的度数，解题即可．
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
19．【答案】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数和AB的距离求出m的值，进而判断出m+1与m-1的正负，再利用绝对值的非负性进行化简并合并即可；
（2）利用非负数的性质（几个非负数的和等于0，那么这几个非负数就分别等于0），得到c、d的值，代入求值即可.
20．【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的小数部分，
∴，
∴的小数部分，
∵，
∴，
∴，
解得或．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3；
故答案为：3；
【分析】（1）利用估算无理数大小方法求解即可；
（2）利用估算无理数的大小方法求出m、n的值，再将其代入，最后求出x的值即可。
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接DB，
AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
DF=DG，
DE垂直平分BC，
DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
，
Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ，
BG=CF．
（2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD，
在△ADG与△ADF中
△ADG≌△ADF(AAS)，
AG=AF，
BG=CF，
，
AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论；
（2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算.
22．【答案】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)根据立方根的定义求出a的值，根据算术平方根的定义求出b的值，根据无理数的估算求出c的值；
(2)代入a，b，c的值，求出a+6b-c，根据平方根的定义解答即可.
23．【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
24．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
25．【答案】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）解：△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰Rt△ABC可得∠CBA＝∠CAB＝45°，结合DE⊥AB，可求∠BDE＝45°，由平行线的性质可得∠BFD＝45°＝∠BDE，利用等角对等边得BF＝DB，结合D为BC的中点，得BF＝CD=DB，证明△CBF≌△ACD，可得∠BCF＝∠CAD，从而得出∠BCF+∠GCA=∠CAD+∠GCA＝90°，利用三角形内角和求出∠AGC=90°，即得结论；
（2）△ACF是等腰三角形，理由：由（1）知△CBF≌△ACD可得CF＝AD， 由等腰三角形的性质可得BE垂直平分DF， 利用线段垂直平分线的性质可得AF＝AD， 即得CF＝AF，根据等腰三角形的判定即证结论.
26．【答案】（1）40
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
【分析】（1）利用等边对等角及三角形内角和定理可证得∠ADE=∠AED=70°，利用三角形外角的性质可求出∠BAD的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由此可推出∠ADB=∠AEC，利用AAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE；延长至H，使，连接，利用SAS可证△AMF≌△HMD，利用全等三角形的性质可证得AF=DH，∠AFD=∠FDH；再利用SAS可证得△ADB≌△ADH，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）由“边角边”可证，可得，由周长＝＝，则当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，即可求解．
（1）（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
27．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
1 / 1苏科版数学八年级上学期期中模拟试卷二(范围:1~2章)
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八上·濉溪期末）某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　）
A．对称性 B．三角形的内角和为180°
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性，
故选：D
【分析】利用三角形的稳定性即可作答．
3．如图，已知，，与交于点，于点，于点，那么图中全等的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【答案】C
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】图中的全等三角形有：，，，，，，，共7对.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，根据全等三角形的判定解答即可.
4．（2023八上·汝州期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，，
解得，
，
，
，即，
故选：B．
【分析】先利用一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，列出关于a的方程，得出，再代入求出它的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
5．（2025八上·义乌开学考）估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，进行判断即可.
6．（2025八上·长沙开学考）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC=△BFA，则需添加的条件是（　　）
A．EC=FA B．DC=BA C．∠D=∠B D．∠DCE=∠BAF
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°，
∴添加DC=AB后，满足HL.
故选：B.
【分析】已知DE=BF，∠BFA=∠DEC=90”，具备了一直角边对应相等，故添加DC=BA后可根据HL判定△DEC △BFA.
7．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（　　）
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB， PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故答案为：C.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④.
8．（2024八上·莲都期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，即的最大值是．
故答案为：D．
【分析】取的中点，连接，即可得到，然后推导得到，即可得到，进而可得解题．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（2025八上·台州期末）如图，，若，则长度为　 　．
【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵BC=9，CE=3，
∴EF=BC=9，
∴．
故答案为：6．
【分析】由题可知，全等三角形的性质可得，进而得出结论．
10．（2025八上·开福开学考）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：从作图可知，OE=O'N，OF=O'M，EF=NM，
的理由是SSS，
故答案为： SSS.
【分析】由作图痕迹可知OE=O'N，OF=O'M，EF=NM，结合全等三角形的判定可得答案.
11．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△AMK和△BKN中，
∴△AMK≌△BKN(SAS)
∴∠AKM=∠BNK
∵∠AKM+∠BKN+∠NKM=180°，∠BKN+∠BNK+∠B=180°，
∴∠B=∠MKN=40°，
∴∠P=180°-2×40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用SAS定理证明△AMK≌△BKN，可得∠AKM=∠BNK，再根据等量代换，三角形内角和定理，进而即可求解.
12．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】过F作于G，利用作图可知平分，利用角平分线的性质可求出FG的长，利用勾股定理求出AG的长，再利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BG=BC，设，可表示出AB、AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
13．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 =　 　．
【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
14．（2016八上·禹州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
【答案】4：5：6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
16．（2020八上·靖江期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM=3cm，PN=4cm，MN=5.5cm，则线段QR的长为　 　.
【答案】6.5cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，
∴OA垂直平分PQ，
∴QM=PM=3cm，
∴QN=MN-QM=5.5cm-3cm=2.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，
∴RN=PN=4cm，
∴QR=QN+RN=2.5cm+4cm=6.5cm.
故答案为6.5cm.
【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM=PM=3cm，RN=PN=4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可.
17．（2025八上·红花岗期末）如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
∵中，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即点在的垂直平分线上运动，
∴由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
如图，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，
∵，，
∴，
，
又∵，
∴，
在中，，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，得到，然后根据等边三角形的性质可以得到，，即可得到，然后根据得到，即可得到，发现点在的垂直平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，求出∠F的度数，解题即可．
18．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
三、解答题（共9题，共96分）
19．（2022八上·晋江月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
【答案】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数和AB的距离求出m的值，进而判断出m+1与m-1的正负，再利用绝对值的非负性进行化简并合并即可；
（2）利用非负数的性质（几个非负数的和等于0，那么这几个非负数就分别等于0），得到c、d的值，代入求值即可.
20．（2022八上·深圳期中）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
请解答：
（1）的整数部分是　 　；
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的小数部分，
∴，
∴的小数部分，
∵，
∴，
∴，
解得或．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3；
故答案为：3；
【分析】（1）利用估算无理数大小方法求解即可；
（2）利用估算无理数的大小方法求出m、n的值，再将其代入，最后求出x的值即可。
21．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接DB，
AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
DF=DG，
DE垂直平分BC，
DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
，
Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ，
BG=CF．
（2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD，
在△ADG与△ADF中
△ADG≌△ADF(AAS)，
AG=AF，
BG=CF，
，
AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论；
（2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算.
22．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)根据立方根的定义求出a的值，根据算术平方根的定义求出b的值，根据无理数的估算求出c的值；
(2)代入a，b，c的值，求出a+6b-c，根据平方根的定义解答即可.
23．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
24．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
25．（2021八上·南部期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）解：△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰Rt△ABC可得∠CBA＝∠CAB＝45°，结合DE⊥AB，可求∠BDE＝45°，由平行线的性质可得∠BFD＝45°＝∠BDE，利用等角对等边得BF＝DB，结合D为BC的中点，得BF＝CD=DB，证明△CBF≌△ACD，可得∠BCF＝∠CAD，从而得出∠BCF+∠GCA=∠CAD+∠GCA＝90°，利用三角形内角和求出∠AGC=90°，即得结论；
（2）△ACF是等腰三角形，理由：由（1）知△CBF≌△ACD可得CF＝AD， 由等腰三角形的性质可得BE垂直平分DF， 利用线段垂直平分线的性质可得AF＝AD， 即得CF＝AF，根据等腰三角形的判定即证结论.
26．（2024八上·重庆市开学考）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
（1）若，则=_____°；
（2）如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
（3）如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
【答案】（1）40
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
【分析】（1）利用等边对等角及三角形内角和定理可证得∠ADE=∠AED=70°，利用三角形外角的性质可求出∠BAD的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由此可推出∠ADB=∠AEC，利用AAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE；延长至H，使，连接，利用SAS可证△AMF≌△HMD，利用全等三角形的性质可证得AF=DH，∠AFD=∠FDH；再利用SAS可证得△ADB≌△ADH，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）由“边角边”可证，可得，由周长＝＝，则当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，即可求解．
（1）（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
27．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
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