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(共84张PPT)
第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 逻辑推理
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，
易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线 l ，
仓库看作点 P .
【问题】　怎样求得仓库到铁路的距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　点到直线及两条平行直线间的距离公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定
义 点到直线的垂线段的长 夹在两条平行直线间的公垂线段的
长
公
式 点 P0（ x0， y0）到直线 l ：
Ax ＋ By ＋ C ＝0的距离 d ＝
（其中 A ， B 不全为0） 两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝
0， l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0（其中 A ，
B 不全为0，且 C1≠ C2）之间的距离 d
＝
　
　
【想一想】
1. 若点 P （ x0， y0）到直线 l1： y ＝ a 与 l2： x ＝ b 的距离分别为 d1，
d2，那么 d1， d2如何求？
提示： d1＝｜ y0－ a ｜， d2＝｜ x0－ b ｜.
2. 两条平行直线间的距离公式写成 d ＝ 时对两条直线有什么
要求？
提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且 x ， y 的系数分别对应
相等.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点 P （ x0， y0）在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上时，点到直线
的距离公式就不适用了.（　　）
×　
（2）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 .
（　　）
×　
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.
（　　）
√　
（4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距
离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.（　　）
√
2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1， l2之间的距离
为（　　）
A. 1 D. 2
解析：　由题意知 l1， l2平行，则 l1， l2之间的距离为 ＝
.
3. 若第二象限内的点 P （ m ，1）到直线 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，则
m 的值为 .
解析：由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0，∴ m
＝－4.
－4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 点到直线的距离
【例1】　（1）已知点 A （ a ，2）（ a ＞0）到直线 l ： x － y ＋3＝0的
距离为1，则 a ＝（　C　）
C
解析：由点到直线的距离公式知， d ＝ ＝
＝1，得 a ＝－1± .又∵ a ＞0，∴ a ＝ －1.故选C.
（2）垂直于直线 x ＋3 y －5＝0且与点 P （－1，0）的距离是 的
直线 l 的方程是 .
解析：设与直线 x ＋3 y －5＝0垂直的直线的方程为3 x － y
＋ m ＝0，则由点到直线的距离公式知： d ＝ ＝
＝ .所以｜ m －3｜＝6，即 m －3＝±6.得 m ＝9或
m ＝－3，故所求直线 l 的方程为3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0.
3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0　
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接
应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 x ＝ a 或 y ＝ b ，求点到它们
的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d
＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜；
（3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公
式列方程求参数即可.
【跟踪训练】
已知坐标平面内两点 A （3，2）和 B （－1，4）到直线 mx ＋ y
＋3＝0的距离相等，则实数 m 的值为 .
解析：由 ＝ ，得｜3 m ＋5｜＝｜ m －
7｜，∴ m ＝－6或 m ＝ .
－6或 　
题型二 两条平行直线间的距离
【例2】　（1）求两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 mx ＋8 y ＋6＝0之
间的距离；
解：由两条直线平行得 ＝ ，∴ m ＝6.
∴直线为6 x ＋8 y ＋6＝0即3 x ＋4 y ＋3＝0.
∴两条平行直线间的距离 d ＝ ＝ ＝3.
（2）求到直线3 x －4 y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线
的方程.
解：设所求直线方程为3 x －4 y ＋ m ＝0（ m ≠1），
由两平行线间的距离公式得 ＝3，
解得 m ＝16或 m ＝－14.
故所求直线方程为3 x －4 y ＋16＝0或3 x －4 y －14＝0.
【母题探究】
　（变条件）把本例（2）改为“直线 l 与直线3 x －4 y ＋1＝0平行
且点 P （2，3）到直线 l 的距离为3，求直线 l 的方程”.
解：由直线 l 平行于直线3 x －4 y ＋1＝0，可设 l 的方程为3 x －4 y
＋ c ＝0（ c ≠1），
又点 P 到 l 的距离为3，所以 ＝3.
解得 c ＝21或 c ＝－9，
所以所求直线方程为3 x －4 y ＋21＝0或3 x －4 y －9＝0.
通性通法
求两条平行直线间距离的方法
（1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另
一条直线的距离，即化线线距为点线距来求；
（2）公式法：设直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0， l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0，
即两条平行直线间的距离 d ＝ .
1. 已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们之
间的距离是（　　）
A. 1 B. 2
D. 4
解析：　由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.即5 x ＋12 y ＋
10＝0，由两条平行线间的距离公式得 d ＝ ＝1.
【跟踪训练】
2. 已知直线 l1， l2分别是经过 A （1，1）， B （0，－1）两点的两条平
行直线，当 l1， l2间的距离最大时，直线 l1的方程是 .
解析：当两条平行直线与 A ， B 两点的连线垂直时，两条平行直线
间的距离最大.因为 A （1，1）， B （0，－1）.所以 kAB ＝ ＝2，
所以两条平行直线的斜率为－ ，所以直线 l1的方程为 y －1＝－
（ x －1），即 x ＋2 y －3＝0.
x ＋2 y －3＝0　
题型三 距离的综合应用
【例3】　已知正方形的中心为直线2 x － y ＋2＝0， x ＋ y ＋1＝0的交
点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x ＋3 y －5＝0，求正方形其他
三边所在直线的方程.
解：设与直线 l ： x ＋3 y －5＝0平行的边所在的直线方程为 l1： x ＋3 y
＋ c ＝0（ c ≠－5）.设正方形的中心为点 P ，由得中
心坐标为 P （－1，0），
由点 P 到两直线 l ， l1的距离相等，
得 ＝ ，得 c ＝7或 c ＝－5（舍去）.
∴ l1： x ＋3 y ＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与 l 垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3 x － y ＋ a ＝0，3 x － y ＋ b ＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴ ＝ ，
得 a ＝9或 a ＝－3，
同理得 b ＝9或 b ＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0，3 x － y －3＝0.
∴正方形其他三边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0， x ＋3 y ＋7＝
0，3 x － y －3＝0.
通性通法
　　利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，
需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法
的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可
构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.
【跟踪训练】
　直线过点 M （－2，1）且 A （－1，2）， B （3，0）两点到该直线
的距离相等，则直线的方程为 .
y ＝1或 x ＋2 y ＝0　
解析：法一　当直线斜率不存在时，直线方程为 x ＝－2， A ， B 两点
到它的距离不相等，不符合题意.所以所求直线的斜率存在，可设直线
方程为 y －1＝ k （ x ＋2），即 kx － y ＋2 k ＋1＝0.由 A ， B 两点到该直
线的距离相等得 ＝ ，解得 k ＝0或 k ＝－ .故
所求直线方程为 y ＝1或 x ＋2 y ＝0.
法二　设所求直线为 l ，由平面几何知识可知，直线 l 与 AB 平行或过
线段 AB 的中点.易求得 kAB ＝－ ，若 l ∥ AB ，则直线 l 的方程为 y －1
＝－ （ x ＋2），即 x ＋2 y ＝0.若 l 过 AB 的中点（1，1），又 l 过点 M
（－2，1），所以直线 l 的方程为 y ＝1.故所求直线方程为 y ＝1或 x ＋2
y ＝0.
1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（　　）
A. 3
C. 1
解析：　点 P （1，－1）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ .
2. 两条平行直线3 x －4 y －2＝0与3 x －4 y ＋3＝0之间的距离为
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由两条平行直线间的距离公式，得 d ＝ ＝1.
3. 两条平行直线 x ＋ y －1＝0与2 x ＋2 y ＋1＝0之间的距离是（　　）
C. 2 D. 1
解析：　2 x ＋2 y ＋1＝0可化为 x ＋ y ＋ ＝0，由两条平行直线间
的距离公式，得 ＝ .
4. 已知直线3 x ＋4 y －3＝0与直线6 x ＋ my ＋14＝0平行，则 m ＝ ，
两条平行直线间的距离是 .
解析：因为直线3 x ＋4 y －3＝0与直线6 x ＋ my ＋14＝0平行，所以 m
＝8，故直线6 x ＋ my ＋14＝0可化为3 x ＋4 y ＋7＝0，所以两条平行
直线间的距离是 d ＝ ＝2.
8　
2　
　对称问题
　　对称问题主要有以下几类：（1）点关于点的对称问题；（2）
直线关于点的对称问题；（3）点关于直线的对称问题；（4）直线
关于直线的对称问题.
一、点关于点对称
【例1】　已知不同的两点 P （ a ，－ b ）与 Q （ b ＋1， a －1）关于点
（3，4）对称，则 ab ＝（　　）
A. －5 B. 14 C. －14 D. 5
解析：　由题意知即解得故
ab ＝7×（－2）＝－14.
方法总结
解决点关于点对称问题的方法
　　点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题
的基础，一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题.
　　设点 P （ x0， y0）关于点 M （ a ， b ）的对称点为P'（ x ， y ），
则有所以即点P'的坐标为（2 a － x0，2 b
－ y0）.特别地，点 P 关于坐标原点 O 的对称点为P'（－ x0，－ y0）.
二、直线关于点对称
【例2】　求直线3 x － y －4＝0关于点 P （2，－1）对称的直线 l
的方程.
解：法一　设直线 l 上任一点为 M （ x ， y ），则此点关于点 P （2，－
1）的对称点为 M1（4－ x ，－2－ y ），且点 M1在直线3 x － y －4＝0
上，所以3（4－ x ）－（－2－ y ）－4＝0，即3 x － y －10＝0，所以所
求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.
法二　在直线3 x － y －4＝0上任取两点 A （0，－4）， B （1，－
1），则点 A （0，－4）关于点 P （2，－1）的对称点为 A1（4，2），
点 B （1，－1）关于点 P （2，－1）的对称点为 B1（3，－1），由直
线方程的两点式，可得直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.
法三　由题意可得，直线 l 与已知直线平行，可设 l 的方程为3 x － y ＋
m ＝0（ m ≠－4），点 P （2，－1）到直线3 x － y －4＝0的距离 d ＝
，由于点 P （2，－1）到两直线距离相等，所以 ＝ ，解得 m ＝－10或 m ＝－4（舍去），所以直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.

方法总结
解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称
点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用
对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0关于原点对称的直线方程是 A （－ x ）
＋ B （－ y ）＋ C ＝0.
三、点关于直线对称
【例3】　已知直线 l ： y ＝3 x ＋3，则点 P （4，5）关于 l 的对称点的
坐标为 .
解析：设点 P 关于直线 l 的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点 M
（ ， ）在直线 l 上，且直线PP'垂直于直线 l ，即
解得∴点P'的坐标为（－2，7）.
（－2，7）　
方法总结
解决点关于直线对称问题的方法
　　已知 P （ x ， y ），直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，求点 P 关于直线 l 的
对称点P'（x'，y'）可以分三步来求：
第一步，直线PP'和 l 垂直，故 kPP'· kl ＝－1（ kl ≠0）；
第二步，PP'的中点在直线 l 上，即（ ， ）满足直线方程 Ax
＋ By ＋ C ＝0，得到 A · ＋ B · ＋ C ＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
四、直线关于直线对称
角度1　已知直线与对称轴平行
【例4】　已知直线 l1： x － y ＋3＝0，直线 l ： x － y －1＝0.若直线 l1
关于直线 l 的对称直线为 l2，求直线 l2的方程.
解：法一　因为 l1∥ l ，所以 l2∥ l ，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m
＝0（ m ≠3， m ≠－1）.
因为直线 l1， l2关于直线 l 对称，所以 l1与 l 间的距离等于 l2与 l 间
的距离.
由两条平行直线间的距离公式，得 ＝ ，解得 m
＝－5或 m ＝3（舍去）.
所以直线 l2的方程为 x － y －5＝0.
法二　由题意知 l1∥ l2，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m ≠
－1）.
在直线 l1上取点 M （0，3），设点 M 关于直线 l 的对称点为M'（ a ，
b ），于是有解得即点M'的坐标为
（4，－1）.
把点M'的坐标代入 l2的方程，得 m ＝－5，所以直线 l2的方程为 x － y －
5＝0.
角度2　已知直线与对称轴相交
【例5】　求直线 l1：2 x ＋ y －4＝0关于直线 l ：3 x ＋4 y －1＝0对称的
直线 l2的方程.
解：解方程组得所以直线 l1与 l 相交，
且交点为 E （3，－2），故点 E 也在直线 l2上.
在直线 l1：2 x ＋ y －4＝0上取点 A （2，0），设点 A 关于直线 l 的对称
点为 B （ x0， y0），
于是有
解得即点 B 的坐标为（ ，－ ）.
故由两点式得直线 l2的方程为2 x ＋11 y ＋16＝0.
方法总结
解决直线关于直线对称问题的方法
　　已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，求直
线 l1关于直线 l2的对称直线的方程：
（1）如果 l1∥ l2，则设所求直线方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0（ m ≠
C1），然后在 l1上找一点 P ，求出点 P 关于直线 l2的对称点P'
（x'，y'），再代入 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0即可解出 m ；
（2）如果 l1不平行于 l2，则先找出 l1与 l2的交点 P ，然后在 l1上确定一
点（不同于交点），找出这一点关于 l2的对称点P'，由直线方程
的两点式确定所求直线方程.
五、对称问题的应用
【例6】　如图所示，已知点 A （4，0）， B （0，4），从点 P （2，
0）射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反
射后又回到点 P ，则光线所经过的路程是（　　）
B. 6
解析：　由题意知， AB 所在直线的方程为 x ＋ y
－4＝0.如图，点 P 关于直线 AB 的对称点为 D （4，
2），关于 y 轴的对称点为 C （－2，0），连接
MD ， NC ，易知｜ PM ｜＝｜ MD ｜，｜ PN ｜
＝｜ NC ｜，所以｜ PM ｜＋｜ MN ｜＋｜ NP ｜
＝｜ MD ｜＋｜ MN ｜＋｜ NC ｜＝｜ CD ｜，故光
线所经过的路程为｜ CD ｜＝2 .
方法总结
利用对称解决光线反射问题的方法
（1）根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直
线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法
线对称的.利用点的对称关系可以求解；
（2）在解决这类问题时，要充分探索出题目的内涵及图形的几何特
征，用光学的知识去求解，往往使问题的求解变得更简便.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知点（ a ，1）到直线 x － y ＋1＝0的距离为1，则 a 的值为
（　　 ）
A. 1 B. －1
解析：D　由题意知 ＝1，即｜ a ｜＝ ，∴ a ＝± .
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2. 两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0间的距离为
（　　）
解析：　直线3 x ＋4 y －12＝0即直线6 x ＋8 y －24＝0，由题意
知， a ＝6.故两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0间的距
离为 ＝ .
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3. 已知点 A （1，3）， B （3，1）， C （－1，0），则△ ABC 的面积
为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　｜ AB ｜＝ ＝2 ，设 AB 边上
的高为 h ，则 h 就是点 C 到直线 AB 的距离. AB 边所在的直线方程为
＝ ，即 x ＋ y －4＝0.点 C 到直线 x ＋ y －4＝0的距离为
＝ ，因此 S△ ABC ＝ ｜ AB ｜· h ＝ ×2 × ＝5.
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4. 已知两条平行直线 l1， l2分别过点 P （－1，3）， Q （2，－1），它
们分别绕 P ， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间的距离的取值
范围是（　　）
A. （0，＋∞） B. [0，5]
C. （0，5]
解析：　当直线 l1， l2与直线 PQ 垂直时，它们之间的距离 d 达到
最大，此时 d ＝ ＝5，∴0＜ d ≤5.
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5. （多选）已知直线 l 经过点（3，4），且点 A （－2，2）， B （4，
－2）到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为（　　）
A. 2 x ＋3 y －18＝0 B. 2 x － y －2＝0
C. x ＋2 y ＋2＝0 D. 2 x －3 y ＋6＝0
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解析：　当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线 l
的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x －3），即 kx － y ＋4
－3 k ＝0，由点 A （－2，2）， B （4，－2）到直线 l 的距离相等，
得 ＝ ，解得 k ＝2或 k ＝－ ，所以直线
l 的方程为2 x － y －2＝0或2 x ＋3 y －18＝0.故选A、B.
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6. （多选）已知平面上一点 M （5，0），若直线上存在点 P 使｜
PM ｜＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直
线”的是（　　）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝2
D. y ＝2 x ＋1
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解析：　A中，点 M （5，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离为 d1＝ ＝
3 ＞4，故不是“切割型直线”；对于B，点 M （5，0）到直线 y ＝2
的距离 d2＝2＜4，故B是“切割型直线”；对于C，点 M （5，0）到直
线 y ＝ x 的距离 d3＝ ＝4，故C是“切割型直线”；对于D，
点 M （5，0）到直线 y ＝2 x ＋1的距离 d4＝ ＝ ＞4，
故D不是“切割型直线”.
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7. 若直线 l1： x ＋3 y ＋ m ＝0（ m ＞0）与直线 l2：2 x ＋6 y －3＝0间的
距离为 ，则 m ＝ 　 　.
解析：已知直线 l1： x ＋3 y ＋ m ＝0（ m ＞0）与直线 l2：2 x ＋6 y －3
＝0平行，将直线 l2：2 x ＋6 y －3＝0的方程化为 x ＋3 y － ＝0，
∴两直线 l1， l2间的距离 d ＝ ＝ ，得 m ＝－ 或 m ＝
.∵ m ＞0，∴ m ＝ .
　
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8. 与直线3 x －4 y ＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方
程为 .
解析：设所求直线方程为4 x ＋3 y ＋ C ＝0.则
＝2，即｜ C －7｜＝10.解得 C ＝－3或 C ＝
17.故所求直线方程为4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0.
4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0　
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9. 经过点 P （－3，4），且与原点的距离等于3的直线 l 的方程为
.
解析：（1）当直线 l 的斜率不存在时，原点到直线 l ： x ＝－3的距
离等于3，满足题意；
x ＝
－3或7 x ＋24 y －75＝0　
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（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x ＋
3），即 kx － y ＋3 k ＋4＝0.原点到直线 l 的距离 d ＝ ＝
3，解得 k ＝－ .直线 l 的方程为7 x ＋24 y －75＝0.综上可知，直线 l
的方程为 x ＝－3或7 x ＋24 y －75＝0.
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10. 已知三条直线 l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＞0），直线 l2：4 x －2 y －1＝
0和直线 l3： x ＋ y －1＝0，且 l1和 l2间的距离是 .
（1）求 a 的值；
解：l2的方程可化为2 x － y － ＝0，
∴ l1和 l2间的距离 d ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∵ a ＞0，∴ a ＝3.
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（2）能否找到一点 P ，使得点 P 同时满足下列三个条件：①点 P
是第一象限内的点；②点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的一
半；③点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 ∶ ？若
能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.
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解：设点 P （ x0， y0），若点 P 满足条件②，则点 P 在
与 l1和 l2平行的直线l'：2 x － y ＋ c ＝0上，且 ＝ ×
，得 c ＝ 或 c ＝ .
∴2 x0－ y0＋ ＝0或2 x0－ y0＋ ＝0.
若点 P 满足条件③，则 ＝ · ，∴ x0－
2 y0＋4＝0或3 x0＋2＝0.
若点 P 也满足条件①，则3 x0＋2＝0不合题意.
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由解得
此时点 P 不满足条件①，故舍去.
由解得此时点 P 也满足条件
①.
∴ P 为同时满足三个条件的点.
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11. 点 P （ sin θ， cos θ）到直线 x ＋ y ＋8＝0的距离的最小值为
（　　）
A. 4
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解析：　点 P （ sin θ， cos θ）到直线 x ＋ y ＋8＝0的距离为 d
＝ ＝ ≥ ＝3 ，所以
当 sin （θ＋ ）＝－1，即θ＝2 k π＋ ， k ∈Z时， d 取得最小值为
3 .故选C.
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12. 已知 m ， n ， a ， b ∈R，且满足3 m ＋4 n ＝16，3 a ＋4 b ＝1，则
的最小值为（　　）
A. 3
C. 1
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解析：　设 A （ m ， n ）， B （ a ， b ），直线 l1的方程为3 x ＋4 y
＝16，直线 l2的方程为3 x ＋4 y ＝1.由题意得，点 A （ m ， n ）在直
线 l1：3 x ＋4 y ＝16上，点 B （ a ， b ）在直线 l2：3 x ＋4 y ＝1
上，｜ AB ｜＝ .显然 l1∥ l2，所以｜
AB ｜的最小值就是两条平行直线间的距离，即｜ AB ｜min＝
＝3.
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13. （多选）若直线 m 被两条平行直线 l1： x － y ＋1＝0与 l2： x － y ＋3
＝0所截得的线段的长为2 ，则直线 m 的倾斜角可以是（　　）
A. 15° B. 45°
C. 60° D. 75°
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解析：　记直线 m 的倾斜角是θ.由题意知直线 l1， l2间的距离等
于 ＝ .又直线 m 被直线 l1， l2所截得的线段的长是2 ，因此
直线 m 与直线 l1的夹角的正弦值等于 ＝ ，所以直线 m 与直线 l1
的夹角是30°，又直线 l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝
75°，故选A、D.
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14. 当 m 变化时，两条平行直线3 x －4 y ＋ m －1＝0和3 x －4 y ＋ m2＝0
间的距离的最小值为 .
解析：两条平行直线间的距离 d ＝ ＝ ≥
，当且仅当 m ＝ 时取等号.
　
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15. 如图，已知直线 l1： x ＋ y －1＝0，现将直线 l1向上平移到直线 l2的
位置，若 l2， l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线 l2的方程.
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解：设 l2的方程为 x ＋ y － b ＝0（ b ＞1），
则 A （1，0）， D （0，1）， B （ b ，0）， C （0， b ）.
∴｜ AD ｜＝ ，｜ BC ｜＝ b .
梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离，
故 h ＝ ＝ ＝ ，
由梯形的面积公式得 × ＝4，
∴ b2＝9， b ＝±3.又 b ＞1，∴ b ＝3.
从而得直线 l2的方程是 x ＋ y －3＝0.
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16. 已知10条直线，
l1： x － y ＋ c1＝0， c1＝ ，
l2： x － y ＋ c2＝0，
l3： x － y ＋ c3＝0，
…
l10： x － y ＋ c10＝0，其中 c1＜ c2＜…＜ c10.
这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2，3，4，…，
10.求：
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（1） c10；
解：直线 l1与 l2间的距离为 d1＝2，
直线 l1与 l3间的距离为 d2＝2＋3，
直线 l1与 l4间的距离为 d3＝2＋3＋4，
……
直线 l1与 l10间的距离为 d9＝2＋3＋…＋10＝54，
因为 d9＝ ，所以 c10＝55 .
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（2）直线 x － y ＋ c10＝0与 x 轴、 y 轴围成的图形的面积.
解：由（1）知，直线 l10的方程为 x － y ＋55 ＝0，
其与 x 轴交于点 M （－55 ，0），与 y 轴交于点 N （0，55
），则△ OMN 的面积为 S△ OMN ＝ ｜ OM ｜×｜ ON ｜＝
×（55 ）2＝3 025.
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谢 谢 观 看！第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式
1.已知点（a，1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（　　 ）
A.1 B.－1
C. D.±
2.两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
3.已知点A（1，3），B（3，1），C（－1，0），则△ABC的面积为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.已知两条平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（　　）
A.（0，＋∞）　　　　　　B.[0，5]
C.（0，5] D.[0，]
5.（多选）已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A.2x＋3y－18＝0 B.2x－y－2＝0
C.x＋2y＋2＝0 D.2x－3y＋6＝0
6.（多选）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使｜PM｜＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　）
A.y＝x＋1 B.y＝2
C.y＝x D.y＝2x＋1
7.若直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：2x＋6y－3＝0间的距离为，则m＝　　　　.
8.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方程为　　　　.
9.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　　　　　.
10.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0（a＞0），直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2间的距离是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的一半；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
11.点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为（　　）
A.4 B.2
C.3 D.2
12.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝16，3a＋4b＝1，则的最小值为（　　）
A.3 B.
C.1 D.
13.（多选）若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角可以是（　　）
A.15° B.45°
C.60° D.75°
14.当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离的最小值为　　　　.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程.
16.已知10条直线，
l1：x－y＋c1＝0，c1＝，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…
l10：x－y＋c10＝0，其中c1＜c2＜…＜c10.
这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2，3，4，…，10.求：
（1）c10；
（2）直线x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积.
第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式
1.D　由题意知＝1，即｜a｜＝，∴a＝±.
2.C　直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6.故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝.
3.C　｜AB｜＝ ＝2，设AB边上的高为h，则h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此S△ABC＝｜AB｜·h＝×2×＝5.
4.C　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
5.AB　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0，由点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选A、B.
6.BC　A中，点M（5，0）到直线y＝x＋1的距离为d1＝＝3＞4，故不是“切割型直线”；对于B，点M（5，0）到直线y＝2的距离d2＝2＜4，故B是“切割型直线”；对于C，点M（5，0）到直线y＝x的距离d3＝＝4，故C是“切割型直线”；对于D，点M（5，0）到直线y＝2x＋1的距离d4＝＝＞4，故D不是“切割型直线”.
7.　解析：已知直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：2x＋6y－3＝0平行，将直线l2：2x＋6y－3＝0的方程化为x＋3y－＝0，∴两直线l1，l2间的距离d＝＝，得m＝－或m＝.∵m＞0，∴m＝.
8.4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.则＝2，即｜C－7｜＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
9.x＝－3或7x＋24y－75＝0　
解析：（1）当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
10.解：（1）l2的方程可化为2x－y－＝0，
∴l1和l2间的距离d＝＝，
∴＝，∵a＞0，∴a＝3.
（2）设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×，得c＝或c＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，则＝·，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
若点P也满足条件①，则3x0＋2＝0不合题意.
由解得
此时点P不满足条件①，故舍去.
由解得此时点P也满足条件①.
∴P为同时满足三个条件的点.
11.C　点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离为d＝＝≥＝3，所以当sin（θ＋）＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值为3.故选C.
12.A　设A（m，n），B（a，b），直线l1的方程为3x＋4y＝16，直线l2的方程为3x＋4y＝1.由题意得，点A（m，n）在直线l1：3x＋4y＝16上，点B（a，b）在直线l2：3x＋4y＝1上，｜AB｜＝.显然l1∥l2，所以｜AB｜的最小值就是两条平行直线间的距离，即｜AB｜min＝＝3.
13.AD　记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1，l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1，l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，所以直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°，故选A、D.
14.　解析：两条平行直线间的距离d＝＝≥，当且仅当m＝时取等号.
15.解：设l2的方程为x＋y－b＝0（b＞1），
则A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）.
∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b＞1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16.解：（1）直线l1与l2间的距离为d1＝2，
直线l1与l3间的距离为d2＝2＋3，
直线l1与l4间的距离为d3＝2＋3＋4，
……
直线l1与l10间的距离为d9＝2＋3＋…＋10＝54，
因为d9＝，
所以c10＝55.
（2）由（1）知，直线l10的方程为x－y＋55＝0，其与x轴交于点M（－55，0），与y轴交于点N（0，55），则△OMN的面积为S△OMN＝｜OM｜×｜ON｜＝×（55）2＝3 025.
2 / 2第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 逻辑推理
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
　　
　　在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
【问题】　怎样求得仓库到铁路的距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　点到直线及两条平行直线间的距离公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长 夹在两条平行直线间的公垂线段的长
公式 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　　　（其中A，B不全为0） 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0（其中A，B不全为0，且C1≠C2）之间的距离d＝　　　
【想一想】
1.若点P（x0，y0）到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？
2.两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线有什么要求？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（　　）
（2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　　）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　　）
（4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.（　　）
2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（　　）
A.1　　　　　　　　 B.
C. D.2
3.若第二象限内的点P（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为　　　　.
　　
题型一 点到直线的距离
【例1】　（1）已知点A（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　　）
A. B.2－
C.－1 D.＋1
（2）垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线l的方程是　　　　.
尝试解答
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜；
（3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求参数即可.
【跟踪训练】
　已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为　　　　.
题型二 两条平行直线间的距离
【例2】　（1）求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
（2）求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件）把本例（2）改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P（2，3）到直线l的距离为3，求直线l的方程”.
通性通法
求两条平行直线间距离的方法
（1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求；
（2）公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，即两条平行直线间的距离d＝.
【跟踪训练】
1.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是（　　）
A.1 B.2
C. D.4
2.已知直线l1，l2分别是经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　.
题型三 距离的综合应用
【例3】　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程.
尝试解答
通性通法
　　利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.
【跟踪训练】
　直线过点M（－2，1）且A（－1，2），B（3，0）两点到该直线的距离相等，则直线的方程为　　　　.
1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　）
A.3 B.
C.1 D.
2.两条平行直线3x－4y－2＝0与3x－4y＋3＝0之间的距离为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.两条平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是（　　）
A. B.
C.2 D.1
4.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则m＝　　　　，两条平行直线间的距离是　　　　.
　对称问题
　　对称问题主要有以下几类：（1）点关于点的对称问题；（2）直线关于点的对称问题；（3）点关于直线的对称问题；（4）直线关于直线的对称问题.
一、点关于点对称
【例1】　已知不同的两点P（a，－b）与Q（b＋1，a－1）关于点（3，4）对称，则ab＝（　　）
A.－5 B.14
C.－14 D.5
尝试解答
方法总结
解决点关于点对称问题的方法
　　点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题.
　　设点P（x0，y0）关于点M（a，b）的对称点为P'（x，y），则有所以即点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）.特别地，点P关于坐标原点O的对称点为P'（－x0，－y0）.
二、直线关于点对称
【例2】　求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程.
尝试解答
方法总结
解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0.
三、点关于直线对称
【例3】　已知直线l：y＝3x＋3，则点P（4，5）关于l的对称点的坐标为　　　　.
尝试解答
方法总结
解决点关于直线对称问题的方法
　　已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步来求：
第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
四、直线关于直线对称
角度1　已知直线与对称轴平行
【例4】　已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程.
尝试解答
角度2　已知直线与对称轴相交
【例5】　求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程.
尝试解答
方法总结
解决直线关于直线对称问题的方法
　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程：
（1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程.
五、对称问题的应用
【例6】　如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　　）
A.2 B.6
C.3 D.2
尝试解答
方法总结
利用对称解决光线反射问题的方法
（1）根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解；
（2）在解决这类问题时，要充分探索出题目的内涵及图形的几何特征，用光学的知识去求解，往往使问题的求解变得更简便.
第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点
　　
想一想
1.提示：d1＝｜y0－a｜，d2＝｜x0－b｜.
2.提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.
自我诊断
1.（1）×　 （2）×　（3）√　（4）√
2.B　由题意知l1，l2平行，则l1，l2之间的距离为＝.
3.－4　解析：由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　解析：（1）由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.故选C.
（2）设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝＝＝.所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
跟踪训练
　－6或　解析：由＝，得｜3m＋5｜＝｜m－7｜，∴m＝－6或m＝.
【例2】　解：（1）由两条直线平行得＝，∴m＝6.
∴直线为6x＋8y＋6＝0即3x＋4y＋3＝0.
∴两条平行直线间的距离d＝＝＝3.
（2）设所求直线方程为3x－4y＋m＝0（m≠1），
由两平行线间的距离公式得＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
母题探究
　解：由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0（c≠1），
又点P到l的距离为3，所以＝3.
解得c＝21或c＝－9，
所以所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
跟踪训练
1.A　由两条直线平行可得＝，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝1.
2.x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1）.所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.
【例3】　解：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0（c≠－5）.设正方形的中心为点P，由得中心坐标为P（－1，0），
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得＝，得c＝7或c＝－5（舍去）.
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，
得a＝9或a＝－3，
同理得b＝9或b＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴正方形其他三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
跟踪训练
　y＝1或x＋2y＝0 　解析：法一　当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，A，B两点到它的距离不相等，不符合题意.所以所求直线的斜率存在，可设直线方程为y－1＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋1＝0.由A，B两点到该直线的距离相等得＝，解得k＝0或k＝－.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
法二　设所求直线为l，由平面几何知识可知，直线l与AB平行或过线段AB的中点.易求得kAB＝－，若l∥AB，则直线l的方程为y－1＝－（x＋2），即x＋2y＝0.若l过AB的中点（1，1），又l过点M（－2，1），所以直线l的方程为y＝1.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
随堂检测
1.B　点P（1，－1）到直线l的距离d＝＝.
2.A　由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝1.
3.A　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得＝.
4.8　2　解析：因为直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，所以m＝8，故直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，所以两条平行直线间的距离是d＝＝2.
拓视野　对称问题
【例1】　C　由题意知即解得故ab＝7×（－2）＝－14.
【例2】　解：法一　设直线l上任一点为M（x，y），则此点关于点P（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y），且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二　在直线3x－y－4＝0上任取两点A（0，－4），B（1，－1），则点A（0，－4）关于点P（2，－1）的对称点为A1（4，2），点B（1，－1）关于点P（2，－1）的对称点为B1（3，－1），由直线方程的两点式，可得直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三　由题意可得，直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0（m≠－4），点P（2，－1）到直线3x－y－4＝0的距离d＝，
由于点P（2，－1）到两直线距离相等，所以＝，解得m＝－10或m＝－4（舍去），所以直线l的方程为3x－y－10＝0.
【例3】　（－2，7）　解析：设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点M（，）在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，即解得∴点P'的坐标为（－2，7）.
【例4】　解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）.
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）.
把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
【例5】　解：解方程组得所以直线l1与l相交，且交点为E（3，－2），故点E也在直线l2上.
在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A（2，0），设点A关于直线l的对称点为B（x0，y0），
于是有解得即点B的坐标为（，－）.
故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
【例6】　A　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知｜PM｜＝｜MD｜，｜PN｜＝｜NC｜，所以｜PM｜＋｜MN｜＋｜NP｜＝｜MD｜＋｜MN｜＋｜NC｜＝｜CD｜，故光线所经过的路程为｜CD｜＝2.
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