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苏科版数学九年级上学期期中模拟试卷一(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（2025九上·荔湾期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
∴，
故选：D．
【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案.
2．（2024九上·石家庄期中）佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系，
∴无法确定平均数和方差，
∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数，
∴不能确定众数，
∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38，
∴中位数为38；
∴能确定这组数据的中位数，
故选B．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k-1=0根的情况是(　　).
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况无法判断
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+(2k+1)x+k-1=0，
Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5>0
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义进行判断.
4．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
5．（2023九上·邹平期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
6．（2025·南沙模拟）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则BM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
解：①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，如图：
则点B在点B'处时，BM的值最大，理由如下：
点B是直角坐标系平面内一动点，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等边三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M点在B'C上，点B在点B'处时，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
连接OM，如图：
的半径为1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
此时，BM的最大值为；
②当B点在x轴下方时，作△OAB的外接圆，连接、，过点作于点C，延长交于点，如图：
由①可知，，，
∴，
∵，
∴BM的最大值为．
故答案为： C．
【分析】分两种情况进行讨论，即①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，则点B在点B'处时，BM的值最大，此时，BM的最大值为；②当B点在x轴下方时，结合①中所求结果，可求得此时BM的最大值为，进行比较得出答案．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．（2025九上·苏州期末）圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：作图如下：
由题意可得：OB=4，AB=6，AO⊥OB，
∴圆锥的底面圆的周长为：，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的底面求出底面圆的周长，从而得到圆锥侧面展开图形的弧长，然后利用扇形面积公式计算即可．
8．（2022九上·孝南期末）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接．
∵是⊙的切线，
∴；
∴，
∴当时，线段OP最短，
∴PQ的长最短，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线性质可得，当时，线段OP最短，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得OP，再根据勾股定理即可求出答案.
9．（2024九上·杭州期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为　 　．
【答案】9°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，
∴CH=CH，CD=CB，
∴，，
∴，
∴∠DCE=∠BCG，
∵，∠DCB=90°，
∴.
故答案为：9°.
【分析】根据正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，得到，，求得，得到∠DCE=∠BCG，于是得到结论.
10．（2024九上·阜宁期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则　 　．
【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：72.
【分析】利用弧长公式可得，再求出n的值即可.
11．（2023九上·徐州期末）已知一组数据的极差为　 　.
【答案】9
【知识点】极差
【解析】【解答】解：极差为：，
故答案为：9.
【分析】根据极差=最大值-最小值进行计算.
12．（2024九上·台州期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则　 　cm．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：是的直径，是的切线，
，，
在中，，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【分析】根据圆的切线垂直经过切点的半径得到∠ABP=90°，由勾股定理求出AB，由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，从而根据等面积法建立方程可求出BC的长.
13．（2024九上·浙江期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】
分别利用网格线作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即圆心，再利用勾股定理计算即可．
14．（2025九上·新吴期末）写出一个以和4为根的一元二次方程　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根分别是和4，
，
，
一元二次方程为：，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可求解．
15．（2023九上·东城开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：.
【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．
16．（2023九上·椒江月考）如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 　 　．（填所有正确的序号）
【答案】①③
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①、过O点做于H点，如下图所示：
由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦，
∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值，
∴必为定值，故①正确；
②、当A、B、E三点共线时，即：时，此时，
故②错误；
③、当时，连接，，
（i）如下图，
∵，
∴，
∴，
∴；
（ii）如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，或，故③正确；
④、连接，，如下图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知，，
∴
，
∵为定值，
∴为定值，
∴为定值，
当图形变为③（ii）中的情况时，
显然，
∴不一定为定值，故④错误；
故答案为：①③．
【分析】
对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可解答．
三、解答题（共11题，共102分）
17．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
18．（2022九上·卢龙期中）解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
【答案】（1）不正确，不正确
（2）（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断；
（2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键．
（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
19．（2024九上·北京市开学考）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【知识点】解一元一次不等式组；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
解：（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
【分析】
（1）根据众数的定义：分出现的次数最多可得m的值；根据中位数的定义：共有45名学生评委给每位选手打分，每位选手打分的中位数应当是第个可得n的分组；根据算术平均数的定义计算解答即可；
（2）根据方差的公式计算并判断得，再根据方差越小越稳定，求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
20．（2024九上·枣庄月考）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）任意选择表格中两组数据，利用待定系数法先求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量可得出关于的一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式进行验证即可．
（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
21．（2024九上·北京市期中）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，求的长．
【答案】解：如下图所示，
是的直径，
点是的中点，
又，
点是的中点，
是的中位线，
，
设的半径为，
则有，
，，
，，
在中，
，
整理得：，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，设的半径为，则有，根据边之间的关系可得OD，AD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024九上·贵州期末） 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．
作法：
①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T：
②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B；
③作直线，．
所以直线，就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面证明．
证明：连接．
是的直径，
▲ （ ▲ ）（填推理的依据）．
．
又OA为的半径，
直线是的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线也是的切线．
【答案】（1）解：如图，、为所作；
（2）解：证明：连接，
∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线），
同理可证，直线也是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线结合题意进行画图即可求解；
（2）根据圆周角定理结合切线的判定即可求解。
23．（2021九上·曲阜期中）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证： ．
【答案】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴ ， 平分CD，
．
在 中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在 中
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】(1)连接OC，根据垂径定理可得CM=CD=6，再利用勾股股定理求出OC即可得到答案；
(2)连接AC，延长AF交BD于G，先证明，通过等量代换可得，再利用可得，即可得到。
24．（2024九上·瑞安期中）尺规作图问题：
如图1，弦交直径于点F，连结，，用尺规作弦，，C是直径上一点．
小蔡：如图2，以E为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，．
小通：以B为圆心，长为半径作弧，交于点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，．
小蔡：小通，你的作法有问题．
小通：哦——我明白了．
（1）求证：，．
（2）指出小通作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：，．
弦，
．
，
．
，
∴四边形为平行四边形，
（2）解：点G还可能在上，如图3，此时与相交，不满足结论．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可得到，利用圆周角定理得到，由此可证得∠FDG=∠AFD，可推出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ACGD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2）根据“以B为圆心，长为半径作弧，”作图可知点G还可能在上，此时与相交，即可求解.
（1）证明：，
．
弦，
．
，
．
，
∴四边形为平行四边形，
．
（2）解：点G还可能在上，如图3，此时与相交，不满足结论．
25．（2023九上·旌阳期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【答案】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，从而由有两个内角为60°的三角形是等边三角形可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等边三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=120°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠AOP=∠BOP=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAP和△OBP均为等边三角形，由等边三角形三边相等得到OA=AP=OB=BP，进而根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP， 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°，从而利用AAS证明△APB≌△ADC，得到BP=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
26．（2024九上·中山期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径．
（2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．
①在点G的运动过程中 ．
②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值．
③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值．
【答案】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
即
∴
∴

（2）解：①；
②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，
以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，
∴点在上，
当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合，
当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，
∴点G的路径为，
∵，O为的中点，
∴，
∴，
∴的长度为，即点G经过的路径为；
连接，在中
所以当O、C、G三点共线时取最小值为；
③解：如图，连接，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
连接，与交于点，
当点I与点重合时，此时线段最短，
∵，
∴，
即线段最小值为．
故答案为：．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【解析】【解答】（2）①证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，再求解即可；
（2）①先求出，再利用三角形的内角和求出即可；
②以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，先求出，再利用弧长公式求出的长度为，即点G经过的路径为，再求解即可；
③连接，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，先利用勾股定理OC的长，再求出即可.
（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
（2）①证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；
②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，
以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，
∴点在上，
当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合，
当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，
∴点G的路径为，
∵，O为的中点，
∴，
∴，
∴的长度为，即点G经过的路径为；
连接，在中
所以当O、C、G三点共线时取最小值为
③解：如图，连接，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
连接，与交于点，
当点I与点重合时，此时线段最短，
∵，
∴，
即线段最小值为．
故答案为：．
27．（2024九上·清远期末） 探索一个问题： "任意给定一个矩形 ， 是否存在另一个矩形 ， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 "
（1） 完成下列空格：
当已知矩形 的边长分别为 6 和 1 时， 小明是这样研究的： 设所求矩形 B 的一边是 ， 则另一边为 ， 由题意得方程： ， 化简得：
解得： 　 　， 　 　.
满足要求的矩形 存在.
小红的做法是： 设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组： 消去 化简后也得到： ， (以下同小明的做法)
（2） 如果已知矩形 的边长分别为 2 和 1 时， 请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 .
（3）在小红的做法中， 我们可以把方程组整理为： ， 此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象， 其中 和 分别表示矩形 的两边长， 直线经过点 ， 双曲线经过点 ， 请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形 的面积为　 　；周长为　 　.
②满足条件的矩形 的两边长为　 　和　 　.
【答案】（1）2；
（2）解：设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组
消去 化简后得到：2x2-3x+2=0
∵
∴不存在矩形B
（3）8；18；；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数与一次函数的交点问题；数学思想；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
∵
∴
∴
∴ 满足要求的矩形 存在
故答案为：2，
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5
反比例函数解析式为
联立方程组，整理得：x2-4.5x+4=0
∴x1+x2=4.5，x1·x2=4
∴矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4
∴这个图象所研究的矩形 的面积为8，周长为18
故答案为：8，18
②由①可得，解得：或
∴满足条件的矩形 的两边长为和
故答案为：，
【分析】（1）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）设所求矩形的两边分别是 和 ，根据题意联立方程组可得2x2-3x+2=0，解方程即可求出答案.
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为，联立方程组可得x2-4.5x+4=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=4.5，x1·x2=4，则矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4，结合题意即可求出答案.
②解方程组即可求出答案.
1 / 1苏科版数学九年级上学期期中模拟试卷一(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（2025九上·荔湾期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2024九上·石家庄期中）佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k-1=0根的情况是(　　).
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况无法判断
4．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·邹平期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2025·南沙模拟）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则BM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．（2025九上·苏州期末）圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
8．（2022九上·孝南期末）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为　 　．
9．（2024九上·杭州期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为　 　．
10．（2024九上·阜宁期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则　 　．
11．（2023九上·徐州期末）已知一组数据的极差为　 　.
12．（2024九上·台州期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则　 　cm．
13．（2024九上·浙江期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　 　．
14．（2025九上·新吴期末）写出一个以和4为根的一元二次方程　 　．
15．（2023九上·东城开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　 　．
16．（2023九上·椒江月考）如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 　 　．（填所有正确的序号）
三、解答题（共11题，共102分）
17．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
18．（2022九上·卢龙期中）解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
19．（2024九上·北京市开学考）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
20．（2024九上·枣庄月考）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
21．（2024九上·北京市期中）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，求的长．
22．（2024九上·贵州期末） 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．
作法：
①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T：
②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B；
③作直线，．
所以直线，就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面证明．
证明：连接．
是的直径，
▲ （ ▲ ）（填推理的依据）．
．
又OA为的半径，
直线是的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线也是的切线．
23．（2021九上·曲阜期中）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证： ．
24．（2024九上·瑞安期中）尺规作图问题：
如图1，弦交直径于点F，连结，，用尺规作弦，，C是直径上一点．
小蔡：如图2，以E为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，．
小通：以B为圆心，长为半径作弧，交于点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，．
小蔡：小通，你的作法有问题．
小通：哦——我明白了．
（1）求证：，．
（2）指出小通作法中存在的问题．
25．（2023九上·旌阳期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
26．（2024九上·中山期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径．
（2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．
①在点G的运动过程中 ．
②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值．
③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值．
27．（2024九上·清远期末） 探索一个问题： "任意给定一个矩形 ， 是否存在另一个矩形 ， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 "
（1） 完成下列空格：
当已知矩形 的边长分别为 6 和 1 时， 小明是这样研究的： 设所求矩形 B 的一边是 ， 则另一边为 ， 由题意得方程： ， 化简得：
解得： 　 　， 　 　.
满足要求的矩形 存在.
小红的做法是： 设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组： 消去 化简后也得到： ， (以下同小明的做法)
（2） 如果已知矩形 的边长分别为 2 和 1 时， 请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 .
（3）在小红的做法中， 我们可以把方程组整理为： ， 此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象， 其中 和 分别表示矩形 的两边长， 直线经过点 ， 双曲线经过点 ， 请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形 的面积为　 　；周长为　 　.
②满足条件的矩形 的两边长为　 　和　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
∴，
故选：D．
【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系，
∴无法确定平均数和方差，
∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数，
∴不能确定众数，
∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38，
∴中位数为38；
∴能确定这组数据的中位数，
故选B．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+(2k+1)x+k-1=0，
Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5>0
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义进行判断.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
解：①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，如图：
则点B在点B'处时，BM的值最大，理由如下：
点B是直角坐标系平面内一动点，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等边三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M点在B'C上，点B在点B'处时，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
连接OM，如图：
的半径为1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
此时，BM的最大值为；
②当B点在x轴下方时，作△OAB的外接圆，连接、，过点作于点C，延长交于点，如图：
由①可知，，，
∴，
∵，
∴BM的最大值为．
故答案为： C．
【分析】分两种情况进行讨论，即①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，则点B在点B'处时，BM的值最大，此时，BM的最大值为；②当B点在x轴下方时，结合①中所求结果，可求得此时BM的最大值为，进行比较得出答案．
7．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：作图如下：
由题意可得：OB=4，AB=6，AO⊥OB，
∴圆锥的底面圆的周长为：，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的底面求出底面圆的周长，从而得到圆锥侧面展开图形的弧长，然后利用扇形面积公式计算即可．
8．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接．
∵是⊙的切线，
∴；
∴，
∴当时，线段OP最短，
∴PQ的长最短，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线性质可得，当时，线段OP最短，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得OP，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】9°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，
∴CH=CH，CD=CB，
∴，，
∴，
∴∠DCE=∠BCG，
∵，∠DCB=90°，
∴.
故答案为：9°.
【分析】根据正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，得到，，求得，得到∠DCE=∠BCG，于是得到结论.
10．【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：72.
【分析】利用弧长公式可得，再求出n的值即可.
11．【答案】9
【知识点】极差
【解析】【解答】解：极差为：，
故答案为：9.
【分析】根据极差=最大值-最小值进行计算.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：是的直径，是的切线，
，，
在中，，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【分析】根据圆的切线垂直经过切点的半径得到∠ABP=90°，由勾股定理求出AB，由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，从而根据等面积法建立方程可求出BC的长.
13．【答案】
【知识点】圆的相关概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】
分别利用网格线作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即圆心，再利用勾股定理计算即可．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根分别是和4，
，
，
一元二次方程为：，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可求解．
15．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：.
【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．
16．【答案】①③
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①、过O点做于H点，如下图所示：
由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦，
∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值，
∴必为定值，故①正确；
②、当A、B、E三点共线时，即：时，此时，
故②错误；
③、当时，连接，，
（i）如下图，
∵，
∴，
∴，
∴；
（ii）如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，或，故③正确；
④、连接，，如下图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知，，
∴
，
∵为定值，
∴为定值，
∴为定值，
当图形变为③（ii）中的情况时，
显然，
∴不一定为定值，故④错误；
故答案为：①③．
【分析】
对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可解答．
17．【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
18．【答案】（1）不正确，不正确
（2）（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断；
（2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键．
（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
19．【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【知识点】解一元一次不等式组；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
解：（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
【分析】
（1）根据众数的定义：分出现的次数最多可得m的值；根据中位数的定义：共有45名学生评委给每位选手打分，每位选手打分的中位数应当是第个可得n的分组；根据算术平均数的定义计算解答即可；
（2）根据方差的公式计算并判断得，再根据方差越小越稳定，求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
20．【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）任意选择表格中两组数据，利用待定系数法先求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量可得出关于的一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式进行验证即可．
（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
21．【答案】解：如下图所示，
是的直径，
点是的中点，
又，
点是的中点，
是的中位线，
，
设的半径为，
则有，
，，
，，
在中，
，
整理得：，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，设的半径为，则有，根据边之间的关系可得OD，AD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，、为所作；
（2）解：证明：连接，
∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线），
同理可证，直线也是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线结合题意进行画图即可求解；
（2）根据圆周角定理结合切线的判定即可求解。
23．【答案】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴ ， 平分CD，
．
在 中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在 中
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】(1)连接OC，根据垂径定理可得CM=CD=6，再利用勾股股定理求出OC即可得到答案；
(2)连接AC，延长AF交BD于G，先证明，通过等量代换可得，再利用可得，即可得到。
24．【答案】（1）证明：，．
弦，
．
，
．
，
∴四边形为平行四边形，
（2）解：点G还可能在上，如图3，此时与相交，不满足结论．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可得到，利用圆周角定理得到，由此可证得∠FDG=∠AFD，可推出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ACGD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2）根据“以B为圆心，长为半径作弧，”作图可知点G还可能在上，此时与相交，即可求解.
（1）证明：，
．
弦，
．
，
．
，
∴四边形为平行四边形，
．
（2）解：点G还可能在上，如图3，此时与相交，不满足结论．
25．【答案】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，从而由有两个内角为60°的三角形是等边三角形可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等边三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=120°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠AOP=∠BOP=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAP和△OBP均为等边三角形，由等边三角形三边相等得到OA=AP=OB=BP，进而根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP， 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°，从而利用AAS证明△APB≌△ADC，得到BP=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
26．【答案】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
即
∴
∴

（2）解：①；
②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，
以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，
∴点在上，
当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合，
当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，
∴点G的路径为，
∵，O为的中点，
∴，
∴，
∴的长度为，即点G经过的路径为；
连接，在中
所以当O、C、G三点共线时取最小值为；
③解：如图，连接，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
连接，与交于点，
当点I与点重合时，此时线段最短，
∵，
∴，
即线段最小值为．
故答案为：．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【解析】【解答】（2）①证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，再求解即可；
（2）①先求出，再利用三角形的内角和求出即可；
②以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，先求出，再利用弧长公式求出的长度为，即点G经过的路径为，再求解即可；
③连接，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，先利用勾股定理OC的长，再求出即可.
（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
（2）①证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；
②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，
以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，
∴点在上，
当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合，
当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，
∴点G的路径为，
∵，O为的中点，
∴，
∴，
∴的长度为，即点G经过的路径为；
连接，在中
所以当O、C、G三点共线时取最小值为
③解：如图，连接，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
连接，与交于点，
当点I与点重合时，此时线段最短，
∵，
∴，
即线段最小值为．
故答案为：．
27．【答案】（1）2；
（2）解：设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组
消去 化简后得到：2x2-3x+2=0
∵
∴不存在矩形B
（3）8；18；；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数与一次函数的交点问题；数学思想；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
∵
∴
∴
∴ 满足要求的矩形 存在
故答案为：2，
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5
反比例函数解析式为
联立方程组，整理得：x2-4.5x+4=0
∴x1+x2=4.5，x1·x2=4
∴矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4
∴这个图象所研究的矩形 的面积为8，周长为18
故答案为：8，18
②由①可得，解得：或
∴满足条件的矩形 的两边长为和
故答案为：，
【分析】（1）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）设所求矩形的两边分别是 和 ，根据题意联立方程组可得2x2-3x+2=0，解方程即可求出答案.
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为，联立方程组可得x2-4.5x+4=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=4.5，x1·x2=4，则矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4，结合题意即可求出答案.
②解方程组即可求出答案.
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