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苏科版数学九年级上学期期中模拟试卷二(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（2021九上·义乌期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点
【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故答案为：C.
【分析】 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2025九下·深圳开学考）已知的半径为，则中弦的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解： 的半径为
的直径为12
中弦的长度 小于等于12
故答案为：D.
【分析】根据圆中最长的弦为直径进行求解。
3．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
4．（2025九上·慈溪期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
，
解得n=9，
经检验，n=9是原方程的解，
∴这个正多边形是正九边形，
故答案选：B.
【分析】根据正多边形的性质，可知正多边形的每条边所对的圆心角都相等，即可求解.
5．（2025·南沙模拟）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则BM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
解：①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，如图：
则点B在点B'处时，BM的值最大，理由如下：
点B是直角坐标系平面内一动点，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等边三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M点在B'C上，点B在点B'处时，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
连接OM，如图：
的半径为1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
此时，BM的最大值为；
②当B点在x轴下方时，作△OAB的外接圆，连接、，过点作于点C，延长交于点，如图：
由①可知，，，
∴，
∵，
∴BM的最大值为．
故答案为： C．
【分析】分两种情况进行讨论，即①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，则点B在点B'处时，BM的值最大，此时，BM的最大值为；②当B点在x轴下方时，结合①中所求结果，可求得此时BM的最大值为，进行比较得出答案．
6．（2024九上·宁波竞赛）已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设 则原方程可变形为 ，
设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为
∵它们在数轴上对应的四个点等距排列，
又·.
故答案为： C.
【分析】设 则原方程可变形为 0，设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，可得出， ，结合根与系数的关系可得出k值，再由根的判别式 即可确定k值，此题得解.
二、填空题（每题3分，共30分）
7．（2024九上·青岛月考）一元二次方程有一个根为1，则　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得，．
故答案为：5．
【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。
8．（2024九上·安庆开学考）体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，从而得出答案.
9．（2024九上·湖南开学考）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数单位：环及方差单位：环如表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
【答案】丁
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格知，甲、丙、丁，平均成绩较好，
而丁成绩的方差小，成绩更稳定，
所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁.
故答案为：丁.
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可.
10．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
11．（2024九上·岱岳期末）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
12．（2024九上·柯城期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为　 　．
【答案】5米
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴米，
故答案为：5米．
【分析】如图，作 于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE等于AB的一半等于3，则AE=4，再利用勾股定理求解即可．
13．（2024九上·杭州期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，分别作的垂直平分线交于点，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，可分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解．
14．（2025九上·龙马潭期末）如图，正方形ABCD内接于，点E为AB上一点，连接DE并延长，交于点F．若，，则AF的长为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】连接OA、OF、OB，如下图：
∵
∴
∵
∴△AOF是等边三角形．
∵正方形ABCD内接于
∴∠AOB=90°
∵AB=10
∴在Rt△AOB中，
∴
故答案为：
【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角与圆周角的关系，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟知同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍和等腰直角三角形三边关系为是解题关键．
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍可知：∠AOF=2∠ADF=60°，根据同圆中半径相等可知：OA=OF，再根据等边三角形的判定定理可知：△AOF是等边三角形，即AF=AO，再根据圆内接四边形的性质可知：∠AOB=90°，再根据等腰直角三角形三边关系为可知：，等量代换可得：，由此可得出答案．
15．（2024九上·开福期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
16．（2024九上·邹城期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，，故①正确；
∴，
∵点G为的中点，，
∴即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用内心定义，可判断①；
根据垂径定理的推论，可判断②；
根据三角形的内角和定理和内心定义，可判断③；
根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定，可判断④．
三、解答题（共11题，共102分）
17．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
18．（2024九上·长沙开学考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为关于的方程有两个不相等实数根，，
所以，
所以；
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
解得：或或，
因为，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可．
（1）关于的方程有两个不相等实数根，，
，
；
（2），，，
，
，
，
解得：或或，
，
．
19．（2022九上·新会期中）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】证明：（1），
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接，则
四边形是平行四边形
四边形是的内接四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由等边对等角得，由两直线平行同位角相等得，由圆周角定理可得，等量代换得，则，再应用平行四边形的概念即可；
（2）连接，由圆周角定理得，由平行四边形的对角相等得，由圆内接四边形对角互补得，则由等角的补角相等得，等量代换得，则．
20．（2025九上·钱塘期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
（3）请在图中作一个的圆周角，记为．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：如上图，即为所求．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）在弧上取一点，连接，则根据圆内接四边形的对角互补可知∠E即为所作；；
（2）作直径，连接，既有，即可得到∠COF即为所求；
（3）连接，根据圆周角定理可得∠CAF即为所作．
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：如上图，即为所求．
21．（2024九上·南昌期中）如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为．
（1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________．
（2）当t为何值时，的长度为？
（3）当t为何值时，的面积为？
【答案】（1），，
（2）解：当 时，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：
，
∴，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)，.
∴当时，的长度为．

（3）解：当时，
，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)
∴当时，的面积为．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
（1）解：根据题意，，，
综上可得：.
【分析】（1）根据路程=速度×时间可将BP、CQ用含t的代数式表示出来，再根据线段的和差“CP=BC-BP、DQ=CD-CQ”即可求解；
（2）在Rt△PCQ中，结合（1）的结论用勾股定理可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）在△PDQ中，根据面积可得关于t的方程，解方程即可求解.
（1）解：根据题意，
，
综上所述：
（2）当 时，
∵，
∴，整理得
，
解得 (不合题意，舍去)，
∴当时，的长度为．
（3）当时，
，
整理得，
解得 (不合题意，舍去)
∴当时，的面积为．
22．（2024九上·北京市开学考）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a.12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）解：∵第6和第7个数据分别为167、167，
∴中位数；
∵数据167在这组数据中出现了3次，是出现次数最多的数据，
∴众数为：；
故答案为：，
（2）甲组
（3）、
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（2）解：甲组学生身高的平均值为：，
甲组学生身高的方差为：，
乙组学生身高的平均值为：，
乙组学生身高的方差为：，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）
解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
【分析】（1）根据中位数“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，根据方差越小成绩越稳定进行比较即可求解；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
（1）解：由题意得：中位数，
众数；
（2）解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
23．（2024九上·南山期中） 如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是2和4，则方程. 是倍根方程.
（1） 若一元二次方程. 是“倍根方程”， 则c=　 　；
（2） 判断方程 是不是倍根方程 并说明理由；
（3） 若((x-2)( mx-n)=0(m≠0)是倍根方程， 求代数式 的值.
【答案】（1）2
（2）方程 不是 "倍根方程"， 理由如下：
解得， ，
方程 不是 "倍根方程"；
（3）解方程 得， .
方程两根是 2 倍关系，
或 4 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
综上， .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程是“倍根方程”，
又
∴
∴
故答案为：2；
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程，利用一元二次方程根的与系数的关系可得：，再根据方程，是“倍根方程”，可得：进而可求出c的值；
（2）先将方程进行因式分解可得进而可求出，再进行计算可得根据倍根方程的定义可作出判断.
（3）先利用因式分解法解方程可得：由方程两根是2倍关系，得到或4，分两种情况：当 时， ；当 时， ；代入式子进行计算可求出代数式 的值
24．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
25．（2023九上·青岛月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
　 入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 　　 　　 　　
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20
解：（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
【分析】（1）根据题意定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可得出， 入住的房间数量 ：60﹣； 房间价格 ：200+x； 总维护费用 ：（60﹣）×20；
（2）根据 天纯收入 每间房实际定价×入住量- 总维护费用 ，即可得出方程：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，解方程求解，并取较小值即可。
26．（2023九上·淮南月考）如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得， 即得CM=DM=BM，根据点和圆的位置关系即可判断；
（2）由垂径定理可得BD=DE，易求△ADE为等腰直角三角形，可得， 从而得出AD+BD=AB=（）BD，继而得解；
（3） 过点B作，过点A作，交于点N，连接， 先证 ， 可得， 再证，可得NE=EF， 在中，由即可求解.
27．（2020九上·江都月考）阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 年—公元 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家.在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和.
用数学文字表示为：如图1，已知四边形 内接于 ，则
任务：
（1）如图1，当 为等边三角形时， 与 有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知 为直径， ， ，求 的长；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的面积为　 　.
【答案】（1）解：
证：由题意得：
为等边三角形
即 .
（2）解： 为直径
.
.
由托勒密定理可知
.
（3）
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；数学常识
【解析】【解答】解：（3）∵ ， ， ，
∴四边形ABCD在以BD为直径的圆上
且BD= = =6
CD= = =4
∵
代入AB、CD、BC、AD、AC可得
AC=
连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，如图：
BD=6，AD=3，
，
∴
∵OC=3，AC=
∴OE= =
∴
∴
= .
故答案为：.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AD=BD，结合已知的等式可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB=∠BCD=90°，于是用勾股定理可求得BD、CD的值，再由托勒密定理可求解；
（3）由已知可得四边形ABCD在以BD为直径的圆上，用勾股定理可求得BD、CD的值，结合托勒密定理可求得AC的值，连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，由题意得=，=，用勾股定理求得OE的值，根据=可求解.
1 / 1苏科版数学九年级上学期期中模拟试卷二(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（2021九上·义乌期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点
2．（2025九下·深圳开学考）已知的半径为，则中弦的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2025九上·慈溪期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
5．（2025·南沙模拟）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则BM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·宁波竞赛）已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．（2024九上·青岛月考）一元二次方程有一个根为1，则　 　．
8．（2024九上·安庆开学考）体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为　 　分．
9．（2024九上·湖南开学考）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数单位：环及方差单位：环如表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
10．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
11．（2024九上·岱岳期末）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
12．（2024九上·柯城期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为　 　．
13．（2024九上·杭州期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是　 　．
14．（2025九上·龙马潭期末）如图，正方形ABCD内接于，点E为AB上一点，连接DE并延长，交于点F．若，，则AF的长为　 　．
15．（2024九上·开福期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　．
16．（2024九上·邹城期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号）
三、解答题（共11题，共102分）
17．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
18．（2024九上·长沙开学考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（2022九上·新会期中）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
20．（2025九上·钱塘期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
（3）请在图中作一个的圆周角，记为．
21．（2024九上·南昌期中）如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为．
（1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________．
（2）当t为何值时，的长度为？
（3）当t为何值时，的面积为？
22．（2024九上·北京市开学考）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a.12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
23．（2024九上·南山期中） 如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是2和4，则方程. 是倍根方程.
（1） 若一元二次方程. 是“倍根方程”， 则c=　 　；
（2） 判断方程 是不是倍根方程 并说明理由；
（3） 若((x-2)( mx-n)=0(m≠0)是倍根方程， 求代数式 的值.
24．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
25．（2023九上·青岛月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
　 入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 　　 　　 　　
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
26．（2023九上·淮南月考）如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
27．（2020九上·江都月考）阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 年—公元 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家.在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和.
用数学文字表示为：如图1，已知四边形 内接于 ，则
任务：
（1）如图1，当 为等边三角形时， 与 有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知 为直径， ， ，求 的长；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的面积为　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故答案为：C.
【分析】 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解： 的半径为
的直径为12
中弦的长度 小于等于12
故答案为：D.
【分析】根据圆中最长的弦为直径进行求解。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
，
解得n=9，
经检验，n=9是原方程的解，
∴这个正多边形是正九边形，
故答案选：B.
【分析】根据正多边形的性质，可知正多边形的每条边所对的圆心角都相等，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
解：①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，如图：
则点B在点B'处时，BM的值最大，理由如下：
点B是直角坐标系平面内一动点，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等边三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M点在B'C上，点B在点B'处时，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
连接OM，如图：
的半径为1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
此时，BM的最大值为；
②当B点在x轴下方时，作△OAB的外接圆，连接、，过点作于点C，延长交于点，如图：
由①可知，，，
∴，
∵，
∴BM的最大值为．
故答案为： C．
【分析】分两种情况进行讨论，即①当B点在x轴上方时，作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，则点B在点B'处时，BM的值最大，此时，BM的最大值为；②当B点在x轴下方时，结合①中所求结果，可求得此时BM的最大值为，进行比较得出答案．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设 则原方程可变形为 ，
设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为
∵它们在数轴上对应的四个点等距排列，
又·.
故答案为： C.
【分析】设 则原方程可变形为 0，设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，可得出， ，结合根与系数的关系可得出k值，再由根的判别式 即可确定k值，此题得解.
7．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得，．
故答案为：5．
【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。
8．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，从而得出答案.
9．【答案】丁
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格知，甲、丙、丁，平均成绩较好，
而丁成绩的方差小，成绩更稳定，
所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁.
故答案为：丁.
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可.
10．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
11．【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
12．【答案】5米
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴米，
故答案为：5米．
【分析】如图，作 于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE等于AB的一半等于3，则AE=4，再利用勾股定理求解即可．
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，分别作的垂直平分线交于点，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，可分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】连接OA、OF、OB，如下图：
∵
∴
∵
∴△AOF是等边三角形．
∵正方形ABCD内接于
∴∠AOB=90°
∵AB=10
∴在Rt△AOB中，
∴
故答案为：
【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角与圆周角的关系，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟知同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍和等腰直角三角形三边关系为是解题关键．
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍可知：∠AOF=2∠ADF=60°，根据同圆中半径相等可知：OA=OF，再根据等边三角形的判定定理可知：△AOF是等边三角形，即AF=AO，再根据圆内接四边形的性质可知：∠AOB=90°，再根据等腰直角三角形三边关系为可知：，等量代换可得：，由此可得出答案．
15．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
16．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，，故①正确；
∴，
∵点G为的中点，，
∴即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用内心定义，可判断①；
根据垂径定理的推论，可判断②；
根据三角形的内角和定理和内心定义，可判断③；
根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定，可判断④．
17．【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
18．【答案】（1）解：因为关于的方程有两个不相等实数根，，
所以，
所以；
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
解得：或或，
因为，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可．
（1）关于的方程有两个不相等实数根，，
，
；
（2），，，
，
，
，
解得：或或，
，
．
19．【答案】证明：（1），
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接，则
四边形是平行四边形
四边形是的内接四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由等边对等角得，由两直线平行同位角相等得，由圆周角定理可得，等量代换得，则，再应用平行四边形的概念即可；
（2）连接，由圆周角定理得，由平行四边形的对角相等得，由圆内接四边形对角互补得，则由等角的补角相等得，等量代换得，则．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：如上图，即为所求．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）在弧上取一点，连接，则根据圆内接四边形的对角互补可知∠E即为所作；；
（2）作直径，连接，既有，即可得到∠COF即为所求；
（3）连接，根据圆周角定理可得∠CAF即为所作．
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：如上图，即为所求．
21．【答案】（1），，
（2）解：当 时，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：
，
∴，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)，.
∴当时，的长度为．

（3）解：当时，
，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)
∴当时，的面积为．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
（1）解：根据题意，，，
综上可得：.
【分析】（1）根据路程=速度×时间可将BP、CQ用含t的代数式表示出来，再根据线段的和差“CP=BC-BP、DQ=CD-CQ”即可求解；
（2）在Rt△PCQ中，结合（1）的结论用勾股定理可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）在△PDQ中，根据面积可得关于t的方程，解方程即可求解.
（1）解：根据题意，
，
综上所述：
（2）当 时，
∵，
∴，整理得
，
解得 (不合题意，舍去)，
∴当时，的长度为．
（3）当时，
，
整理得，
解得 (不合题意，舍去)
∴当时，的面积为．
22．【答案】（1）解：∵第6和第7个数据分别为167、167，
∴中位数；
∵数据167在这组数据中出现了3次，是出现次数最多的数据，
∴众数为：；
故答案为：，
（2）甲组
（3）、
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（2）解：甲组学生身高的平均值为：，
甲组学生身高的方差为：，
乙组学生身高的平均值为：，
乙组学生身高的方差为：，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）
解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
【分析】（1）根据中位数“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，根据方差越小成绩越稳定进行比较即可求解；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
（1）解：由题意得：中位数，
众数；
（2）解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
23．【答案】（1）2
（2）方程 不是 "倍根方程"， 理由如下：
解得， ，
方程 不是 "倍根方程"；
（3）解方程 得， .
方程两根是 2 倍关系，
或 4 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
综上， .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程是“倍根方程”，
又
∴
∴
故答案为：2；
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程，利用一元二次方程根的与系数的关系可得：，再根据方程，是“倍根方程”，可得：进而可求出c的值；
（2）先将方程进行因式分解可得进而可求出，再进行计算可得根据倍根方程的定义可作出判断.
（3）先利用因式分解法解方程可得：由方程两根是2倍关系，得到或4，分两种情况：当 时， ；当 时， ；代入式子进行计算可求出代数式 的值
24．【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
25．【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20
解：（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
【分析】（1）根据题意定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可得出， 入住的房间数量 ：60﹣； 房间价格 ：200+x； 总维护费用 ：（60﹣）×20；
（2）根据 天纯收入 每间房实际定价×入住量- 总维护费用 ，即可得出方程：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，解方程求解，并取较小值即可。
26．【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得， 即得CM=DM=BM，根据点和圆的位置关系即可判断；
（2）由垂径定理可得BD=DE，易求△ADE为等腰直角三角形，可得， 从而得出AD+BD=AB=（）BD，继而得解；
（3） 过点B作，过点A作，交于点N，连接， 先证 ， 可得， 再证，可得NE=EF， 在中，由即可求解.
27．【答案】（1）解：
证：由题意得：
为等边三角形
即 .
（2）解： 为直径
.
.
由托勒密定理可知
.
（3）
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；数学常识
【解析】【解答】解：（3）∵ ， ， ，
∴四边形ABCD在以BD为直径的圆上
且BD= = =6
CD= = =4
∵
代入AB、CD、BC、AD、AC可得
AC=
连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，如图：
BD=6，AD=3，
，
∴
∵OC=3，AC=
∴OE= =
∴
∴
= .
故答案为：.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AD=BD，结合已知的等式可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB=∠BCD=90°，于是用勾股定理可求得BD、CD的值，再由托勒密定理可求解；
（3）由已知可得四边形ABCD在以BD为直径的圆上，用勾股定理可求得BD、CD的值，结合托勒密定理可求得AC的值，连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，由题意得=，=，用勾股定理求得OE的值，根据=可求解.
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