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1.2.5 有理数的大小比较
第一章 有理数
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
掌握有理数的两种比较大小的方法.
能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.
通过探索有理数大小的比较法则,进一步感受数形结合的思想方法.
珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.86米
吐鲁番盆地的海拔高度为-155米
哪个高呢？
-10℃、0℃、 6℃哪个温度低呢？
你是怎么比较的？
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
活动 右图给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是______℃，最高气温是______℃.
问题1 你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？
探究一：利用数轴比较有理数的大小
?4
?
+9
?
这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为：-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为：
?4,??3,??2,??1,???0,???1,???2.??
?
问题2 按照这个顺序排列的温度在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的，依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的各点的顺序是怎样的？
-3
0
-4
-2
-1
1
2
.
.
.
.
.
.
.
发现表示它们的各点的顺序是从左到右的.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
低
高
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
由这个规定可知： -6<5，-5<-4，-4<-3，-2<0，-1<1，….
-3
0
-4
-2
-1
1
2
.
.
.
.
.
.
.
在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
你在小学学过的正数及0的大小比较符合这个规定吗?
小 大
1.将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
??4，+2，?1.5，0，13，??94
?
0
1
2
3
4
?1
?2
?3
?4
-4
+2
-1.5
0
13
?
- 94
?
??4?
解：如图所示.
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
活动 用“＞”或“＜”号填空.
(1) 3 0 (2) -2.3 0 (3) 0 0.5
(4) 0 -5 (5) -1.5 1.5 (6) 4 -6
探究二：利用法则比较有理数的大小
问题1 对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系?
正数
负数
从左往右，越来越大
0
1
2
3
?1
?
?2
?
?3
?
?4
?
4
?5
?
5
?6
?
?7
?
6
7
>
>
>
<
<
<
从数轴上可以发现，表示正数的点都在原点的______，表示负数的点都在原点的______.所以，我们说：正数总______零，负数总______零，正数总______负数.
右边
左边
大于
小于
大于
正数
负数
从左往右，越来越大
0
1
2
3
?1
?
?2
?
?3
?
?4
?
4
?5
?
5
?6
?
?7
?
6
7
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
比较两个负数大小：绝对值大的反而小.
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6
?
负数：?1、?2、?3、?4、?5.
?
.
.
.
.
越向左去的点，表示的数越
.
小
越大
但它们离原点的距离呢？
绝对值
问题2 两个负数之间如何比较大小？
例：比较下列各组数的大小：
(3)?(?1)和?(＋2)；?
?
(4) ?(?0.5)和|?1.5?|.
?
(1)5和?2；?　 (2) ?3和?7；
?
解：(1)因为正数大于负数，所以5＞?2.?　
?
(2)先求绝对值，|?3|=3，?|?7|=7?.
因为 3＜7，
即 ?|?3|＜|?7|，
所以 ?3?＞?7.?　
?
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
(3)先化简， ?(?1)?=1，??(＋2)?=?2 .
因为正数大于负数，所以 1＞?2，
即 ?(?1)＞?(＋2).?　
?
例：比较下列各组数的大小：
(3)?(?1)和?(＋2)；?
?
(4) ?(?0.5)和|?1.5?|.
?
(1)5和?2；?　 (2) ?3和?7；
?
(4)先化简， ?(?0.5)?=0.5，?|?1.5?|?=1.5?.
因为 0.5＜1.5，
所以 ?(?0.5)＜|?1.5?|.?　
?
利用法则比较两个有理数的大小时，可按数的符号分类比较：
{50EDB17E-F45D-4E79-B832-454E407DA756}两数同号
同为正号，绝对值大的数大
同为负号，绝对值大的数反而小
两数异号
正数大于负数
一数为0
正数大于0
负数小于0
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
2.把有理数-3.5，-|-2|，-(+1.5)，-(-2)，|0|，313，|-3.5|用“<”连接起来.
?
解：方法一（利用数轴）在数轴上表示各点如图所示，
所以-3.5<-2<-1.5<0<2< 313?<3.5，
即-3.5<-|-2|< -(+1.5) < |0| < -(-2) < 313<|-3.5|.
?
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-2
-1.5
2
0
3.5
-3.5
-2
-1.5
2
0
313
?
3.5
方法二 (利用法则——先分类再比较有理数的大小)
因为-|-2|=-2，-(+1.5)=-1.5，-(-2)=2，|0|=0，|-3.5|=3.5，
所以正数有-(-2)， 313，|-3.5|，负数有-3.5，-|-2|，-(+1.5).
因为2< 313?<3.5，所以-(-2) < 313 <|-3.5|.
因为|-3.5|=3.5，|-2|=2，|-1.5|=1.5，且3.5>2>1.5，
所以-3.5<-2<-1.5，即-3.5<-|-2|< -(+1.5).
所以-3.5<-|-2|< -(+1.5) < |0| < -(-2) < 313<|-3.5|.
?
2.把有理数-3.5，-|-2|，-(+1.5)，-(-2)，|0|，313，|-3.5|用“<”连接起来.
?
-2
-1.5
2
0
3.5
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
有理数的大小比较
利用数轴比较有理数的大小
利用法则比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小.
2．比较－12，－13，14的大小，结果正确的是( )
A．－12＜－13＜14 B．－12＜14＜－13 C. 14＜－13＜－12 D．－13＜－12＜14
?
1．下列说法正确的是( )
A．有最小的正数，没有最小的负数
B．有最大的负数，没有最小的负数
C．有最小的正数，也有最大的负数
D．既无最大的负数，也无最小的正数
D
A
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
3. 下面四个不等式中，正确的是（ ）
A. |－2|＞|－3| B. | 2 |＞| 3 |
C. 2＞|－3| D. |－2|＜|－3|
D
4．已知a，b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．b＜－a＜a＜－b B．－a＜a＜b＜－b
C．－a＜b＜a＜－b D．b＜－a＜a＜－b
A
5.如果|a|＝4，|b|＝3，且a＞b，求a，b的值．
解：因为|a|＝4，所以a＝4或a＝－4.
因为|b|＝3，所以b＝3或b＝－3.
因为a＞b，
所以a＝4，b＝3或b＝－3.
分析：先根据绝对值的意义求出a和b的值，再借助a＞b求解a、b值
在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会近似。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，正多边形作图是一个核心概念，学生需要学会构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10??。通过角平分线作图的学习，可以培养学生的连续化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中位数的本质有助于更好地教学化。
6.如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视，在验光时，验光师通常会以“xxxD”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“-0.50D”近视 100度记录为“-1.00D”，等等.现有6位同学的验光记录如下-0.50D，-1.25D，-2.50D，-0.75D，-1.75D，-2.25D通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有几位同学需要持续佩戴眼镜?
点拨：近视度数分别为50度、125度、250度、75度、175度、225度
解：有两位同学要持续佩戴眼镜.
7．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，设点A，B，C对应的数分别为a，b，c.
(1)点C在什么位置时，a＞c＞0?
(2)点C在什么位置时，a＞c＞b?
(3)点C在什么位置时，a＞b＞c?
(4)点C在什么位置时，c＞a＞b?
点C在原点和点A之间时
点C在A，B两点之间时
点C在点B的左侧时
点C在点A的右侧时

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