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2027届高二上学期第一次阶段考考试试题
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点a(3，1，4)，则点a关于x轴对称的点的坐标为（ ）
a.(3,-1,-4) B.(1,-3,4) C.(-3,-1,-4) D.(4,-1,3)
2.若异面直线l ，l 的方向向量分别是=(0,-2,-1), =(1,0,2),设异面直线l 与l 的夹角为θ，则cosθ等于( )
B.
3.直线l 经过a(0,0), B( ,1)两点，直线l 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( )
C.1 D.
4.已知向量=(0,1,1), =(1,1,0),则向量 在向量上的投影向量为( )
A.(0,-1,-1) B. (-1,0,-1)
5.已知直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1
6.直线l过点P(1,0)与以A(2,1), B(0, )为端点的线段有公共点， 则直线l倾斜角α的范围是( )
或
7.如图 1，在三棱锥O-ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M 是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F 若 则 ( )
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x ，y ，z )且一个法向量为 的平面α的方程为 阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是( )
A.(3,1,2) B.(3,1,-2) C.(2,1,3) D.(-2,1,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知平面α的一个法向量为=(1,2,-1),点P(1,2,3)在α内, 则下列点也在α内的是( )
A.(3,6,1) B.(2,3,6) C.(0,3,4) D.(3,3,-1)
10.如图2，在棱长为2的正方体 中, E,F,G,H 分别是DD1，A B , CD, BC的中点, 则下列说法正确的有()
A. E,F,G,H四点共面
B. BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M , 使得MC1⊥平面EFG
D.在线段A1B上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值
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11.已知单位向量, , 两两的夹角均为θ(0<θ<π, 且( 若空间向量满足 ，其中x，y，z∈R则有序实数组(x，y，z)称为向量在“仿射”坐标系 Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作=(x,y,z)θ, 则下列说法正确的有( )
A.已知 则∥
B.已知 则
C.已知则
D.已知 则三棱锥O-ABC 的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若直线 ax-y=0与直线4x-ay+a-2=0平行, 则a= .
13.点A(1,2,1), B(3,3,2), C(λ+1,4,3),若 的夹角为锐角，则λ的取值范围为
14.如图3，木质正四棱锥模型P-ABCD，底面边长为 ，高为2.过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点 E,F,G,若 则 的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
已知△ABC的三顶点是A(-1,-1), B(3,1), C(1,6), 直线l平行于AB, 交AC, BC分别于 E, F, 且
E、F分别是aC、BC的中点. 求:
(1)直线AB边上的高所在直线的方程；
(2)直线l所在直线的方程.
16.(本小题15分)
已知正方体ABCD-A B C D 中，M 为棱AB上的动点.
(1)证明: 平面
(2)求A M 与BC 所成角的取值范围.
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17.(本小题15分)
如图1，在 中， D、E两点分别在AB、AC上, 使 现将△ABC沿 DE折起得到四棱锥A-BCED,在图2中
(1)求证:
(2)求直线AB与平面ACE 所成角的余弦值.
18. (本小题17分)
在长方体 中，点E，F分别在 上，且
(1)求证:
(2)当 时，求平面AEF 与平面 的夹角的正弦值.
19.(本小题17分)
对于三维向量 定义“F变换”： 其中 记
(1)若 求 及
(2)已知
(i)求p, q的值;
(ii)将 再经过m次F变换后， 最小，求m的最小值.
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