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2026届九师联盟10月联考试卷
高三数学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是
A.B.
C.D.
2.已知集合,则集合且中元素的个数是
A.B.C.D.
3.函数的定义域是
A.B.
C.D.
4.已知实数满足,则下列不等式中恒成立的是
A.B.
C.D.
5.已知函数则的值域为
A.B.
C.D.
6.已知,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.中华人民共和国国家标准(GB11533-2011)中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式(缪氏记录法,其中为被测试眼睛的视力值,为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔划宽度(单位:毫米),为被测试人到标准视力表的距离(单位:米),是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测,能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行(从下往上数).由于场地大小受限,小华在距离标准视力表4米处进行检测,若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行(从下往上数),不考虑其他因素的影响,则小华右眼的视力值为(参考数据:)
A.B.
C.D.
8.设,其中表示不超过的最大整数,例如.若,所有满足的点(a,b)组成区域的面积为,则的取值范围是
A.B.
C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知集合,则
A.B.
C.D.集合有个真子集
10.已知幂函数的图象经过点(27,9),则下列说法正确的是
A.
B.的图象关于轴对称
C.若,则或
D.当时,,若,则
11.已知函数的定义域为为偶函数,则
A.为偶函数
B.的图象关于点(1,0)对称
C.
D.若,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若,则的最小值是_____.
13.已知函数在上单调递增,则不等式的解集为_____.
14.已知函数设,若关于的不等式恰有一个整数解,则的最大值是_____.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
16.(本小题满分15分)
已知集合关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)若,求；
(2)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围.
17.(本小题满分15分)
已知奇函数的定义域为.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.
18.(本小题满分17分)
已知函数.
(1)若在上单调,求实数的取值范围；
(2)求的最大值；
(3)对,使得,求实数的取值范围.
19.(本小题满分17分)
已知函数的定义域为,对于正实数,定义集合.
(1)若,且时,,求；
(2)若,求的取值范围;
(3)若是偶函数,当时,,且对任意,均有,证明:对任意实数,函数在上至多有9个零点.
高三数学参考答案、提示及评分细则
1.命题“”是存在量词命题,其否定是“”.故选C.
2.因为,所以且,所以中元素的个数是2.故选B.
3.由,得,即,解得或,所以函数的定义域是.故选D.
4.当时,满足,但都不成立,因为在上单调递增,由,得.故选D.
5.当时,在上单调递减,在上单调递增,所以;当2时,函数在上单调递增,所以.综上所述,的值域为.故选B.
6.A因为,所以,解得,所以由可以推出;当时,,但,所以由不能推出.综上所述,“”是“”的充分不必要条件.故选A.
7.当时,,解得,小华在距离标准视力表4米处进行检测,即,代入,得.故选C.
8.当时,组成区域的面积为1,当时,组成区域的面积为1,依次类推,当时,组成区域的面积为1.当时,若,则,此时(a,b)组成区域的面积为,所以
,当且仅当,即时,等号成立,又,所以的取值范围是.故选C.
9.由题意可知,故正确；,所以,故正确；,故错误;集合中有6个元素,所以集合有个真子集,故错误.故选.
10.ABD因为函数是幂函数,所以设,因为幂函数的图象经过点(27,9),所以,所以,所以,故正确;的定义域为,对,且,所以函数是偶函数,其图象关于轴对称,故正确;因为,所以在上单调递增,由是偶函数,得,所以,即,解得,故错误;因为时,,所以,又,所以,故正确.故选ABD.
11.ACD因为,所以,两式相减,得,所以的一个周期为4,因为为偶函数,所以,所以,所以,因为,所以,所以为偶函数,故正确;因为,所以的图象关于点(1,1)对称,故错误;,故正确;因为,所以,即,所以
,
所以,又,所以,所以,故正确.故选ACD.
12.11设,则解得所以,因此的最小值是11.
13.因为函数在上单调递增,,所以,即,所以,解得,所以不等式的解集为.
14.12作出函数的图象如图所示,有,当时,令,即,因为,所以方程有两个不同的实数根,设为,且,所以的解集为,由于,则,当时,,所以0,则,由图可知的解为或,此时关于的不等式的解中至少有2个整数,不符合题意;当时,,由图象可知,当时,对应的值唯一,因为的解恰有一个整数,所以这个整数为,所以,即,此时,即的最大值是12.
15.解:(1)因为不等式的解集为,
所以方程的两根为,且.3分
所以解得.6分
(2)当时,,
若,不等式转化为,此式对一切实数都成立,满足题意;8分
若,不等式转化为,此式对一切实数不恒成立,不满足题意;10分
当时,由题意可知解得或.12分
综上所述,实数的取值范围为.13分
16.解:(1)因为关于的方程有两个不相等的实数根,
所以,解得,所以.2分
当时,,4分
所以.6分
(2)由(1)知,
因为“”是“”的必要条件,所以,即对任意的,不等式恒成立,即对任意的.9分
令,则,
当且仅当,即时,取“”.13分
所以,即实数的取值范围是.15分
17.解:(1)因为是奇函数,所以,即,化简可得,2分当时,,又的定义域为,所以对,所以,解得;4分当时,,又的定义域为,所以,但时,,所以时,的定义域不可能为,不符合题意.6分综上所述,,所以.7分
(2)由(1)知,其中,在上单调递增,在上单调递减.9分
证明如下:设,且,
则,11分
当时,,所以,即,所以在上单调递增;13分
当时,,所以,即,所以在上单调递减.15分
18.解:,对称轴为直线,2分
因为在上单调,所以或,解得或,
所以的取值范围为.4分
(2),当且仅当,即时等号成立,
所以的最大值是.8分
(3)因为,所以,又时,,所以的值域为.9分
设的值域为的值域为,
因为对,使得,即,所以.10分由(1)知的对称轴为直线,
①当,即时,在上单调递增,所以在上的值域为
因为,所以,即,解得,
又,所以满足题意的不存在;12分
②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,令中
的最大值为,所以在上的值域为,
因为,所以,即,解得,
又,所以；14分
③当,即时,在上单调递减,
所以在上的值域为,
因为,所以,即,解得,
又,所以.16分
综上所述,,即的取值范围是.17分
19.(1)解:由,得对,1分
所以.2分
(2)解:因为,所以存在实数使得,且,
当时,在上单调递增;当时,在上单调递增.
由,得,所以,3分
若,则方程无解;4分
若,则方程可以化为,5分
因为在上单调递减,在上单调递增,且当时,,当时,,当时,,所以,即的取值范围是.7分
(3)证明:对任意的,由是偶函数,得,
又,所以,
所以,因为,则,
所以,所以.
对任意的时,,则,
所以.又,则,即,
所以当时,,而为偶函数,画出函数在上的图象如
图1所示,其中,但均未知.10分
图1
首先说明,
若,则,易知此时,则,
所以,而时,,所以,与(-2,0)矛盾,所以,即.12分
令,则,
当时,若,如图2,最多有7个零点,13分
图2
图3
当时,若,如图3,有5个零点,故最多有5个零点;14分
当时,若,如图4,有5个零点,故最多有5个零点;15分
图4
图5
当时,若,则-4,0,4是的零点,
又,如图5,在区间上各有1个零点,以及-4,0,4是零点,故最多有9个零点.16分
综上所述,对任意实数,函数在上至多有9个零点.17分

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