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有理数的运算--乘方 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一 偶次方的非负性的运用
如果a是有理数，代数式的最小值是 ．
若，且，都是有理数，则 ．
若，则 ．
已知a，b是有理数，且．
(1)分别求a，b的值；
(2)借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数m，n的新运算“#”：，例如：．
①求的值；
②淇淇想利用计算探究这种新运算“#”是否具有交换律（即与的值是否相等）？请你根据（1）中a，b的值进行判断．
二 乘方的实际应用
二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　）
A．48 B．24 C．64 D．66
一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7． 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条．
8． 中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ．
9． 阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ．
10． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．
(1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数．
(2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量．
三 乘方中的规律探究
请你先计算，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（）
A．不移动 B．向左（右）移动一位
C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位
12． 观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
13． 观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数．
观察下列各式，解答问题：
；
；
；
．
用你发现的规律计算： ．
四 程序流程图与有理数计算
按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ．
小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
如图是一个数值转换机的示意图，写出运算过程并填写下表：
x 0 1 2
y 1 0
输出
(1)直接写出运算过程： ；
(2)根据数值转换机的运算，填写结果，直接填入表中．
x 0 1 2
y 1 0
输出 1
仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程）
求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？
平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算．
(1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果．
(2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序；
②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程．
五 乘方中的新定义问题
对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．12
22． 定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．44
23． 定义运算，例如，，若，则m的值为 ．
24． 阅读下列材料，解决问题．
材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：．
例如：；
材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题：
(1)______；______．
(2)求的值．
(3)若有理数p，q满足，求的值．
25． 如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空： ， ；
(2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空：
① （为正数），
②若，则 ， ．
六 算“24”点
“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）．
有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ．
有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）
答案
一 偶次方的非负性的运用
解：∵，
∴，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
解：因为，
所以，，
即，，
所以，
故答案为：9．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（1）解：∵，
∴，，
∴，．
（2）解：①根据题意可得
．
②根据题意可得
．
∵，
∴新运算“#”不具有交换律．
二 乘方的实际应用
解：
故选：B
解：根据第1次截取后，剩，
第2次截取后，剩，
第3次截取后，剩
第4次后剩下，即（米）
故选B．
解：罗列每次拉出的根数如下：
第一次，拉出2根细面条；
第二次，拉出根细面条；
第三次，拉出根细面条；
，
第次，拉出根细面条；
第十次捏合，拉出根细面条．
故答案为：64．
解：由题意，得
∴
∴
，
．
故答案为：800．
解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：8．
（1）解：1011转化为十进制数是：
；
（2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：
．
答：采集到的野果数量为个．
三 乘方中的规律探究
解：，
底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是：向左（右）移动三位，
故选：D．
解：由题意可推导一般性规律为：，
当时，
，
∴，
∵，，，，，
∴尾数是4个一循环，
∵，
∴尾数为：，
故选：C．
解：∵，，，，，，，，
∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．
∴，
故的末位数字是2，
故选：A．
解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为；
∵，
∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数，
∵第45行共有：个数，
∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数；
故答案为：82；45；88．
解：∵；
；
；
，
，
∴，
∴
．
故答案为：．
四 程序流程图与有理数计算
解：，，，
则输出结果为11；
故答案为：11．
解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，
则；
；
；
故答案为：2或7或37．
（1）解：根据题意，得，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得，，，，
故答案如下：
x 0 1 2
y 1 0
输出 1
故答案为：1，，，．
解：当输入的数是时，，相反数是，
；
当输入的数是时，
，
．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时，
得：，
若摸出球的顺序为F→E→→时，
得：，
计算结果为，
故摸球顺序为F→E→→，
故答案为：；
②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，
．
故答案为：．
五 乘方中的新定义问题
解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
解：∵，
∴，
∴，
故选： A．
解：当且时，即且，
∴，
∴，或
解得：或；
当时，即，
∴，
∴，
解得：；（不符合题意），
综上可得：或，
故答案为：1或．
（1）解：，，
故答案为：，25；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴
∴
∴
．
（1）解：依题意，得，，
，；
故答案为：2，；
（2）解：①，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：，．
六 算“24”点
A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意；
B项，，能算出结果为24，故不符合题意；
C项，，能算出结果为24，故不符合题意；
D项，，能算出结果为24，故不符合题意；
故选：A．
解：可列出算式是，
故答案为：．
解：由题意，得．
答案为：．
（1）解：①依题意，，
故答案为：9；
②依题意，，
故答案为：；
③依题意，，
故答案为：；
④依题意，，
故答案为：；
（2）解：依题意，；
．
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