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轴对称--线段的垂直平分线 重点题型梳理 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、利用线段垂直平分线的性质求解
1.如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
2.如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ．
3.如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ．
4.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ；
二、线段垂直平分线的判定定理
5.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
6.如图，四边形的对角线与相交于点，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
7.如图，已知中，，点，分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
8.如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
三、作垂直平分线（尺规作图）
9.如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）
10.要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图，和A，B两点．
(1)作的平分线；
(2)求作一点Q，使Q点在上，且．
11.如图，在中，
(1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若，的周长为15，求的周长．
12.如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
13.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？
14.如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15.如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
综合练
一、单选题
1．如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
2．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
4．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
5．如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ．
6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ．
7．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
8．如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ．
答案
一、利用线段垂直平分线的性质求解
1. 解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：85．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：13．
解：∵垂直平分，
∴．
又的周长，
即，
∴．
故答案为：．
解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
∴，
∵的周长为，
，
，
，
∴的长为；
故选：．
二、线段垂直平分线的判定定理
5. （1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
6. 据，，即可得证垂直平分．
【详解】（1）证明：在与中，
∴；
（2）∵，，
∴点、点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
（1）解： 与全等；
理由：，，
即，
在与中，
，
；
（2）解：如图：连接，
，由（1），
在的中垂线上，
，
，
在与中，
，
，
，
在的中垂线上，
垂直平分．
（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
三、作垂直平分线（尺规作图）
9. 解：如图所示，点P即为所求．
10. （1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，点即为所求．
．
（1）解：如图为所求；
（2）解：连接．
点D在的垂直平分线上，
，，
周长=
．
（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接，与交于点O，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴
∴在和中，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴．
四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
13. 解：如图，连接、
∵是的角平分线，且、，
，，
又，
，
，，
∵垂直平分，
，
，
，
，，
设，则，，
，
解得，
．
14. （1）证明：连接，
∵D是垂直平分线上的点，
∴，
∵平分，，
∴，，
在和中
∴
∴；
（2）在和中
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
综合练
一、单选题
1 解：∵，垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴；
故选C．
解：点P到点A，点B的距离相等，
点P在线段的垂直平分线上，
故选：A．
解：∵点P是的角平分线上一点，于点，于点，
∴，故选项A成立，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故选项B成立，不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，故选项C成立，不符合题意；
∵，即，
∴，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
解：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①②正确；
∴垂直平分，故③正确；
根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误；
故选：C．
二、填空题
5． 解：∵是线段的垂直平分线，
∴
∴的周长为：
．
故答案为：14．
6． 解：是的垂直平分线，
，
同理可得：，
的周长为9，
，
，
，
，
故答案为：7．
解；如图所示，连接，
∵垂直平分线段，是直线上的任意一点，
∴，
∵，
∴周长，
∵，
∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，
∴周长的最小值为，
故答案为：6．
解：连接，并延长 交 延长线于 ，
因为，
所以，
又是中点，
即，
且，
∴
则 ，
点 在 垂直平分线上，
故 ，
由 ， 是 中点，
得 ，
所以 ．
故答案为：3．
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