资源简介 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)总分第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)(时间: 4月 16 日 10:00~11:30)一、填空题(每小题 10分, 共 80分)3 5 7 91. 3 5 7 9 .4 6 8 102. 将 120名男生和 140名女生分成若干组, 要求每组中的男生数相同, 女生数也相同, 则最多可以分成 组.3. A, B两地相距 500 千米, 甲、乙两人同时骑自行车从 A地出发去 B地. 甲每天骑 30 千米, 乙每天骑 50 千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程结束时, 乙距 B地的路程是甲距 B地的路程的二倍.4. 三个牧人在一起, 甲对乙说:“如果把你的羊给我一只, 然后把我的羊总数的五分之一给你, 我们两个的羊就一样多了.”甲对丙说:“如果把你的羊给我两只, 然后把我的羊总数的七分之二给你, 我们两个的羊就一样多了. ”那么三个人羊的总数最少是 .5. 如右图, 两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形 S1, S2和一个直角三角形, 其中两个梯形的面积相差 10 平方厘米. 那么图中所示的直角三角形的边长 x= 厘米.6. 用同一种颜色对 4 4方格的 6 个格子进行涂色, 如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数(如右图). 那么共有 种涂色的图案.7. 已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标示的尺寸(单位: 厘米),这个几何体的体积是 (立方厘米)8. 不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 .- 1 -学校____________ 姓名_________ 参赛证号密 封 线 内 请 勿 答 题第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)二、解答下列各题 (每题 10分, 共 40分, 要求写出简要过程)9. 长方形 ABCD 的面积是 416 平方厘米. 梯形 AFGE的顶点 F 在 BC 上, D 是腰 EG 的中点. 试求梯形AFGE 的面积.10. 某年级一、二两个班在植树节进行植树活动, 两个班植树的总棵数相同, 都在 250~300 棵之间. 两个班都有一人不植树, 为大家送水, 一班的其他人每人植树 7棵, 二班的其他人每人植树 13棵. 求这两个班的总人数.11. 求所有满足如下条件的四位数 n: (1) n的第一位和第三位数字相同; (2) n的第二位和第四位数字相同; (3) n 的各位数字的乘积是 2n 的约数.12. 100 名运动员的编号是从 1 到 100. 若每个运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子, 那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少 三、解答下列各题(每小题 15分, 共 30分, 要求写出详细过程)13. 一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器(厚度忽略不计)盛有水,深度为 a, 其中 0 a 50 . 现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面, 问放入铁块后水深是多少 14. 在下面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相同的数字, 那么满足要求的不同算式共有多少种 - 3 -第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)一、 填空题 (每小题 10分,共 80分)题号 1 2 3 4 5 6 7 843 1000答案 27 20 15 43 4 7 17120 3二、解答下列各题 (每题 10分,共 40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 416.解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o 与△DHE 重合 ,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=△AFH的面积=2×△AFD的面积=长方形 ABCD的面积 =416(平方厘米).10. 答案:62.解答. 设一班有 x 人,二班有 y人. 则7(x 1) 13(y 1) ,所以,13| (x 1) , 7 | (y 1) . 于是x 13m 1, y 7m 1,其中 m 是自然数. 因为250 7(x 1) 13(y 1) 300 ,所以第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)250 91m 300 ,解得 m 3. 最终得到x y 13m 1 7m 1 62 .11. 答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515.解答. 设n abab 101ab . 依题(3), 有 a2b2 | n2,所以ab | n,即ab |101ab . 由于101 是质数, (ab,101) 1,故 ab | ab,即ab | (10a b),于是有a | b 且 b |10a .讨论:I. 当b a时, a2 |11a a |11. a b 1 n1 1111II. 当b 2a时, 2a 2 | 12a a | 6 i. a 1,b 2 n 1212 2ii. a 2,b 4 n3 2424iii. a 3,b 6 n4 3636III. 当b 5a时,5a2 |15a a | 3 . a 1,b 5 n5 1515.12. 答案: 3344.解答. 每一个自然数 n都可以表示成n 2r g , 其中 r 0 , g 是奇数, 是 n的最大奇因子. 现在将自然数 1~100 如下分类.0类 ( r 0 ): 1,3,5,…,99, 和为1 3 5 99 2500.1类 ( r 1): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为1 3 5 49 625.2类 ( r 2 ): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为1 3 5 25 169.3类 ( r 3): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1 3 5 11 36 .4类 ( r 4 ): 16,48,80, 奇因子之和为1 3 5 9 .第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)5类 ( r 5): 32,96, 奇因子之和为1 3 4 .6类 ( r 6 ): 64, 奇因子为 1.因此,所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.三、解答下列各题 (每小题 15分,共 30分,要求写出详细过程)13. 解答. 由题设知,水箱底面积 S 水箱=40×25=1000.水箱体积 V 水箱=1000×50=50000,铁块底面积 S 铁=10×10=100.铁块体积 V 铁=10×10×10=1000.(1)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为 50 时,1000a+1000=50000, 得 a=49.所以,当 49≤a≤50时,水深为 50(多余的水溢出).(2)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为 10 时,1000a+1000=10000, 得 a=9.a×40×25+10×10×10所以,当 9≤a<49 时,水深为 = a+1.40×25(3)由(2)知,当 0<a<9时,设水深为 x,则101000x=1000a+100x.得 x= a.910答:当 0<a<9时,水深为 a;当 9≤a<49 时,水深为 a+1;当 49≤a≤509时,水深为 50.14. 答案: 100.解答. 等式成立时有第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)1793 2011 169 49 华杯决赛 2011 160 40 1811.进而得到, 华=1, 杯=7 或 8.(1) 当杯=8 时, 共 72种情况.10决 赛 日 月 2011 1800 160 40 11.① 决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为 1, 其它为 0, 共 3 种情况.② 决=0 时, 赛+月+日=11,赛=0, 月+日=11 有 8种情形;赛=1, 月+日=10 有 9种情形;赛分别为 2,3,…9时, 对应的情形为 10,9, …,3, 计 52 种情形(2) 当杯=7 时, 共 28种情况.10决 赛 日 月 2011 1700 160 40 111.不可能有决 9的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于 30, 所以决=9. 此时赛+月+日=21,赛不能小于 3, 否则要求, 月+日大于 18.赛分别为 3,4,…9时, 对应的情形为 1, 2, …, 7, 计 28 种情形综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有 100 种. 展开更多...... 收起↑ 资源预览