第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学组试题(图片版,含答案)决赛B

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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学组试题(图片版,含答案)决赛B

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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)
总分
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B(小学组)
(时间: 4月 16 日 10:00~11:30)
一、填空题(每小题 10分, 共 80分)
3 5 7 9
1. 3 5 7 9 .
4 6 8 10
2. 将 120名男生和 140名女生分成若干组, 要求每组中的男生数相同, 女生数也
相同, 则最多可以分成 组.
3. A, B两地相距 500 千米, 甲、乙两人同时骑自行车从 A地出发去 B地. 甲每
天骑 30 千米, 乙每天骑 50 千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程
结束时, 乙距 B地的路程是甲距 B地的路程的二倍.
4. 三个牧人在一起, 甲对乙说:“如果把你的羊给我一只, 然后把我的羊总数的
五分之一给你, 我们两个的羊就一样多了.”甲对丙说:“如果把你的羊给我两
只, 然后把我的羊总数的七分之二给你, 我们两个的羊就一样多了. ”那么三
个人羊的总数最少是 .
5. 如右图, 两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度
相等的直角梯形 S1, S2和一个直角三角形, 其中两个梯形
的面积相差 10 平方厘米. 那么图中所示的直角三角形的
边长 x= 厘米.
6. 用同一种颜色对 4 4方格的 6 个格子进行涂色, 如果某列有
涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列
中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数(如右
图). 那么共有 种涂色的图案.
7. 已知某个几何体的三视图如右图,
根据图中标示的尺寸(单位: 厘米),
这个几何体的体积是 (立方厘米)
8. 不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 .
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学校____________ 姓名_________ 参赛证号
密 封 线 内 请 勿 答 题
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)
二、解答下列各题 (每题 10分, 共 40分, 要求写出简要过程)
9. 长方形 ABCD 的面积是 416 平方厘米. 梯形 AFGE
的顶点 F 在 BC 上, D 是腰 EG 的中点. 试求梯形
AFGE 的面积.
10. 某年级一、二两个班在植树节进行植树活动, 两个班植树的总棵数相同, 都
在 250~300 棵之间. 两个班都有一人不植树, 为大家送水, 一班的其他人
每人植树 7棵, 二班的其他人每人植树 13棵. 求这两个班的总人数.
11. 求所有满足如下条件的四位数 n: (1) n的第一位和第三位数字相同; (2) n的
第二位和第四位数字相同; (3) n 的各位数字的乘积是 2n 的约数.
12. 100 名运动员的编号是从 1 到 100. 若每个运动员在黑板上写下自己编号中
的最大奇因子, 那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少
三、解答下列各题(每小题 15分, 共 30分, 要求写出详细过程)
13. 一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器(厚度忽略不计)盛有水,深
度为 a, 其中 0 a 50 . 现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面, 问
放入铁块后水深是多少
14. 在下面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相同的数字, 那么满足要求的
不同算式共有多少种
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B参考答案(小学组)
一、 填空题 (每小题 10分,共 80分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
43 1000
答案 27 20 15 43 4 7 17
120 3
二、解答下列各题 (每题 10分,共 40分, 要求写出简要过程)
9. 答案: 416.
解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△
DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o 与△DHE 重合 ,
DF=DH.
梯形 AEGF 的面积
=△AFH的面积=2×△AFD的面积
=长方形 ABCD的面积 =416(平方厘米).
10. 答案:62.
解答. 设一班有 x 人,二班有 y人. 则
7(x 1) 13(y 1) ,
所以,13| (x 1) , 7 | (y 1) . 于是
x 13m 1, y 7m 1,
其中 m 是自然数. 因为
250 7(x 1) 13(y 1) 300 ,
所以
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)
250 91m 300 ,
解得 m 3. 最终得到
x y 13m 1 7m 1 62 .
11. 答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515.
解答. 设n abab 101ab . 依题(3), 有 a2b2 | n2,所以ab | n,即ab |101ab . 由于
101 是质数, (ab,101) 1,故 ab | ab,即ab | (10a b),于是有
a | b 且 b |10a .
讨论:
I. 当b a时, a2 |11a a |11. a b 1 n1 1111
II. 当b 2a时, 2a 2 | 12a a | 6
i. a 1,b 2 n 1212 2
ii. a 2,b 4 n3 2424
iii. a 3,b 6 n4 3636
III. 当b 5a时,5a2 |15a a | 3 . a 1,b 5 n5 1515.
12. 答案: 3344.
解答. 每一个自然数 n都可以表示成n 2r g , 其中 r 0 , g 是奇数, 是 n的最大
奇因子. 现在将自然数 1~100 如下分类.
0类 ( r 0 ): 1,3,5,…,99, 和为1 3 5 99 2500.
1类 ( r 1): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为1 3 5 49 625.
2类 ( r 2 ): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为1 3 5 25 169.
3类 ( r 3): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1 3 5 11 36 .
4类 ( r 4 ): 16,48,80, 奇因子之和为1 3 5 9 .
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)
5类 ( r 5): 32,96, 奇因子之和为1 3 4 .
6类 ( r 6 ): 64, 奇因子为 1.
因此,所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.
三、解答下列各题 (每小题 15分,共 30分,要求写出详细过程)
13. 解答. 由题设知,
水箱底面积 S 水箱=40×25=1000.
水箱体积 V 水箱=1000×50=50000,
铁块底面积 S 铁=10×10=100.
铁块体积 V 铁=10×10×10=1000.
(1)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为 50 时,
1000a+1000=50000, 得 a=49.
所以,当 49≤a≤50时,水深为 50(多余的水溢出).
(2)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为 10 时,
1000a+1000=10000, 得 a=9.
a×40×25+10×10×10
所以,当 9≤a<49 时,水深为 = a+1.
40×25
(3)由(2)知,当 0<a<9时,设水深为 x,则
10
1000x=1000a+100x.得 x= a.
9
10
答:当 0<a<9时,水深为 a;当 9≤a<49 时,水深为 a+1;当 49≤a≤50
9
时,水深为 50.
14. 答案: 100.
解答. 等式成立时有
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案(小学组)
1793 2011 169 49 华杯决赛 2011 160 40 1811.
进而得到, 华=1, 杯=7 或 8.
(1) 当杯=8 时, 共 72种情况.
10决 赛 日 月 2011 1800 160 40 11.
① 决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为 1, 其它为 0, 共 3 种情况.
② 决=0 时, 赛+月+日=11,
赛=0, 月+日=11 有 8种情形;
赛=1, 月+日=10 有 9种情形;
赛分别为 2,3,…9时, 对应的情形为 10,9, …,3, 计 52 种情形
(2) 当杯=7 时, 共 28种情况.
10决 赛 日 月 2011 1700 160 40 111.
不可能有决 9的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于 30, 所以决=9. 此时
赛+月+日=21,
赛不能小于 3, 否则要求, 月+日大于 18.
赛分别为 3,4,…9时, 对应的情形为 1, 2, …, 7, 计 28 种情形
综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有 100 种.

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