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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)
总分
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 D（小学组）
（时间: 4月 16 日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10分, 共 80分）
4 6 8 10
1. 3 5 7 9 = .
5 7 9 11
2. 丫丫一家 3口, 加上丫丫的表弟, 今年四人年龄之和为 95岁. 爸爸比妈妈大 4
岁, 丫丫比表弟大 3岁. 8年前, 他们的年龄之和为 65岁. 则爸爸今年_______
岁.
3. 两个非零自然数的和是 210, 它们的最小公倍数是 1547, 则它们的乘积
是 .
4. A, B两地相距 600 千米, 甲、乙两人同时骑自行车从 A地出发去 B地. 甲每
天骑 40 千米, 乙每天骑 60 千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程
结束时, 乙距 B地的路程是甲距 B地的路程的二倍.
5. 如图所示, 四边形 ABCD与四边形 CPMN
都是平行四边形, 若三角形DFP与三角形
AEF 的面积分别是 22 和 36, 则三角形
BNE 的面积为_______.
6. 某班植树节植树, 分为 3 个组, 第一组每人植树 5 棵, 第二组每人植树 4 棵,
第三组每人植树 3 棵. 已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一,
植树棵数比第一、三两组棵数之和少 72 棵, 则该班级至少有_______人.
7. 11 101 1001 10001 1000001 111的末 8 位数字依次是_______.
8. 在银行 ATM 机取钱时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作, 密码是
000000 到 999999 中某一个 6位数码. 某人取钱时忘记了密码, 只记得密码中
有 1, 3, 5, 7, 9 并且没有别的数字. 如果不限制输错密码的次数, 某人最多输
入_______次不同的密码就能进入下一步操作.
- 1 -
学校____________ 姓名_________ 参赛证号
密 封 线 内 请 勿 答 题
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)
二、解答下列各题（每题 10分, 共 40分, 要求写出简要过程）
9. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代
表相同的数字, 使得算式成立. 在所有满
足要求的算式中, 四位数华杯决赛的最大
值是多少
10. 如图所示 , AB //CE , AC // DE , 且 AB AC 5 ,
CE DE 10 . 若三角形COD的面积为 10, 求四边形
ABDE的面积.
11. 老师为自己班级的 50 名学生做了 50 张分别写着 1 到 50 的数字卡片, 每张
卡片都是一面红色, 另一面蓝色, 两面都写着相同的数字. 老师把这 50 张
卡片都蓝色朝上地摆在桌上, 对同学们说:“请你们按顺序逐个到前面来翻
卡片, 规则是: 只要卡片上的数字是你自己序号的倍数, 你就把它们都翻过
来, 蓝的就翻成红的, 红的就翻成蓝的.” 那么, 当全体学生都按老师的要
求翻完以后, 红色朝上的卡片有多少张
12. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体
的棱长最大等于多少？
三、解答下列各题（每小题 15分, 共 30分, 要求写出详细过程）
13. 2011 年 4 月 16日是星期六. 求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份.
5
14. 两个最简分数, 较大的减去较小的差是 , 两个分子的最大公约数等于两
6
个分子的差, 两个分子的最小公倍数是 1050. 求这两个最简分数.
- 3 -
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 D参考答案（小学组）
一、 填空题 (每小题 10分，共 80分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
1577
答案 27 42 10829 12 14 32 87654321 1800
3465
二、解答下列各题 (每题 10分，共 40分, 要求写出简要过程)
9. 答案: 1901
解答. 因为华杯决赛是四位数, 十六届是三位数, 兔年是两位数, 所以等式成
立时有
华杯决赛= 2011 十六届 兔年 2011 100 10 1901.
当
华杯决赛=1901, 十六届=100, 兔年=10
时题目要求的等式成立.
10. 答案: 52.5.
解答：因为AC // DE，所以 S AOE S COD .
OC S OE S S
又 COD ， AOE COD ，
CE S CDE CE S EAC S EAC
OC S
所以 EAC .
OE S CDE
因为三角形EAC在边 AC上的高和三角形CDE在边DE 上的高相等，
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）
OC S
所以 EAC
AC 1
.
OE S CDE DE 2
S
因为 COD
OC 1
, 所以 S DOE 2S COD 20 .
S DOE OE 2
S
因为 AOC
OC 1 1 1
, 所以 S AOC S AOE S . COD 5
S AOE OE 2 2 2
所以 S ACE S AOC S AOE 15 .
S AB 1
因为 AB //CE，所以 ABC ，
S ACE CE 2
1
即 S ABC S . ACE 7.5
2
所以 SABCDE S ABC S ACE S COD S DOE 52.5 .
11. 答案: 7.
解答. 每张卡片, 所写数字有几个约数就被翻过几次. 被翻了奇数次的卡片红色
面朝上, 而只有完全平方数才能有奇数个约数, 所以本题也就是求写有完全平方
数的卡片有几张, 而
1 12 22 32 42 52 62 72 50 ,
所以红色朝上的卡片共有 7 张.
12. 答案： 11厘米.
解答. 如图,
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）
球的内接正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点在球面上, 它的（体）对角线 AC1就是球
的直径, 即
AC1 2 10 20(厘米).
由图形的对称性, 可知 AA1C1 90 , A1B1C1 90 . 设正方体的棱长为a 即
AA1 A1B1 B1C1 a , 连续用勾股定理两次, 得到
AC 21 1 2a
2 , AC 2 21 AA1 AC
2 3a2 , 1 1
则
2 2 2 400 13a 20 400, a 133 .
3 3
显然, 只要一个正方体的棱长 a为整数, 满足a2 133, 那么这个正方体一定可
以放入球中, 因为 112 121 133 144 122 . 故所求的棱长为整数的正方体的
最大棱长等于 11 厘米.
三、解答下列各题 (每小题 15分，共 30分，要求写出详细过程)
13. 答案: 2004, 2032, 2060, 2088.
解答. 根据题意, 符合题意的年份必定是闰年(二月有 29 天), 并且二月一日恰好
是星期日, 所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份.
根据题意, 2011 年 4月 16 日是星期六, 可倒推得 2004 年 2月 1日是星期日.
这样可按每隔 4 7(28)年为一个周期推算, 二十一世纪符合题意的年份有 2004,
2032, 2060 和 2088 年, 共有 4个.
75 70
14. 答案: ，
34 51
am cm
解答. 设这两个最简分数为 和 , 其中:
bk dk
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）
b,d 1； （1）
a,c 1； （2）
am,bk 1； cm,dk 1 . （3）
既然m am cm , 所以有
a c 1 . （4）
又因为 am,cm 1050 1 2 3 5 5 7，并结合（4），可得到:
① c 14， a 15，m 5，此时，
75 70 5 15 14 1
，或 ； （5）
bk dk 6 bk dk 6
② c 6， a 7，m 5 5，此时，
7 5 6 5 1
； （6）
bk dk 6
③ c 5， a 6，m 5 7，此时，
6 7 5 7 1
； （7）
bk dk 6
④ c 2， a 3，m 5 5 7，此时，
3 5 7 2 5 7 1
； （8）
bk dk 6
⑤ c 1， a 2，m 3 5 5 7，此时，
2 3 5 7 3 5 7 1
. （9）
bk dk 6
上面第（6）式中，
7 5 6 5 7 6 1
5 ，
bk dk bk dk 6
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）
15 14 1
结合条件（1），必有5 k，即 k有约数 5，和（3）矛盾. 即 无解.
bk dk 6
同样，(7) ，(8) 和 (9) 中，必有 7 k , 均和（3）矛盾，即都无解.
仅考虑（5），
15 14 1 15 14 15d 14b 1 1
， ， （10)
bk dk 6 bk dk kbd kbd 6
15d 14b
根据（1），（2）和（3），应当有
b,15d 14b 1, d ,15d 14b 1，
此即意味着：
k (15d 14b) n， （11）
并且（10）变形为
1 1
，即 n,b,d 只能取 1，2，3，6.
nbd 1 2 3
由（3）和（11），可知： n,15 1, n,14 1，因此得 n 1 . 同样， b,15 1，
d ,14 1，因此可得：b 2,d 3 . 所以
bk 2 15d 14b 34， dk 3 15d 14b 51 .
75 70
这两个分数是 和 .
34 51

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