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2025-2026第一学期第一次阶段学科测试题
九年级数学科参考答案
1-5： DBDBC 6-10： CBAAD
11、 ； 12、_120 ； 13、_12 ； 14、；；
15、 .
16、解：
即
17、解：原式
，
，
或，
或2，
当时，
原式．
18、解：四边形为矩形．理由如下：
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形．
19、（1）25，20；
条形统计图如图所示：
（2）总人数为60人，众数为（2分）有27人，概率为或者；
（3）平均数为：（分，
，
因为0.58在中间，所以这道题为中档题．
20、解：（1）如图所示，线段就是所求作的角平分线；
（2）四边形是菱形．理由如下：
四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
21、解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为，
根据题意列一元二次方程得，，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
任务2：设该零件的实际售价应定为元，
由题意列一元二次方程得，，
整理得，，
解得，，
要尽可能让车企得到实惠，
，
答：该零件的实际售价应定为50元．
22. 解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）点不会在线段上，
的最小值就是初始位置时的长度，
当落在的延长线上时，，最长，
线段长度的取值范围是．
23. 解：
探究1: ,,，.
探究2：要使成立，
则，，
设长方形丙两条邻边长分别为和，
，
△，
方程无解，
不存在；
三、设长方形的两边长分别为， ,则：
，
消去得：，
△，
解得或，
，
的最小值为.2025-2026学年度第一学期第一次阶段学科测试题
九年级数学科
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个题目的指定区域内相应的位置上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.
1．以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
3．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为　　
A．6 B．4.5 C．3.5 D．3
4．若是关于的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是　　
A．2 B． C．0 D．
5．下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
6．如图，这是某小区地下车库示意图．，为入口，，，为出口，李师
傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从出口驶出的概率
为　　
A． B． C． D．
（第6题图） （第7题图）
7．如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形；②当时，它是矩形；③当时，它是正方形．其中结论正确的有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是　　
A． B．
C． D．
9．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的 的度数是　　
A． B． C． D．
10．依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再加上第2个
整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再加上第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再加上第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列3个说法：
①第8个整式为；
②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为；
③若，则第2024次操作完成后，所有整式之和为0．
其中正确的结论个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）请将各题的正确
答案写在答题卡的相应位置.
11．不等式组的解集是　 　．
12．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节、间的距离．若、间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 　 　．
13．若是方程的一个解，则代数式的值为　 　 ．
14．如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的，，是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形，若的值为6，则的值为 　 　，此时的值为 　 　．
（第14题图） （第15题图）
15．如图，已知四边形为正方形，边长为2，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．当点从点运动到点时，求的最小值为　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．请将正确答案写在答题卡的相应位置.
16．解方程：
17．先化简，再求值：，其中满足．
18．如图，已知在中，，小明同学进行了以下操作：
第一步：作出的中点；
第二步：连接并延长到，使得；
第三步：连接和．
则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置.
19．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初
三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
“小知识”
难度系数的计算公式为：，其中为难度系数，为样本平均数，为试题满分值．
《考试说明》指出：在0.7以上的题为容易题；在之间的题为中档题；在之间的题为较难题．
解答下列问题：
（1）　 　，　 　，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类
难度的试题？
20．如图，点是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图：作的平分线，交的延长线于点．
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．
21．根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率．
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
请将正确答案写在答题卡的相应位置.
22．【问题情境】：如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
23．探究不同长方形周长与面积的关系.
一、项目化情境与问题：
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长和面积分别如图1所示．
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形，是否一定存在长方形，使得成立？
二、项目支架与探究：
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得设长方形乙的长为，宽为，请你通过计算 完成图2的填空：
探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽． 若不存在，请说明理由．
三、项目成果：
长方形的长为，宽为，若一定存在长方形，使得成立，请求出的最小值．2025-2026学年度第一学期第一次阶段学科测试题
九年级数学科答题卡
班级：_________ 姓名：_________ 座号：__________ 成绩：__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座号填写在答题卷上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. __________________ 12. ___________________
13. __________________ 14. ___________________
15. __________________
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．（7分）
17．（7分）
18．（7分）
19.（9分）（1）______________，______________
（2）
（3）
20.（9分）（1）
（2）
21.（9分）
22.（13分）（1）
（2）①
②
（3）
23.（14分）二、项目支架与探究：
探究1：
探究2：
三、项目成果：

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