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2024-2025学年上海市九年级下学期初中中考模拟数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某机器吐出1500升空气记作升，则其吸入1200升空气记作（　　）
A. 升 B. 1200升 C. 升 D. 1500升
2.如果：，则下列说法中不一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　）
A. x大于0时y小于0 B. 图像不一定经过第四象限
C. 图像是倾斜直线 D. y的值随x的值增大而减小
4.假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成．现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需x天，对于列方程错误的说法是（　　）
A. 甲的工作效率为 B. 乙总共做了天
C. 列方程 D. 列方程
5.关于多边形，下列说法中正确的是（）
A. 过七边形一个顶点可以将其分割为6个三角形
B. 凸多边形的外角和随着边数增加而增加
C. 凸多边形若各边相等则为一个正多边形
D. 凸多边形的内角和不一定大于它的外角和
6.如果有三个圆分别任取一条半径都能组成一个直角三角形，则称这三个圆为一组“Right圆组”．已知在直角梯形中，，两底中，，腰．点在上，以点为圆心，作三个同心圆分别与直线相切，过点D和点C．若三个同心圆为一组“Right圆组”，则OD =（　　）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.写出一个绝对值等于自身的值的数： ．
8.记，则 ．
9.因式分解： ．
10.不等式组的解是 ．
11.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
12.方程的根为 ．
13.函数的定义域为 ．
14.某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ．
15.如图，已知四边形中，点、、分别是对角线、和边的中点．如果设，，那么向量 （用向量、表示）．
16.如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象．在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为 ．
17.在菱形中，为锐角．边上有一点，使，．沿直线翻折得到，点落在边上，且．则关于的解析式为 ．（写出定义域）
18.在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程组：
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中．
21.(本小题8分)
如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若，，的余弦值为．
(1) 求的长．
(2) 连接交边于点，求的值．
22.(本小题8分)
背景概述：现在二次元文化十分流行，许多二次元爱好者会去商店购买自己喜欢的二次元角色的周边，称作“买谷”谷，英文货物的谐音．而“买谷”的一种形式叫做“抽卡”，即购买随机款式的卡片，如果运气好能“抽”到自己想要的款式，岂不美哉．
情景：你是某家二次元周边商店的经营者，店里现在有两台抽卡设备．
使用第一台抽卡，费用元和抽卡次数次成正比例，且满足时；
使用第二台抽卡，先要缴付元的使用金额，之后每次抽卡需支付第一台机器一半的抽卡单价．
(1) 直接写出第一、二台抽卡，关于的函数解析式不写定义域)．
(2) 你在某一个时段内统计了人次使用两台抽卡设备抽卡的次数，以此来估计全店当天两台抽卡设备被使用的频率．你让助手将数据整理成表格，但是他只统计了部分数据，请帮助他填完空缺部分．
总人次∶20人次
抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上
人次 8 4 ________ 2 1 ________
频率 0.4 略 略 略 略 0.05
所有顾客都会选择在同等抽卡次数下最省钱的抽卡设备使用．请你先补充表格，之后估计出全店当天第一台抽卡设备的使用频率．
23.(本小题8分)
如图1，在中，在四边形中．连接交于点，连接交于点，满足．
(1) 求证：四边形为平行四边形．
(2) 如图2，当四边形为正方形，且在线段上时，求证：．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，有一抛物线（为常数）的顶点为点，交轴于点．
(1) 若点；
①求出点坐标．
②在抛物线对称轴上有一点，抛物线对称轴右侧图像上有一点．连接，和互补，且．求点、的坐标．
(2) 当时，向下平移抛物线，使点落在轴正半轴上点处，点平移到点处．连接，线段上有一点，过点作垂线交抛物线对称轴右侧图像于点．求的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，在中，是斜边上的中线．分别作和的外接圆、，连接、．
(1) 求证：．
(2) 当时，连接，交弦于点．假设圆和弦有交点和．
①若点和点重合，画出对应的图形，并且求和周长的比值．
②如图，令和交于点，连接，若，求的值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】（答案不唯一）
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】且
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】，由②可得：x+y=1，或x+y=﹣1，所以可得方程组或，解得：，；
所以方程组的解为：，．

20.【答案】解：
=
=．
当时，原式=．

21.【答案】【小题1】
解：∵，，，
∴，
，
又∵，
∴
∴
∵
∴
【小题2】
过点作于点H，
∴，
∴
∴①
∵在中，
代入①得：，
∴
，
∴，

22.【答案】【小题1】
解：设第一台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为（为常数，）．
把，代入，得，
解得，
∴第一台抽卡费用的函数解析式为．
∴第一台机器抽卡单价为元/次，那么第二台机器每次抽卡需支付元．
又∵使用第二台抽卡先要缴付元的使用金额，
∴第二台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为．
【小题2】
解：∵总人次为人次，抽卡次数为、、、的人次分别为、、、，
∴抽卡次数为及以上的人次为（人次），抽卡次数为的人次为（人次），
补充表格如下
总人次∶20人次
抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上
人次 8 4 4 2 1 1
频率 0.4 略 略 略 略 0.05
当时，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为时，人次都使用第一台．
当时，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为时，人次都使用第一台．
当时，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为时，人次都使用第一台．
当时，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为时，人次都使用第二台．
当时，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为时，人次使用第二台．
当时，取，第一台费用元，第二台费用元．
∵，
∴抽卡次数为及以上时，人次使用第二台．
使用第一台抽卡设备的人次为人次．
第一台抽卡设备的使用频率为．

23.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
【小题2】
证明：如图：
在正方形中
又∵
∴
∴，，
∵在正方形中，，
又∵
．

24.【答案】【小题1】
解：①∵抛物线的顶点为，
∴，，
∴，
∴抛物线解析式为，
令，则，
∴点坐标为．
②过作轴于点，过作于点，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设点，
∵和互补，且为锐角，
∴，为钝角，
∴点在顶点的上方，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
，
（），
∴，，
∵点在抛物线对称轴右侧图像上，
∴点的横坐标为，
把代入得，
∴点，
当时，，
∴点．
【小题2】
解：设点，
当时，原抛物线为，顶点，
向下平移抛物线，使点落在轴正半轴上点处，则，
当时，，
点，
∴平移后点即，
∴，，
过点作，交于，则，
∵，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴设直线为，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点，
把点代入直线为，得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
，
，
，
，
解得，
∵点在抛物线对称轴右侧图像上，
∴，
则，
，
，
，
根据式子的特点，随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴．

25.【答案】【小题1】
证明：是中线，，
，
，，
延长交于点，设、交于，则，，
，
∴四边形为矩形，
；
【小题2】
解：①作图如图所示，连接，，
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
，，
∴，，
∴（）
，，
，，
，
又，
，
等边三角形，
，
，，
∵，
，
∴，
又，
，
，
设，
，
，
在中，∵，
∴，
；
②过点作于点，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
设，
，
令、交于点，则为矩形，
，，
，，
延长交于点，连接，
，，
，
，
．

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