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2025年中考数学一轮复习二次函数专题一 线段、周长问题
1．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，C的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值；
(3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为．
①求关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围．
3．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E．
(1)若，求点D的坐标；
(2)求的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)若，求m的值；
(3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值．
7．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
8．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的周长；
(3)当的面积等于面积的时，求点D的横坐标．
9．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．
(1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标．
10．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征；
(3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值．
参考答案
1．（1）解：将代入抛物线中，
得：， 解得：，
故抛物线的解析式：．
（2）解：设BC的解析式为，把B(3，0)，C(0，-3)代入
得 解得
所以BC的解析式为
当P、C、B三点在一条直线上时，PA+PC最小，
把代入 得y=2
故
（3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：，
设，
已知，
则：；
①若，则，
得：，解得：，
②若，则，
得：，解得：；
③若，则，
得：，解得：；
当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或．
2．（1）解：把，代入得，
， 解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为，
令x=0，得y=3
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
， 解得，
∴直线 的解析式为，
∵直线，
∴可设直线的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴，
把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，，
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴点为线段的中点，
∴，
整理得，，
解得，，
∵点在第二象限时，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在同一平面直角坐标中画出函数和，如图，
当时，解得或，，
借助图象可得的解集为或，
∴当时，；当时，．
3．（1）解：把，代入，
∴， 解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为，如图，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示：
设点，则点，
则，
则
，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
此时，
∴．
4．（1）解：令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
则， 解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
∴的最大值为．
5．（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴可设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴点，
∵P在x轴下方，
∴，
设点P的横坐标是m，则，
∴，
∵，
∴，
若，
解得：或5（舍去）；
若，
解得：或（舍去）；
综上所述，或1；
（3）解：存在，
∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点C在线段的垂直平分线上，
即线段的中点的纵坐标为，
根据题意得：，
∴，
解得：．
6．（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），
当时，解得，
，
抛物线与轴相交于点，
当时，解得，
，
设直线的解析式为，
将代入中，
有，解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于点，
，
，
~
，
，
，
，
设，
则，
，
，
整理得，
，
则当时，线段有最大值为．
7．（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C点的坐标为．
将点B、C的坐标分别代入，得
， 解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．
∵，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
∵，，
∴， 解得，
∴直线的解析式为．
∵的对称轴是直线，
∴当时，，
∴点E的坐标是；
（3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．
∵，，
∴，
即．m的取值范围是．
将化成顶点式为．
∴当时，S有最大值，．
8．（1）解：将代入，
得 解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图①，由抛物线的解析式可知抛物线对称轴为直线．
∵轴，
∴点D与点C关于直线对称，
∴，
∴．
∵，
∴，
，
过点D作轴于点E，
∵，
∴，
，
∴的周长为；
（3）解：如图②，过点D作轴于点F，交于点G，
设所在直线的解析式为，
将代入得 解得
∴所在直线的解析式为，
设，则，
，
∵，
，
，，
，整理得，解得，
∴点D的横坐标为1或3．
9．（1）解：抛物线的对称轴为直线，
把代入
得， ，
故答案为：；
（2）解：连接，交对称轴于点，
∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，此时点即为所求
对于，令，则，
解得，，
点坐标为，点坐标为，
设直线的关系式为：，
把，代入
得， 解得，
直线的关系式为，
当时，，
点坐标为；
（3）解：如图，
依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大．
∵抛物线表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴的最大面积．
10．（1）解：设抛物线的函数表达式为，
将点代入，
则，即，
解得：，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点，
∴抛物线图象的对称轴为，
设有别于的抛物线的表达式为，
∵抛物线的函数表达式为，
∴，
∴有别于的抛物线的表达式可以为或，
它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点；
（3）解：∵是平行于x轴的直线，直线与抛物线交于E，F两点，
∴轴，
联立，则，
∵，
∴，即，
设为方程的两个实数根，
，
，
∵线段的长度为5，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴（符合题意）．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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