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北京市师达中学2025-2026学年度第一学期阶段练习
初 三 数 学 2025.10
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
2．将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线是
（A） （B） （C） （D）
3．将函数化为顶点式，结果是
（A） （B） （C） （D）
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是
（A）25° （B）35° （C）15° （D）20°
在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有
顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是
（A）点M （B）点N （C）点P （D）点Q
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°后得到△ADE（点B、C的对应点分别是点D、点E）,连接BD.若∠DBC＝15°，则∠BDE的大小是
（A）95° （B）85° （C）75° （D）65°
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
7．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是
（A）x≤2 （B）x≤0 （C）-3≤x≤0 （D）x≤-3或x≥0
8．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：米）与足球被踢出后经过的时间x（单位：秒）近似满足函数关系．下表记录了3个时刻的数据，其中．
x 3 6 9
y 3 5 m
可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻x是
（A） （B） （C） （D）
二、选择题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ．
10．如图，点，，在⊙上．若，则的度数为 ．
11．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：________．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝5，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为_______．
13．如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 　 　．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，若四边形ABCO为平行四边形，则∠AOC=__________．
15．二次函数（a≠0）图象如图所示，则ab___0，b2－4ac___0（填“＞”“＜”或“＝”）．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区 投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．
P，A，B，C之间的距离(单位：km)如图所示．
（1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的 距离为________km；
（2）小明骑行的最短距离为________km.
三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21题每题4分；第19题、第22- 24题，每题5分；第20、25、26每题6分；第27、28题，每题7分）
17．解方程：（1）． （2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．已知是方程的一个根，求代数式的值．
19．关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
20．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x ... -3 -2 -1 0 1 ...
y=ax2+bx+c ... 4 4 m ...
根据以上列表，回答下面问题：
（1）直接写出c，m的值；
（2）求此二次函数的解析式．
（3）直接写出当时，y的取值范围.
21．已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且．
作法：
①分别以A，B圆心，长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵，
∴△OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，M在上，
∴（ 　 ① 　）（填推理的依据）．
∴．
∵四边形内接于，
∴（ 　 ② 　）（填推理的依据）．
∴．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△ADE，AD交BC于点F．若AE=3，求AF的长．
23．列方程解应用题：
某地区计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，温室的长是宽的4倍，左侧是3米宽的空地，其它三侧各有1米宽的通道，矩形蔬菜种植区域的面积为288平方米．求温室的长与宽各为多少米？
24．摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：m），部分数据如下：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为_____m，转盘的半径约为_____m；
②此摩天轮转一圈所用时间为_____min；
③若当座舱A距离地面的高度为10 m时，座舱B距离地面的高度是50 m，则至少经过_____min（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
如图在以为直径的⊙中，弦于点H，与弦AE交于点F，连接BE，已知CD=8，AH=2．
（1）求⊙的半径；
（2）若，求的长．
26．平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点M和N
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若对于 ，，都有，求m的取值范围；
（3）若对于 ，，都有，求证：
27．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，P为线段BC上的动点（不与点C重合）．将线段AP 绕点A顺时针旋转α得到线段AQ.
（1）如图1，当P是BC中点时，连接BQ，求证：BP=BQ；
（2）过点Q作直线QM∥AC，交直线BC于点M，在射线MB上取一点N，使得MN=2CP，连 接QN．请补全图2，直接写出∠MQN的大小并证明．
图1 图2
28．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x=3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x=3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB=1， 其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵 坐标yB的取值范围．

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