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15.4 二次根式的混合运算
第2课时 分母有理化相关的计算
第十五章 二次根式
冀教版2024 八年级上册
导入●新课
前面我们学习了分母有理化，思考：什么是分母有理化？怎样做到分母有理化呢？.
把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.
要想将分母有理化，其实质是将分子、分母同乘一个适当的数(式)，使分母转化为 的形式．
1
2
进一步熟练二次根式的混合运算（重点）
进一步掌握分母有理化.（重点）
学习●目标
新知●探究
做一做
计算：(1)????+????????????? (2)(?????????????)????
?
(1)原式 =?????????????????=?????????=????．
?
(2)原式 =(????????)?????????×????????×????+????????
=?????????????????????+????????
=????????????????????? .
?
观察思考：可以利用什么公式将式子中的根号化掉的？
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
?
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
典例●精析
例3 计算下列各式:
观察思考：利用什么公式将分母中的根号化掉的？
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
二次根式的计算要求，分母中不能含有二次根式。
分母构造平方差公式
解：
分母构造平方差公式
【名师点睛】分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
典例●精析
例3 计算下列各式:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
新知●探究
总结归纳
分母有理化：
把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.
分母有理化的常用方法：
（3）利用平方差公式将分子、分母同乘一个与分母相同的因式；
（4）逆用平方差公式，约去分子、分母中的相同因式.
（1）利用 将分子、分母同乘一个与分母相同的因式；
（2）利用 将被开方数中的分子、分母同乘一个 与分母相同的因式；
典例●精析
例4 计算：已知 ????=????+???? ， ????=????????? ，
?
(1)分别求 ????+????、x-y和 xy的值。(2)分别求?????????????????和 ????????+????????的值。
?
解：（1）因为 ????=????+???? ， ????=????????? ，
所以 ????+????=????+????+?????????=???????? ，
?????????=????+??????????????=???????? ．
xy=????+?????????????=????
?
(2) ?????????????????=????+?????????????=????????×????????=???????? ．
?
????????+????????=????????+????????????????=????+?????????????????????????????=?????????????????×?????????=???????? ．
?
新知●探究
用整体代入法求代数式值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x－y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy,x－y, 等式子，再代入求值.
总结归纳
基础巩固题
新知●应用
A
1. 若 x 为实数，在“( ???? ＋1)□ x ”的“□”中填一种运算符号(在“＋”“－”“×”或“÷”中选择)后其运算的结果为有理数，则 x 不可能是(　C　)
?
A. ???? ＋1
B. ???? －1
C. 2 ????
D. 1－ ????
C
分母有理化：
基础巩固题
新知●应用
A
B
分母有理化：
分子有理化：
基础巩固题
新知●应用
5.把 ＋ 进行化简，得到的最简结果是________(结果保留根号)．
6.设 则a b(填“> ”“ < ” 或“= ”).
=
基础巩固题
新知●应用
7.计算下列各式：
基础巩固题
新知●应用
8.化简下列各式：
解：原式
解：原式
基础巩固题
新知●应用
9.已知 ，求 的值.
解：
新知●应用
能力提升题
10. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
新知●应用
能力提升题
②
解：(1)①
新知●应用
能力提升题
11.理解与运用
［问题情境］ 在解决问题“已知 ????=????????????? ，求代数式 ?????????????????????????? 的值”
时，小明是这样分析与解答的：
因为 ????=?????????????=????+?????????????????+????=????+???? ，
所以 ?????????=???? .
所以 ?????????????=???? ，即 ?????????????????+????=???? .
所以 ?????????????????=???? .
所以 ?????????????????????=???? .
所以 ??????????????????????????=???? ．
?
［问题解决］ 请根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简： ????????????? ．
?
（2）若 ????=????????+???????? ，求 ?????????????????????????+???? 的值．
?
新知●应用
能力提升题
（1）化简： ????????????? ．
?
解： ?????????????=????????+?????????????????+????
=????????+?????????????
?=????+???? .
?
（2）若 ????=????????+???????? ，求 ?????????????????????????+???? 的值．
?
解：因为 ????=????????+????????=?????????????????+?????????????????????
=??????????????????????=????????????? ，
所以 ?????????=????????? ．
所以 ?????????????=???? ，
即 ?????????????????+????=???? ．
所以 ??????????????????=?????．
所以 ?????????????????????????=????? ．
故 ?????????????????????????+????=?????+????=????? ．
?
课堂●小结
二次根式的混合运算
加减乘除法则
分母有理化
乘除公式

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