资源简介 天津市第一中学 2026 届高三上学期 9 月月考数学试卷一、单选题:本题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合 = | 1 < < 3 , = 2, 1,0,2,4 ,则 R ∩ = ( ).A. 2, 1,4 B. 1,2 C. 2,4 D. 2.设 ∈ π π,则“ 12 < 12”是“sin <12”的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若函数 = ( )的大致图象如图所示,则 ( )的解析式可能是( )A. ( ) = | | 1 B. ( ) = 1 | | C. ( ) = 2 1 D. ( ) = 1 24.化简 2log43 + log83 log32 + log92 的值为( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 61 0.75 1.已知 = 20.7, = 3 , = log2 3,则( )A. > > B. > > C. > > D. > > 6.已知 sin cos = sin cos ,则角 所在的区间可能是( ).A. 0, B. , 3 3 4 4 2 C. 2 , 4 D. 4 , 7.函数 ( ) = 0.3 的零点所在区间是( )A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)8.设函数 ( ) = sin + π3 , ( > 0)在区间 0, π 恰有三个极值点 两个零点,则 的取值范围是( )A. 5 13 5 19 13 8 13 193 , 6 B. 3 , 6 C. 6 , 3 D. 6 , 69.设[x]表示不大于 1的最大整数,如[2.5] = 2,[1] = 1,若正数 满足 ln + 20 + ln +2 320 + ln + 20 + + ln + 1920 = 4,则[10 ] =( )A. 10 B. 11 C. 12 D. 13第 1页,共 10页二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。10.已知( )2 = 2 ,其中 是虚数单位,那么实数 = .11 2 16. 展开式中的常数项为 .12.已知 ( ) = sin( + )( > 0, π < < π) 5π,在 12 ,π π12 上单调递增,且 = 12为它的一条对称轴,π , 0 π3 是它的一个对称中心,当 ∈ 0, 2 , ( )的最小值为 .13 π π.已知 中, = 1, = 2, 3sin + 6 = sin 3 ,若∠ 的平分线交 于点 ,则 的长为 .14.已知函数 ( ) = ( 1)| + 1| 1 的图象与直线 = ( + 3) 有三个交点,则实数 的取值范围是 .15.已知正实数 , 满足对任意实数 均有 cos2 cos ≥ 2,则 2 + 的最大值为三、解答题:本题共 5 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本小题 15 分)在 中,角 , , 的对边分别为 , , .已知 sin = 3 cos , 2 = 1, = 7.(1)求 的值;(2)求 的值;(3)求 sin( + 2 )的值.17.(本小题 15 分)如图,在四棱锥 中,底面 为矩形, ⊥平面 , = 4, = = 2,点 在线段 上,且 = 34 .(1)求证: ⊥平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.18.(本小题 15 分)第 2页,共 10页 : 2+ 2已知椭圆 4 2 = 1 的左顶点 与上顶点 的距离为 6.(1)求椭圆 的方程和焦点的坐标;(2)点 在椭圆 上,且 点不在 轴上,线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ,若 为等边三角形,求点的 横坐标.19.(本小题 15 分)设 是等差数列, 是各项均为正数的等比数列, 1 = 1 = 3 2 = 4 3 = 1.(1)求数列 与 的通项公式; (2) 的前 项和为 ,求证:2 = 1;(3)求 =1 +1.20.(本小题 15 分)已知函数 ( ) = ( + )ln , ( ) = + sin + ln .(1)若 = 1,求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程;(2)当 > 1 时, ( ) > 2( 1)恒成立,求实数 的取值范围;(3)设 0 < < 1, < 0 2 ,若存在 1, 2 ∈ (0, + ∞),使得 1 = 2 1 ≠ 2 .证明: 1 + 2 > +1.第 3页,共 10页参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 111.15.12. 3213.2314. 4, 7 12 ∪ 2 , + ∞15.2 + 2 316.(1)已知 sin = 3 cos ,由正弦定理sin = sin ,得 sin = sin = 3 cos ,显然 cos ≠ 0,得 tan = 3,由 0 < < π,故 = π3;(2)由(1)知 cos = 12,且 = 2 + 1, = 7,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,则 7 = 2 + (2 + 1)2 2 × 12 (2 + 1) = 3 2 + 3 + 1,解得 = 1( = 2 舍去),故 = 3;(3) 3由正弦定理sin = sin ,且 = 1, = 7, sin = 2 ,得 sin = sin =2114 ,且 > ,则 为锐角,第 4页,共 10页故 cos = 514 7,故 sin2 = 2sin cos =5 314 ,2且 cos2 = 1 2sin2 = 1 2 × 21 1114 = 14;故 sin( + 2 ) = sin cos2 + cos sin2 = 3 × 11 + 1 × 5 3 4 32 14 2 14 = 7 .17.(1)证明:∵ ⊥ 3平面 , 平面 ,∴ ⊥ ,∵ = 4, = 4 .∴ = 3 = 1 , ,∴ = = 2,∴ Rt ∽ Rt ,所以∠ = ∠ ,又∠ + ∠ = 90°,所以∠ + ∠ = 90°,∴ ⊥ ,∴ ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ,∴ ⊥平面 .(2) ∵ ⊥平面 , 平面 , 平面 ,∴ ⊥ , ⊥ ,∵ 为矩形, ⊥ ,∴ , , 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), (0,4,0), (0,0,2), (2,3,0),