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第1章 二次函数 2025-2026学年 初中数学九年级上册单元测验（浙教版）
时间：120分钟，满分：100分
姓名： 学号： 班级： 分数：
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(共8题；共16分)
1．（2分）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）对于抛物线，下列判断正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．当时 D．对称轴为直线
3．（2分）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
4．（2分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
5．（2分）二次函数与x轴交点为，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2分）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为
A． B．
C． D．
7．（2分）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
8．（2分）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共8题；共16分)
9．（2分）抛物线y＝2x2－4x＋1的顶点是　 　．
10．（2分） 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：　 　.
11．（2分）二次函数的图象开口方向是　 　（填“向上”或“向下”）．
12．（2分）当时，二次函数的最大值为8，则　 　.
13．（2分）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是　 　．
14．（2分） 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为　 　．
15．（2分） 如图，在 Rt△ABO 中，AB⊥OB，且 AB =OB=3，设直线x=t截此三角形所得的涂色部分的面积为S，则S 与t 之间的函数表达式为 　 　(写出自变量的取值范围).
16．（2分） 如图，在相距 2m 的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高 1.1m 的小妹距较近的那棵树 0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　m.
三、解答题(共6题；共88分)
17．（12分）已知二次函数y=-x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）.
（1）（6分）求b，c的值.
（2）（6分）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
18．（12分）如图，现打算用60m的离笆围成一个“日"字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为39m）（离笆的宽度忽略不计）
（1）（6分）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由：
（2）（6分）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值.
19．（12分）如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为．
（1）（6分）求关于的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）（6分）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由．
20．（18分）已知二次函数．
（1）（6分）化成顶点式；
（2）（6分）二次函数的值可以取到吗？说明理由；
（3）（6分）求出抛物线与轴、轴交点坐标．
21．（18分）已知二次函数．
（1）（6分）若点（3，2）向上平移1个单位，向左平移m个单位（m＞0）个单位长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值．
（2）（12分）已知该函数图象经过，，，两个不同的点．
①当，，且时，求的取值．
②当，时，求证：．
22．（16分）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】
任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
答案
1． A
2． D
3． C
4． A
5． D
6． A
7． D
8． C
9． (1，-1)
10． y=x2+1(答案不唯一)
11． 向上
12．
13． 4
14．
15．
16． 0.6
17． （1）解：将(3，0)，(0，3)代入二次函数解析式得：
解得：
（2）解：二次函数解析式为
则顶点坐标为 (1，4).对称轴直线x=1
18． （1）解：设AB的长为 ，则BC的长为(60-3x)，
根据题意得：(60-3)=252，
解得=6或=14，
当=6时，BC=60-18=42>39，舍去；
当=14时，BC=60-42=18<39，满足题意，
∴花园面积可能是 此时边AB长为14；
（2）解：设AB的长为 ，菜园面积为
由题意得：2
∴当x<10时，y随x的增大而增大，
∴当x=8时，y最大，最大值为288.
答：该菜园面积的最大值为288平方米.
19． （1）解：设的长度为，四边形的面积为．
∴
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴
（2）解：∵，
∴当时，即时，有最小值，最小值为
答：时，四边形的面积有最小值．
20． （1）解：
（2）解：不能，最小值-14
（3）解：
21． （1）解：m=6或m=2
（2）解：①②用增减性证明，分类讨论
22． 解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：

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