资源简介 四川省广元市川师大万达中学 2026 届高三上学期第二次检测数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.方程log2 + 2 = 0 的实根个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 32.若命题 : ∈ , 2 + 2 + 2 ≤ 0,则命题 的否定是( )A. ∈ , 2 + 2 + 2 > 0 B. ∈ , 2 + 2 + 2 < 0C. ∈ , 2 + 2 + 2 > 0 D. ∈ , 2 + 2 + 2 ≤ 03.已知2 = 5, log83 = ,则4 3 =( )A. 25 B. 5 C. 259 D.53 4.函数 ( ) = e e 2 的图象大致为( )A. B. C. D.5.已知函数 ( ) = e + ,则满足 ( ) > (2 1)的 的取值范围是( )A. ( ∞, 1) B. ( ∞,1) C. ( 1, + ∞) D. (1, + ∞)6.已知函数 ( ) = ( )2在 = 1 处取得极大值,则 的值是( )A. 1 B. 1 或 3 C. 3 D. 47.已知函数 ( ) = 2,则 ( )的最小值为( )A. 0 B. 2 C. 2 2 D. 38.已知定义在 R 上的连续函数 ( )的导函数为 ( ),则下列说法错.误.的是( )A.若 ( )关于( , 0)中心对称,则 ( )关于 = 对称B.若 ( )关于 = 对称,则 ( )有对称中心C.若 ( )为周期函数,则 ( )为周期函数D.若 ( + 1)为奇函数, ( 1)为偶函数,则 ( )周期为 2二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9 1.已知实数 、 、 满足:2 = 3 = log2 ,则下列关系可能成立的是( )第 1页,共 8页A. < < B. < < C. < < D. < < 2 4 +310 1.已知函数 ( ) = 2 + ,则下列叙述正确的是( )A.当 = 0, = 1 时,函数 ( ) 1的图象过点 4 , 2B.当 = 1 时,函数 ( )的单调递增区间为(2, + ∞)C.当 = = 1 时,函数 ( )的值域为(1,3]D.当 = 0 时,若函数 ( )有最大值 2,则 = 111.已知 ′( )是函数 ( )的导函数, ( ) ( ) = 0,且对于任意的 ∈ (0, π2 )满足 ′( )cos + ( )sin > 0,则下列不等式一定成立的是( )A. 32 12 < π cos 1 B. π < 66 2 6 2 π4C. ( 1) < 2 π4 cos1 D.2 π2 4 < π3三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.已知集合 = ∣ 3 ≤ ≤ 4 , = ∣2 1 ≤ ≤ + 1 ,且 ,则实数 的取值范围是 .13 1.若函数 ( ) = + ln 的图象上存在与 轴平行的切线,则实数 的取值范围是 .14 1.函数 ( ) = ln + 3 22 ( 1) ( > 0),若 ( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立,则 的取值范围是 .四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 2 = + 2 cos .(1)求 ;(2) 3 3若 的周长为 9,面积为 4 ,求 .16.(本小题 15 分)1已知 2 = 6 , +1 + 3 +1 = .(1)求{ }的通项公式;(2) 令 = , 为 的前 1 1 1 1项之积,求证: +1 1 +1 2 + + + < ln( + 1).2 3 3 17.(本小题 15 分)第 2页,共 8页如图 1, // , ⊥ ,且 = = 12 = 2, 是 中点,沿 将 折起到 的位置(如图 2),使得∠ = 120°.(1)求证:面 ⊥面 ;(2)若线段 5 上存在一点 ,使得平面 与平面 夹角的余弦值是 5 ,求 的值.18.(本小题 17 分) 2 2已知双曲线 与双曲线 : 6 3 = 1 有共同的渐近线.(1)若 经过抛物线 = 2 + 8 14 的顶点,求双曲线 的方程;(2)若双曲线 的两个焦点分别为 1, 2,点 为 上的一点,且 1 = 2 + 10,求双曲线 的方程.19.(本小题 17 分)如果曲线 = ( )存在相互垂直的两条切线,称函数 = ( )是“正交函数”.已知 ( ) = 2 + + 2ln ,设曲线 = ( )在点 0, 0 处的切线为 1.(1)当 = 8, 0 = 8 时,是否存在直线 2满足 1 ⊥ 2,且 2与曲线 = ( )相切?请说明理由;(2)如果函数 = ( )是“正交函数”,求满足要求的实数 的集合 ;(3)若对任意 ∈ [ 5, 4),曲线 = ( )都不存在与 1垂直的切线 2,求 0的取值范围.第 3页,共 8页参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.[ 1, + ∞)13.( ∞, 2]14. 0, 23 ( + 1)15.(1)在 中,由 2 = + 2 cos 及正弦定理得 2sin = sin + 2sin cos ,则 sin + 2sin cos = 2sin( + ) = 2sin cos + 2cos sin ,因此 2cos sin = sin 1,而 sin > 0,则 cos = 2,又 ∈ (0, π),所以 = π3.(2)由(1) 1 3及已知得 = 2 sin = 4 =3 34 ,解得 = 3,由 + + = 9,得 + = 9 ,由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ,则 2 = (9 )2 9,所以 = 4.16.(1)由 +1 + 3 +1 = ,又由题意知, ≠ 0,1 1左右同时除以 +1得 + 3 = , +11 1所以 = 3, 1 1 2= ,则 1 = , +1 6 3第 4页,共 8页1故 是以 3 为首项,3 为公差的等差数列, 1所以 = 3 + 3( 1),可得 =1; 3 (2)令函数 ( ) = ln + 1, 0 < < 1,求导得 ′( ) = 1 1 > 0, ( )在 0, 1 上单调递增, ( ) < (1) = 0,即 ln < 1,取 = +1 , ∈ N ,则 ln 1 1 +1 < +1 1 = +1,于是 +1 < ln +1 ,由(1)知, = +1 2 3 +1 , = 1 · 2 · · = + 1,1 1 +1 = ( +1)( +1) < +1 < ln = ln( + 1) ln ,1 1 1 1所以 + + + + < ln( + 1) ln1 = ln( + 1).1 1 2 2 3 3 17.(1)因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ,所以 ⊥平面 ,又 平面 ,所以平面 ⊥平面 .(2) ∵面 ⊥面 ,面 ∩面 = ,故以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,在平面 内过 点作 的垂线所在直线为 轴,建立空间直角坐标系 .∴ (0,0,0), (2,0,0), (0, 1, 3), (0,2,0), (2,2,0),∴ = 0, 1, 3 , = 0,3, 3 , = (2,2,0),则平面 的一个法向量 = (2,0,0),设 = (0 ≤ ≤ 1),则 = (0,3 , 3 ),∴ = + = (0,3 1, 3 3 ),设面 的一个法向量为 = ( , , ),第 5页,共 8页