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上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期综合练习（3）
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是的倍数，事件：点数是下列每对事件中，不是互斥事件的为( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为、、、，则直线与所成角的大小不可能为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知，则方程的实数根个数不可能为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.设全集，若集合，则 ．
6.不等式的解集为 ．
7.已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
8.若圆柱的底面半径与高均为，则其侧面积为 ．
9.若正数满足，则的最小值为 ．
10.设为虚数单位，若复数满足，则 ．
11.从校高一年级学生中抽取名学生测量他们的身高，其中最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为，且第一组下限为，则组数为 ．
12.已知函数为奇函数，则 ．
13.在正四面体中，点是的中心，若，则 ．
14.已知是双曲线的左右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于若双曲线的离心率为，则 ．
15.已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点为空间一点，满足且，则最大值为 ．
16.已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得若，则满足条件的数列的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数，其中．
求证：是奇函数；
若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽．
设，试将表示为的函数；
求的最小值，并说明此最小值的实际意义．
20.本小题分
双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与右支在轴上方交于点．
若，点的坐标为，求的值；
若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值；
设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立．
21.本小题分
设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移．
设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由；
设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移；
设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移．
参考答案
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14.
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16.
17.【详解】证明：连接，在正方体中，是的中点，
所以是的中点，且，即，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面．
过作，交于，连接，
在正方体中，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以是直线与平面所成的角．
由题意，设，则，
，所以，
所以在，，
故直线与平面所成角的大小是．

18.【详解】函数的定义域为，
在中任取一个实数，都有，并且．
因此，是奇函数．
等价于即在上有解．
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为．

19.，．
，．
设，，则
所以，，此时．
任取、，且，，
因为、，且，所以，，
故，即在时是减函数，所以
最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为．

20.【详解】依题意，将，代入中，
解得，则；

依题意知，可设直线，代入中，
整理得：，
如图，因，故点的横坐标为恰是方程的解，
则，
整理得：，即，
因是等比数列，则，代入此式，可得，即得，
因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值；

如图，因点在双曲线右支上，则，即，
故由可得，
又因点直线与左支的交点，故，则，
在中，设，由余弦定理，，
因为，所以，
所以，
故当且仅当满足时，存在直线，使得成立．

21.【详解】由零点为极值点为，
由于，所以极值点既不左偏移，也不右偏移．
因为，其中且，
因此在内的零点为和．
而，，
因此在内的极值点为．
此时，
而，由于，
因为，所以，即，
则函数在上的极值点右偏移得证．
先考虑有两个零点，此时．
设，则，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
而当时，时，
所以结合图像，
有两解时，的取值范围是，此时的两个零点．
再考虑极值点，，
当时，有解，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
因此有唯一极值点，并且．
要证明，即证明，因为，所以，
又因为在上单调递减，
所以只需要证明，
又因为，所以只需要证明，
构造
，由于，
则，
即在区间上单调递减，且，即在上恒有，
则，
所以原不等式得证，
因此函数在上的极值点左偏移．
解法二：由，
可得．
欲证，即证，即证．
，
不妨设，令，
于是，
此时即证：当时，．
令，求导并整理，得，
因此函数在区间上单调递增，
其值域为，而，
因此当时，，即，
从而得证，即函数在上的极值点左偏移．

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