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江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 舞阳县期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称汉字，下面4个汉字中，可以看作是轴对称汉字的是（　　）
A．美 B．丽 C．校 D．园
2．（2分）（2024秋 赛罕区校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，下列结论：①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③AA′∥BB′；④△ABC≌△A′B′C′中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2分）（2024秋 青山区校级月考）已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝1，，c＝2 D．a：b：c＝3：4：5
4．（2分）（2022秋 高港区校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，线段AD是△ABC的角平分线，将△ADC沿AD翻折得到△ADE，则∠ECB的度数为（　　）
A．50° B．40° C．20° D．25°
5．（2分）（2024春 昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是（　　）
A．9cm≤l≤12cm B．5cm≤l≤8cm
C．5cm＜l＜9cm D．12cm≤l≤20cm
6．（2分）（2023 呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）如图，停放自行车时要放下支架，自行车之所以能停放稳定，是因为由前轮与地面的接触点、后轮与地面的接触点、支架与地面的接触点构成了三角形支撑面．其中蕴含的数学道理是 　 　 ．
8．（2分）（2023秋 新沂市校级月考）如图，若∠1＝∠2，若根据AAS，加上条件 　 　 ，则有△AOC≌△BOC．
9．（2分）（2022秋 安乡县期中）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为7，那么腰长是 　 　 ．
10．（2分）（2023秋 思明区校级期中）∵BC＝BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上． 　 　 （填推理的依据）
11．（2分）（2024秋 管城区校级月考）如图所示，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为 　 　 ．
12．（2分）（2025春 江油市期中）如果等腰三角形的腰长为5，高为4，那么该等腰三角形的底边长为 　 　 ．
13．（2分）（2024秋 公安县期中）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为　 　 ．
14．（2分）（2025春 成都期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落到点E处，若DE∥AC，则∠ADE的度数为 　 　 ．
15．（2分）（2021秋 道里区校级期末）如图，AB＝AC＝CD，CD⊥AB于E，BD⊥BC于B，BC＝4，则△BCD的面积是 　 　 ．
16．（2分）（2023秋 香洲区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有 　 　 ．（请填序号）
①△ACD≌△CBF；
②∠BDM＝∠ADC；
③连接AF，则有△ACF是等边三角形；
④连接DF，则有AB垂直平分DF．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（6分）（2022秋 大丰区期中）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，OC＝OD，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．
18．（6分）（2025春 中原区校级期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C均在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A1和A对应，B1和B对应，C1和C对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上作点P，使PB+PC的值最小．
19．（6分）（2024 荔城区校级开学）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个三角形ADC后，测得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
20．（6分）（2025春 海淀区校级月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长．
21．（6分）（2022秋 盐都区期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，BD＝CE，DF⊥BE于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若∠AEB＝66°，求∠C的度数．
22．（6分）（2024秋 张店区校级月考）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）
（1）如图1，作∠BAC的角平分线AM．
（2）如图1，点E为∠BAC边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等．
（3）如图2，连接BE，用尺规求作△DMN，使MN＝AB，∠M＝∠A，∠N＝∠B．
23．（6分）（2025 三河市一模）观察下列等式：
第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2
第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2
第3个等式
第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2
．．．．．． ．．．．．．
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　 　 ＝（n2+1）2．
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
24．（8分）（2024春 和平区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BE＝7.5cm，DF＝2.4cm，求CF的长．
25．（8分）（2024秋 惠城区期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，A（5，2），点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．
①如图3，当∠CBA＝90°时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
26．（10分）（2024春 江北区校级月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点．
（1）如图1，若，，求BD的长；
（2）如图2，将DC绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，DE交BC于点M．连接EB并延长交CD延长线于点F．求证：；
（3）如图3，，将△ABC沿BC翻折，得到△A′BC，点D、N分别是AB和A′C上的两个动点，在运动过程中，始终保持AD＝A′N，过点A作直线DN的垂线，垂足为G．连接CG，在线段CG上取一点Q，使得，直接写出当AQ取得最小值时△AGQ的面积．
江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 舞阳县期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称汉字，下面4个汉字中，可以看作是轴对称汉字的是（　　）
A．美 B．丽 C．校 D．园
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念求解如下：
A、是轴对称汉字，故合题意；
B、不是轴对称汉字，故不合题意；
C、不是轴对称汉字，故不合题意；
D、不是轴对称汉字，故不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，汉字两部分折叠后可重合．
2．（2分）（2024秋 赛罕区校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，下列结论：①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③AA′∥BB′；④△ABC≌△A′B′C′中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，
【解答】解：由题意可知：OB＝OB′，AA′∥BB′，△ABC≌△A′B′C′，故②③④正确，
∴AB＝A′B′，故①正确；
综上可知：①②③④正确，共4个，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．
3．（2分）（2024秋 青山区校级月考）已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝1，，c＝2 D．a：b：c＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故B选项符合题意；
C、∵a＝1，，c＝2，
∴a2+b2＝4＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（2分）（2022秋 高港区校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，线段AD是△ABC的角平分线，将△ADC沿AD翻折得到△ADE，则∠ECB的度数为（　　）
A．50° B．40° C．20° D．25°
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出∠BAC＝50°，再根据折叠的性质得出Rt△ADE≌Rt△ADC，则AE＝AC，证明点E在AB上，最后根据等边对等角得出∠ACE＝65°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵△ADC沿AD翻折得到△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC，
∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴点E在AB上，
∴，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣65°＝25°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°；折叠前后对应边相等，对应角相等；以及等腰三角形“等边对等角”．
5．（2分）（2024春 昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是（　　）
A．9cm≤l≤12cm B．5cm≤l≤8cm
C．5cm＜l＜9cm D．12cm≤l≤20cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20﹣15＝5（cm）；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为20﹣12＝8（cm），
即铅笔在笔筒外面最长不超过8cm，
所以这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是5cm≤l≤8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．
6．（2分）（2023 呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据三角函数求出AB：AC的值，再根据三角形的面积公式求出BE：CE的值，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴AB：AC＝sinC＝1：2，
由题意得：AP平分∠BAC，
∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，
∴S△BDE：S△CDE＝1：2，
故选：A．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）如图，停放自行车时要放下支架，自行车之所以能停放稳定，是因为由前轮与地面的接触点、后轮与地面的接触点、支架与地面的接触点构成了三角形支撑面．其中蕴含的数学道理是 　三角形具有稳定定性　 ．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】三角形具有稳定定性．
【分析】根据三角形的稳定性解决问题．
【解答】解：其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定定性．
故答案为：三角形具有稳定定性．
【点评】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
8．（2分）（2023秋 新沂市校级月考）如图，若∠1＝∠2，若根据AAS，加上条件 　∠A＝∠B　 ，则有△AOC≌△BOC．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∠A＝∠B．
【分析】根据全等三角形的判定方法AAS，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠B，∠1＝∠2，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（AAS），
故答案为：∠A＝∠B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法AAS是解题的关键．
9．（2分）（2022秋 安乡县期中）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为7，那么腰长是 　7或4　 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】7或4．
【分析】由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【解答】解：①当等腰三角形的底长为7时，腰长＝（15﹣7）÷2＝4；
则等腰三角形的三边长为7、4、4；能构成三角形．
②当等腰三角形的腰长为7时，底长＝15﹣2×7＝1；
则等腰三角形的三边长为7、7、1，亦能构成三角形．
故等腰三角形腰长为7或4．
故答案为：7或4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
10．（2分）（2023秋 思明区校级期中）∵BC＝BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上． 　到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　 （填推理的依据）
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可．
【解答】解：∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．（2分）（2024秋 管城区校级月考）如图所示，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为 　2　 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据正方形A边长的平方+正方形B边长的平方＝正方形E边长的平方解答即可．
【解答】解：如图：
由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，
∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，
∴S正方形A+4＝9﹣3，
∴S正方形A＝2．
故答案为：2．
【点评】本题侧重考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．（2分）（2025春 江油市期中）如果等腰三角形的腰长为5，高为4，那么该等腰三角形的底边长为 　6或2或4　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】6或2或4．
【分析】分三种情况：等腰三角形的底边的高或腰上的高都有可能是4，由此即可解决问题．
【解答】解：如图1，AB＝AC＝5，AD是△ABC的高，AD＝4，
∵AB＝AC＝5，AD是△ABC的高，
∴BC＝2BD，∠ADB＝90°，
∴BD3，
∴BC＝2BD＝6；
如图2，AB＝AC＝5，BH是△ABC的高，BH＝4，
∵∠AHB＝90°，
∴AH3，
∴CH＝AC﹣AH＝5﹣3＝2，
∴BC2；
如图3，AB＝AC＝5，BM是△ABC的高，MB＝4，
∵∠AMB＝90°，
∴AM3，
∴CM＝AM+AC＝5+3＝8，
∴BC4，
∴该等腰三角形的底边长为6或2或4．
故答案为：6或2或4．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键是要分三种情况讨论．
13．（2分）（2024秋 公安县期中）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为　3或4.8　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3或4.8．
【分析】根据题意，先列出AP，AQ的代数式，当△APQ为直角三角形时，则∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝12cm，AC＝10cm，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，
∴BP＝2t cm，AQ＝t cm，
∴AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，
∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°，
∴当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，
∴，
∴，
解得t＝3；
当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，
∴，
∴，
解得t＝4.8，
综上，当t的值为3秒或4.8秒时，△APQ为直角三角形，
故答案为：3或4.8．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14．（2分）（2025春 成都期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落到点E处，若DE∥AC，则∠ADE的度数为 　105°　 ．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】105°．
【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠B＝40°，∠BAD＝∠EAD，∠ADE＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CAE＝∠E＝40°，求出∠BAD＝35°，由三角形内角和定理求出∠ADB＝105°，即可得到∠ADE的度数．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
由折叠的性质得到：∠E＝∠B＝40°，∠BAD＝∠EAD，∠ADE＝∠ADB，
∵DE∥AC，
∴∠CAE＝∠E＝40°，
∴∠BAD（∠BAC﹣∠CAE）（110°﹣40°）＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝105°，
∴∠ADE＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质得到∠E＝∠B，∠BAD＝∠EAD，∠ADE＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CAE＝∠E＝40°．
15．（2分）（2021秋 道里区校级期末）如图，AB＝AC＝CD，CD⊥AB于E，BD⊥BC于B，BC＝4，则△BCD的面积是 　4　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BHBC＝2，根据全等三角形的性质得到BD＝BH＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴BHBC＝2，
∵BD⊥BC，
∴AH∥BD，
∴∠DBA＝∠BAH，
∵CD⊥AB，
∴∠D+∠DBE＝∠DBE+∠CBE＝90°，
∴∠D＝∠ABH，
在△BDC与△HBA中，
，
∴△BDC≌△HBA（AAS），
∴BD＝BH＝2，
∴S△BCDBC BD2×4＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．（2分）（2023秋 香洲区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有 　①②④　 ．（请填序号）
①△ACD≌△CBF；
②∠BDM＝∠ADC；
③连接AF，则有△ACF是等边三角形；
④连接DF，则有AB垂直平分DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】①②④．
【分析】①根据ASA证明△ACD≌△CBF即可；
②证明△BDM≌△BFM（SAS），得出∠F＝∠BDM，即可证明∠BDM＝∠ADC；
③根据△ACD≌△CBF，得出AD＝CF，根据AC＜AD，得出AC＜CF，证明△ACF不可能是等边三角形；
④根据△BDM≌△BFM，得出BD＝BF，MD＝MF，说明点M、B在线段DF的垂直平分线上，证明AB垂直平分DF．
【解答】解：①∵CE⊥AD，BF⊥BC，
∴∠ACD＝∠AEC＝∠CBF＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝∠CAE+∠ACE＝90，
∴∠CAE＝∠DCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBF（ASA），故①正确；
②∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∵∠CBF＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣45°＝45°，
∵D为BC中点，
∴CD＝BD，
∵△ACD≌△CBF，
∴BF＝CD，∠F＝∠ADC，
∴BD＝BF，
∵BM＝BM，
∴△BDM≌△BFM（SAS），
∴∠F＝∠BDM，
∴∠BDM＝∠ADC，故②正确；
③∵△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
∵在Rt△ACD中AC＜AD，
∴AC＜CF，
∴△ACF不可能是等边三角形，故③错误；
④∵△BDM≌△BFM，
∴BD＝BF，MD＝MF，
∴点M、B在线段DF的垂直平分线上，
∴AB垂直平分DF，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△BDM≌△BFM．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（6分）（2022秋 大丰区期中）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，OC＝OD，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】利用AAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△AOC≌△BOD是解题的关键．
18．（6分）（2025春 中原区校级期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C均在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A1和A对应，B1和B对应，C1和C对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上作点P，使PB+PC的值最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）连接BC1，交直线l于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为6﹣2﹣1＝3．
（3）如图，连接BC1，交直线l于点P，连接PC，
此时PB+PC＝PB+PC1＝BC1，为最小值，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．（6分）（2024 荔城区校级开学）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个三角形ADC后，测得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）直角三角形，理由如下：
∵BC＝6，AB＝6.5，∠ACB＝90°，
∴，
∵AD＝2，CD＝1.5，
∴22+1.52＝6.25＝2.52，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）6平方米．
【分析】（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC＝2.5，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；
（2）由S阴影部分＝S△ABC﹣S△ACD，结合三角形面积公式解答．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
∵BC＝6，AB＝6.5，∠ACB＝90°，
∴，
∵AD＝2，CD＝1.5，
∴22+1.52＝6.25＝2.52，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S△ACD
＝6（平方米）．
【点评】本题考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理及其逆定理是解题的关键．
20．（6分）（2025春 海淀区校级月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）运用勾股定理可得：AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，即可证得结论；
（2）如图2，过点D作DM⊥BE，交EB的延长线于点M，利用勾股定理可得AC＝3，再证得△ABC≌△DBM（AAS），得出MD＝AC＝3，BM＝BC＝4，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，垂足为O，如图1，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：如图2，过点D作DM⊥BE，交EB的延长线于点M，
则∠BMD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC3，
∵△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠ABD＝90°，BE＝BC＝4，BD＝BA，
∴∠CBM＝180°﹣∠CBE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝90°，
∵∠DBM+∠ABM＝90°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，
∴△ABC≌△DBM（AAS），
∴MD＝AC＝3，BM＝BC＝4，
∴ME＝BE+BM＝448，
在Rt△BMD中，DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
21．（6分）（2022秋 盐都区期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，BD＝CE，DF⊥BE于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若∠AEB＝66°，求∠C的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）44°．
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形斜边中线的性质得到DE＝CE，进而得到BD＝DE，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠DBE＝∠DEB，∠C＝∠CDE，设∠DBE＝∠DEB＝α，由三角形的外角定理得到∠C＝∠CDE＝2α，由三角形的外角定理得到
α+2α＝66°，求出α即可得的答案．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是边AC上的中线，
∴DE＝AE＝CEAC，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE，
∵DF⊥BE，
∴BF＝EF；
（2）解：∵BF＝EF，
∴∠DBE＝∠DEB，
设∠DBE＝∠DEB＝α，
∴∠CDE＝∠DBE+∠DEB＝2α，
∵DE＝CE，
∴∠C＝∠CDE＝2α，
∵∠AEB＝∠DBE+∠C，
∴α+2α＝66°，
∴α＝22°，
∴∠C＝44°．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理，根据直角三角形斜边中线的性质得到DE＝CE是解决问题的关键．
22．（6分）（2024秋 张店区校级月考）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）
（1）如图1，作∠BAC的角平分线AM．
（2）如图1，点E为∠BAC边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等．
（3）如图2，连接BE，用尺规求作△DMN，使MN＝AB，∠M＝∠A，∠N＝∠B．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）根据角平分线的作法作∠BAC的角平分线即可；
（2）作线段AE的垂直平分线与AM的交点即为所求；
（3）先作MN＝AB，再作∠PMN＝∠A，然后作∠MNQ＝∠B，MP与NQ交于点D，△DMN即为所求．
【解答】解：（1）AM即为所求．如图：
（2）F即为所求．如图：
（3）△DMN即为所求．如图：
【点评】本题主要考查了尺规作图，作角平分线，作垂直平分线，作三角形，解决问题的关键是熟练掌握基本图形的作法．
23．（6分）（2025 三河市一模）观察下列等式：
第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2
第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2
第3个等式
第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2
．．．．．． ．．．．．．
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　（n2﹣1）2+（2n）2　 ＝（n2+1）2．
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
【考点】勾股数；有理数的加减混合运算；规律型：数字的变化类；三角形的面积．
【专题】规律型；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）42+1；（2）（n2﹣1）2+（2n）2；（3）336．
【分析】（1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案；
（2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案；
（3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边2n＝14，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【解答】解：（1）补充上述表格，（42﹣1）2+82＝（42+1）2，
故答案为：42+1；
（2）规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
故答案为：（n2﹣1）2+（2n）2；
（3）由规律（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，则存在以n2﹣1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形，
∴当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得2n＝14，解得n＝7，
∴直角三角形的另一个直角边是48，
则这个直角三角形的面积为．
【点评】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键．
24．（8分）（2024春 和平区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BE＝7.5cm，DF＝2.4cm，求CF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）5.1cm．
【分析】（1）利用线段中点的定义得到AD＝AE，再证明△ABE≌△ACD得到BE＝CD；
（2）由（1）的结论得到CD＝BE＝7.5cm，然后计算CD﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴ADAB，AEAC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：∵CD＝BE＝7.5cm，
∴CF＝CD﹣DF＝7.5﹣2.4＝5.1（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25．（8分）（2024秋 惠城区期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，A（5，2），点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．
①如图3，当∠CBA＝90°时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）0.9cm；
（3）①（0，5）；②（0，4），（0，10），．
【分析】（1）因为AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，所以∠DAC＝∠BCE，因为AC＝BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB作答．
（2）因为∠ACB＝90°，BE⊥CE，得∠CBE＝∠ACD，因为AC＝BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB，再运用全等三角形的性质，即可作答．
（3）①过点B作BE⊥y轴，过点A作AD⊥EB的延长线，易得∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，通过AAS证明△ADB≌△BEC，再设点B的坐标为（a，a），C（0，b），根据AD＝EB，CE＝BD，进行列式作答即可；②分类讨论，当∠ABC＝90°，∠BAC＝90°，和∠ACB＝90°分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，
∴∠D＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，
即∠DAC＝∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠E＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
则AD＝CE＝3.2cm，CD＝BE，
∵DE＝2.3cm，
∴CD＝CE﹣DE＝（3.2﹣2.3）cm＝0.9cm，
即BE＝0.9cm；
（3）①过点B作BE⊥y轴，过点A作AD⊥EB的延长线，如图：
因为∠ABC＝90°，过点A作AD⊥EB的延长线，
∴∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，
∵过点B作BE⊥y轴，
∴∠CEB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD＝EB，CE＝BD，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CE＝BD，A（5，2），
∴2﹣a＝a，b﹣a＝5﹣a，
解得a＝1，b＝5，
故点C的坐标为（0，5）；
②∠ABC＝90°，AB＝BC，过点B作BE⊥y轴，过点A作射线AF∥x轴，且过点B作DB⊥AD，如图：
易知∠EBD＝90°，
因为∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵过点B作BE⊥y轴，过点B作DB⊥AD，
∴∠CEB＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BD＝EB，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，BD＝EB，A（5，2），
∴a﹣5＝b﹣a，a﹣2＝a，
此时a无解，
当∠BAC＝90°，AC＝BA，过点A作直线l∥x轴，与y轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，如图：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴5＝a﹣2，b﹣2＝a﹣5，
解得a＝7，b＝4，
故点C的坐标为（0，4）；
当∠BAC＝90°，AC＝BA，过点A作直线l∥y轴，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CD⊥l于点D，如图：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a+5，5＝2﹣a，
解得a＝﹣3，b＝10，
故点C的坐标为（0，10）；
当∠ACB＝90°时，AC＝BC，过点C作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于点E，过点A作AD⊥l于点D，如图：
∵∠ACB＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BCE，
即∠DCA＝∠BCE，
∵AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，CD＝BE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a，5＝b﹣a，
解得，
故点C的坐标为；
综上，其他符合条件的C点的坐标为（0，4），（0，10），．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．
26．（10分）（2024春 江北区校级月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点．
（1）如图1，若，，求BD的长；
（2）如图2，将DC绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，DE交BC于点M．连接EB并延长交CD延长线于点F．求证：；
（3）如图3，，将△ABC沿BC翻折，得到△A′BC，点D、N分别是AB和A′C上的两个动点，在运动过程中，始终保持AD＝A′N，过点A作直线DN的垂线，垂足为G．连接CG，在线段CG上取一点Q，使得，直接写出当AQ取得最小值时△AGQ的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）BD＝3；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）先解直角三角形求出AB＝AC＝4，再利用勾股定理求出AD，进而可得BD的长；
（2）作DH∥BC交AC于H，可得△ADH是等腰直角三角形，求出BD＝HC，∠BDE＝∠HCD，证明△BDE≌△HCD（SAS），得到，∠E＝∠HDC，再证明△FDE≌△MDC（ASA），根据全等三角形的性质，等量代换得到答案；
（3）由翻折得四边形ABA′C是正方形，根据AD＝A′N可知GN过正方形ABA′C两条对角线的交点，由已知可得点G在以AP为直径的⊙O上运动，点Q在如图3的⊙O'上运动，且O′在CO上与BC相切，，则OG∥O′Q，S△AGQ＝S△AOQ，然后求出⊙O'的半径，进而可计算出MO′，AO′和AQ的长，再证明△AHQ∽△AMO′，利用相似三角形的性质求出HQ，最后根据列式计算即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3；
（2）证明：如图2，作DH∥BC交AC于H，
∴∠ADH＝∠ABC＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AH，，
∴BD＝HC，
由旋转得：DE＝DC，∠CDE＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵∠HCD+∠ADC＝90°，
∴∠BDE＝∠HCD，
∴△BDE≌△HCD（SAS），
∴，∠E＝∠HDC，
∵DH∥BC，
∴∠HDC＝∠DCM，
∴∠E＝∠DCM，
∵∠CDE＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠CDM＝∠EDF，
又∵DE＝DC，
∴△FDE≌△MDC（ASA），
∴，
（3）解：由翻折得：AB＝A′B＝AC＝A′C，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABA′C是正方形，
∵在运动过程中，始终保持AD＝A′N，
∴GN过正方形ABA′C两条对角线的交点，
如图3，连接AA′与BC交于点P，则GN过点P，
∵AG⊥DN，
∴点G在以AP为直径的⊙O上运动，
∵，
∴点Q在如图的⊙O'上运动，且O′在CO上与BC相切，，
∴当点A、Q、O′共线时，AQ取得最小值，
∴，
∴OG∥O′Q，
∴S△AGQ＝S△AOQ，
∵，
∴，
∴OA＝OP＝4，
∴，，
∴，
作O′K⊥PC于K，O′M⊥AP于M，QH⊥AP于H，则四边形O′MPK是矩形，
∴MP＝O′K＝OQ＝1，
∴，
∴MO′＝PK＝6，
∴AM＝AP﹣MP＝7，
∴，
∴，
∵HQ∥MO′，
∴△AHQ∽△AMO′，
∴，即，
∴，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质，正方形的判定和性质，圆的基本性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，能够灵活运用相关性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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