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江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 洮北区校级月考）下列各组中的两个图形是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2023春 耿马县期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为x cm，则x的最小值是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．13
3．（2分）（2024春 济宁期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2分）（2024春 滨城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE＝（　　）
A．25° B．22° C．15° D．12°
5．（2分）（2024春 碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，若CD＝4，则点D到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2分）（2023秋 宜宾期末）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②∠BDE＝∠BAC；③当∠B＝30°时，点E是AB的中点；④当BC＝3，AB＝5时，DE；其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2025 台江区模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中∠α的度数是 　 　 °．
8．（2分）（2025春 金水区期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件 　 　 ，使得△ABC≌△ADE．
9．（2分）（2023秋 椒江区校级期中）用直尺和圆规作一个已知角的角平分线．示意图如图，要说明∠AOC＝∠BOC，需要证明△CON和△COM全等，则这两个三角形全等的依据是 　 　 ．
10．（2分）（2023秋 静安区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是 　 　 ．
11．（2分）（2023秋 沙市区期中）如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝24，AC＝12，则△AMN的周长是 　 　 ．
12．（2分）（2022秋 青羊区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点D为斜边AB上一点，且∠ADC＝45°，以CD为边、点D为直角顶点作Rt△CDP，点M为CP的中点，连接MB，则MB的最小值为 　 　 ．
13．（2分）（2022秋 市北区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为 　 　 ．
14．（2分）（2024秋 双流区期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　 　 ．
15．（2分）（2023春 宿州月考）如图，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点D，A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动时间为t（0＜t≤4）s，当t＝　 　 s时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
16．（2分）（2024 灞桥区校级模拟）如图，矩形ABCD顶点坐标分别为A（0，0）、B（﹣10，0）、C（﹣10，5），在线段AC和AB上各有一个动点E、F，当BE+EF的值最小时，点E的坐标为 　 　 ．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（5分）（2024秋 永康市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．”
小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
18．（6分）（2024 香洲区校级开学）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OA＝OD．
19．（5分）（2024秋 阎良区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（3，3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）
（2）在（1）的条件下，直接写出点D的坐标．
20．（6分）（2024春 阜南县期末）根据背景素材，探索解决问题．
测量风筝离地面的垂直高度（CD）
背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”
操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5米 备注：点A，B，C，D在同一平面内
问题解决
任务一 根据手中余线长度，计算出AC的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度CD．
任务二 若想要风筝沿射线DC方向再上升12米，请问能否成功？
21．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，求证：AB＝AC．
22．（6分）（2024 长沙一模）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若AC＝3，CE＝5，BD的长是偶数，则BD长为 　 　 ．
23．（6分）（2024春 凉州区期中）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的四个顶点都在格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）画格点E，并连接AE，使AE＝AB，且AE⊥AB；
（2）在线段DC上找一点F，连接AF，使∠BAF＝45°；
24．（9分）（2025 碑林区模拟）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点D在边AB上，过点D作直线l⊥BC，点B与点E关于直线l对称，作CE的垂直平分线m交AC于点F，连接DF．若BD＝4，则△ADF的面积为　 　 ．
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝45°，小明想在△ABC内找一点D，使得点D到A，B，C三点的距离相等，小明进行了2次折叠操作．
第1次：沿着直线m翻折，使得点B与点C重合，展开后，标记折痕m与BC交于点E；
第2次：沿着过点E的直线n翻折，使得点C落在直线m上，点C的对应点为点D．点D到点A，B，C的距离相等吗？请说明理由．
25．（8分）（2024秋 雁塔区校级期末）如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α．
（1）∠ACE＝　 　 （用含α的式子表示），∠F＝　 　 ；
（2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长．
26．（11分）（2023 宝山区校级模拟）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，点P是△ABC形内一点，PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
（1）当E为AC中点时，设PE＝x，PD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当PD＝PE＝PF时，求∠EDF的度数；
（3）当△DEF与△ACB相似时，求△DEF的面积．
江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 洮北区校级月考）下列各组中的两个图形是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】C
【分析】利用全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；
C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意；
D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．（2分）（2023春 耿马县期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为x cm，则x的最小值是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．13
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】分析可知，当铅笔如图放置时x最小，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可得到答案．
【解答】解：当铅笔如图放置时x最小．
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152，
∴AC＝15，
∴x＝20﹣15＝5．
∴x的最小值是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．
3．（2分）（2024春 济宁期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形对应边相等得到BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，则BD＝BC+CD＝14．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，
∴BD＝BC+CD＝14，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
4．（2分）（2024春 滨城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE＝（　　）
A．25° B．22° C．15° D．12°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先由等边对等角得到∠B＝30°，同理得到∠BDE＝75°，再由三线合一定理得到∠ADB＝90°，据此可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵BD＝BE，
∴，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝15°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
5．（2分）（2024春 碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，若CD＝4，则点D到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE＝CD＝4，则点D到AB的距离为4．
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD为∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴点D到AB的距离为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
6．（2分）（2023秋 宜宾期末）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②∠BDE＝∠BAC；③当∠B＝30°时，点E是AB的中点；④当BC＝3，AB＝5时，DE；其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，余角性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理，三角形的面积，由角平分线的性质可判断①；由余角性质可判断②；由等腰三角形的性质可判断③；由S△ACD+S△ABD＝S△ABC可判断④；掌握角平分线的性质是解题的关键．
【解答】解：①∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝ED，故①正确；
②∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠B+∠BDE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，故②正确；
③当∠B＝30°时，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
又∵DE⊥AB，
∴BD＝AE，
即点E是AB的中点，故③正确；
④∵BC＝3，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∴，
∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，
∴，
∵CD＝ED，
∴，
解得，故④正确；
∴结论正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质及勾股定理．掌握角平分线性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2025 台江区模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中∠α的度数是 　36　 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】36．
【分析】由多边形的外角和是360°，得到等腰三角形的底角72°，由三角形内角和定理即可求出∠α的度数．
【解答】解：∵等腰三角形的底角72°，
∴∠α＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，正多边形的性质，关键是由多边形的外角和是360°，求出等腰三角形底角的度数．
8．（2分）（2025春 金水区期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件 　BC＝DE（答案不唯一）　 ，使得△ABC≌△ADE．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】BC＝DE（答案不唯一）．
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】解：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS）．
∴添加一个条件BC＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△ADE．
故答案为：BC＝DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
9．（2分）（2023秋 椒江区校级期中）用直尺和圆规作一个已知角的角平分线．示意图如图，要说明∠AOC＝∠BOC，需要证明△CON和△COM全等，则这两个三角形全等的依据是 　SSS　 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观．
【答案】SSS．
【分析】由作法可得，OM＝ON，MC＝NC，再根据OC＝OC，可得△CON≌△COM，进而可得出答案．
【解答】解：由作法可得，OM＝ON，MC＝NC，
∵OC＝OC，
∴△CON≌△COM（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
10．（2分）（2023秋 静安区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是 　3　 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，求出CD＝BC﹣BD＝3，再由角平分线的性质得DE＝CD＝3即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
即点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2分）（2023秋 沙市区期中）如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝24，AC＝12，则△AMN的周长是 　30　 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据BO平分∠CBA，∠MBO＝∠CBO，再根据MN∥BC得∠MOB＝∠CBO，由此可得∠MBO＝∠MOB，进而根据等腰三角形的判定得MB＝MO，同理：NC＝NO，则MN＝MO+NO，由此可求出△AMN的周长．
【解答】解：∵BO平分∠CBA，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MB＝MO，
同理：NC＝NO，
∴MN＝MO+NO，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AB+AC，
又∵AB＝18，AC＝12，
∴△AMN的周长为：AB+AC＝18+12＝30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
12．（2分）（2022秋 青羊区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点D为斜边AB上一点，且∠ADC＝45°，以CD为边、点D为直角顶点作Rt△CDP，点M为CP的中点，连接MB，则MB的最小值为 　　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】先由M是直角三角形斜边的中点得出CM＝DM，即M在CD的垂直平分线上，当BM垂直CD的垂直平分线时，MB取得最小值，再根据等腰三角形的性质求出MB即可得出答案．
【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，作CD的垂直平分线l，
∵∠CDA＝45°，CN⊥AB，
∴l经过点N，
∵M是直角三角形CDP的斜边的中点，
∴M到C的距离等于M到D的距离，
∴M在直线l上，
∴当MB⊥l时MB最短，
∵AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，BC，∠A＝60°，
∴AN＝1，BN＝4﹣1＝3，
∵CD∥BM'，
∴∠M'BD＝∠CDN＝45°，
∴BM'，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，求出AN是解本题的关键．
13．（2分）（2022秋 市北区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由翻折的性质得BE＝AE，则CE＝4﹣AE，而∠ACB＝90°，由勾股定理得（4﹣AE）2+32＝AE2，解方程求出AE的值即可．
【解答】解：∵将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴BE＝AE，
∵AC＝4，BC＝3，
∴CE＝4﹣AE，
∵∠ACB＝90°，
∴CE2+BC2＝BE2，
∴（4﹣AE）2+32＝AE2，
解得AE，
故答案为：．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用等知识，根据翻折的性质证明BE＝AE，再由勾股定理列方程（4﹣AE）2+32＝AE2是解题的关键．
14．（2分）（2024秋 双流区期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　48　 ．
【考点】勾股定理的证明；全等图形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】48．
【分析】设BD＝x，根据勾股定理得到BC＝8，根据矩形的面积公式得到长方形的面积＝6×8＝48．
【解答】解：设BD＝x，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AB＝x+（6﹣2）＝4+x，BC＝x+2，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（4+x）2＝（x+2）2+62，
∴x＝6，
∴BC＝8，
∴长方形的面积＝6×8＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（2分）（2023春 宿州月考）如图，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点D，A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动时间为t（0＜t≤4）s，当t＝　或3　 s时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】或3．
【分析】连接PB，过点Q作QE⊥CD，分两种情况：①PQ＝PB，根据“HL”可得△PEQ≌△PCB，再利用PD+PC＝8列出方程可得t；②PQ＝QB，根据勾股定理列方程可得解．
【解答】解：如答图，作QE⊥DC，连接PB．
若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴Rt△PEQ≌Rt△PCB（HL），
∴PE＝PC．
由题意得：PD＝2t，AQ＝t，
四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t﹣t＝t，PC＝t，
∵PD+PC＝8，
∴2t+t＝8，解得t．
②当PQ＝QB时，
PQ＝QB＝8﹣t，
Rt△PQE中，PQ＝8﹣t，PE＝t，EQ＝4，
∴（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，利用三角形全等得到PD+PC＝8是解题关键．
16．（2分）（2024 灞桥区校级模拟）如图，矩形ABCD顶点坐标分别为A（0，0）、B（﹣10，0）、C（﹣10，5），在线段AC和AB上各有一个动点E、F，当BE+EF的值最小时，点E的坐标为 　（﹣6，3）　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；矩形的性质．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．
【答案】（﹣6，3）．
【分析】先确定BE+EF的值最小时，点E、F的位置：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作OB的垂线，垂足即为点F，该垂线与AC的交点即为点E．连接OB′，交DC于点P，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA＝PC，那么在Rt△ADP中，运用勾股定理求出PA的长，然后由cos∠B′OF＝cos∠APD，求出OF的长，由tan∠EOF＝tan∠ACD，求出EF的长，即可得出点E的坐标．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作OB的垂线垂足即为点F，该垂线与AC的交点即为点E，
∵B′F＝B′E+EF＝BE+EF，
∴B′F的长就是BE+EF的最小值．
连接OB′，交DC于P．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，
∴∠PAC＝∠BAC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC．
令PA＝x，则PC＝x，PD＝10﹣x．
在Rt△ADP中，
∵PA2＝PD2+AD2，
∴x2＝（10﹣x）2+52，
∴x，
∴AP＝PC，PD＝10，
∵cos∠B′OF＝cos∠APD，
∴，即，
∴AF＝6．
∵tan∠EOF＝tan∠ACD，
∴，即
∴EF＝3．
∴点E的坐标是（﹣6，3）．
故答案为（﹣6，3）．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，坐标与图形的性质，有一定难度，根据垂线段最短作出辅助线，确定点M、N的位置是解答此题的关键．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（5分）（2024秋 永康市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．”
小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，由邻补角的性质得到∠ADB＝∠AEC，判定△ABD≌△ACE（AAS），推出BD＝CE．
【解答】解：选择小明的方法完成证明，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，判定△ABD≌△ACE（AAS）．
18．（6分）（2024 香洲区校级开学）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OA＝OD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DBC，则OB＝OC，再根据线段的和差即可得证．
【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴AC﹣OC＝DB﹣OB，
即OA＝OD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．（5分）（2024秋 阎良区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（3，3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）
（2）在（1）的条件下，直接写出点D的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）点D的坐标为（﹣5，﹣1）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）由图可得，点D的坐标为（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）（2024春 阜南县期末）根据背景素材，探索解决问题．
测量风筝离地面的垂直高度（CD）
背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”
操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5米 备注：点A，B，C，D在同一平面内
问题解决
任务一 根据手中余线长度，计算出AC的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度CD．
任务二 若想要风筝沿射线DC方向再上升12米，请问能否成功？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）风筝离地面的垂直高度CD为9.5米；
（2）他应该再放出8米线，能成功．
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于H，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到此时风筝线的长为25米，于是得到结论．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥CD于H，
在Rt△ABC中，∠AHC＝90°，AH＝BD＝15米，AC＝17米，
由勾股定理，得CH8（米），
则CD＝CH+DH＝8+1.5＝9.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5米；
（2）风筝沿DC方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为25（米），
25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米线，能成功．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，求证：AB＝AC．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解析部分．
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠B＝∠C即可．
【解答】证明：∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是证明∠B＝∠C．
22．（6分）（2024 长沙一模）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若AC＝3，CE＝5，BD的长是偶数，则BD长为 　2　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形三边关系．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【分析】（1）根据D是边BC的中点，CE∥AB，得出和∠B＝∠DCE，∠E＝∠BAD，根据AAS可以求证△ABD≌△ECD；
（2）由△ABD≌△ECD，得出AB＝CE＝5，根据三角形边长关系得出AB﹣AC＜BC＜AB+AC，可以推出2＜BC＜8，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，
∴，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠E＝∠BAD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS）；
（2）解：由（1）可知△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，
在△ABC中，
AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
∴2＜BC＜8，
∴，
又，
∴1＜BD＜4，
∵BD的长是偶数，
∴BD＝2．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的边长关系，平行线的性质，根据三角形边长关系得到AB﹣AC＜BC＜AB+AC是解答本题的关键．
23．（6分）（2024春 凉州区期中）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的四个顶点都在格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）画格点E，并连接AE，使AE＝AB，且AE⊥AB；
（2）在线段DC上找一点F，连接AF，使∠BAF＝45°；
【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）利用网格特点和勾股定理找出点E即可；
（2）取格点M，使得四边形BCEM是矩形，连接BE，CM，相交于点G．连接AG，并延长AG交CD于点F，则点F为所求．
【解答】解：（1）如图，点E为所求，
由网格特征可得：AE⊥AB，
由勾股定理可得：，，
∴AB＝AE；
（2）如图，取格点M，使得四边形BCEM是矩形，连接BE，CM，相交于点G．连接AG，并延长AG交CD于点F，则点F为所求．
∵四边形BCEM是矩形，
∴点G是BE的中点，
∵AB＝AE，AB⊥AE，
∴．
【点评】本题考查了作图—复杂作图，矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24．（9分）（2025 碑林区模拟）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点D在边AB上，过点D作直线l⊥BC，点B与点E关于直线l对称，作CE的垂直平分线m交AC于点F，连接DF．若BD＝4，则△ADF的面积为　　 ．
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝45°，小明想在△ABC内找一点D，使得点D到A，B，C三点的距离相等，小明进行了2次折叠操作．
第1次：沿着直线m翻折，使得点B与点C重合，展开后，标记折痕m与BC交于点E；
第2次：沿着过点E的直线n翻折，使得点C落在直线m上，点C的对应点为点D．点D到点A，B，C的距离相等吗？请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）点D到点A，B，C的距离相等，理由见解析．
【分析】（1）易得AC＝8，由对称可证∠DEF＝90°，进而设参，利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图，连接BD，CD．根据轴对称的性质得到直线m⊥BC，BE＝CE，∠DEB＝∠DEC＝90°，推出△BDE与△CED为等腰直角三角形，得到，求得∠ABD+∠ACD＝45°，作点D关于直线AB，AC的对称点P，Q，连接BP，CQ，PQ，则∠PBA＝∠DBA，∠DCA＝∠QCA，DB＝BP，CQ＝CD，根据平行四边形的性质得到PQ＝BC，连接AP，AQ，AD，得到∠PAB＝∠DAB，∠DAC＝∠QAC，AP＝AQ＝AD，推出△APQ为等腰直角三角形，，得到BC＝PQ，于是得到AD＝BD＝CD．
【解答】解：（1）∵AB＝6，BC＝10，∠A＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
∵BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝2，
∵点B，E关于直线l对称，
∴DE＝BD＝4，∠DEB＝∠B，
∵直线m垂直平分CE，
∴CF＝EF，∠C＝∠FEC，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠DEB+∠FEC＝90°，
∴∠DEF＝90°，
设AF＝x，则EF＝CF＝8﹣x，
∴由勾股定理，得AD2+AF2＝DE2+EF2，
即4+x2＝16+（8﹣x）2，
解得x，
∴AF，
∴S△ADFAD AF，
故答案为：；
（2）点D到点A，B，C的距离相等，
理由：如图，连接BD，CD．
∵点B，C关于直线m对称，
∴直线m⊥BC，BE＝CE，∠DEB＝∠DEC＝90°，
又∵CE＝DE，
∴BE＝DE，
∴△BDE与△CED为等腰直角三角形，
∴，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠ABD+∠ACD＝45°，
作点D关于直线AB，AC的对称点P，Q，连接BP，CQ，PQ，
则∠PBA＝∠DBA，∠DCA＝∠QCA，DB＝BP，CQ＝CD，
∴BP＝CQ，∠PBD+∠DCQ＝90°，
∴∠PBC+∠QCB＝180°，
∴BP∥CQ，
∴四边形BCQP为平行四边形，
∴PQ＝BC，
连接AP，AQ，AD，
则∠PAB＝∠DAB，∠DAC＝∠QAC，AP＝AQ＝AD，
∵∠BAC＝45°，
∴∠PAQ＝90°，
∴△APQ为等腰直角三角形，，
又∵BC＝PQ，
∴AD＝BD＝CD．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了勾股定理、垂直平分线的性质、三角形的外接圆、全等三角形的判定和性质、等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（8分）（2024秋 雁塔区校级期末）如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α．
（1）∠ACE＝　60°+α　 （用含α的式子表示），∠F＝　60°　 ；
（2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）60°+α，60°；
（2）7．
【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，则∠BAD＝60°﹣α，再证明AB＝AE，由三线合一定理可得∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，则∠CAE＝60°﹣2α，由等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACE＝60°+α，则由三角形外角的性质可得∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°；
（2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG，则△CFG是等边三角形，得到CG＝CF，∠GCF＝60°，证明△ACG≌△BCF，得到AG＝BF，再证明AF是BE的垂直平分线，得到BF＝EF＝CE+CF＝5，则AF＝AG+FG＝BF+CF＝7．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠FAC＝α，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α，
∵AE＝AC，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BE，
∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，
∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α，
∴，
∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°，
故答案为：60°+α，60°；
（2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG，
∵FG＝FC，∠F＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴BF＝EF＝CE+CF＝5，
∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（11分）（2023 宝山区校级模拟）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，点P是△ABC形内一点，PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
（1）当E为AC中点时，设PE＝x，PD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当PD＝PE＝PF时，求∠EDF的度数；
（3）当△DEF与△ACB相似时，求△DEF的面积．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y（0＜x＜1）；
（2）45°，
（3）．
【分析】（1）延长EP，交AB于Q，可得出PQPD，AE1，根据EP+PQ＝1得出x，进而得出结果；
（2）可证得四边形CEPF是矩形，从而∠EPF＝90°，根据PD＝PE＝PF得出P是△DEF的外接圆的圆心，从而得出∠EDF；
（3）连接AP，BP，可推出当△DEF是等腰直角三角形时，∠EDF＝45°；当∠DEF＝90°时，作DG⊥AC于G，可证得△ECF≌△DGE，从而EG＝CF，DG＝CE，
设EG＝CF＝a，DG＝CE＝b，则AG＝DG＝b，PF＝CE＝b，ADAG，可得出a+2b＝2，可证得△ADE∽△BFD，从而得出BF2b，可证得△PFC∽△BFP，从而得出PF2＝CF BF，进而得出b＝2a，求得a，b的值，进一步得出结果，当∠DFE＝90°时，可得出相同的结果．
【解答】解：（1）如图1，
延长EP，交AB于Q，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵PE⊥AC，PD⊥AB，
∴∠AEQ＝∠PDQ＝90°，
∴∠AQP＝45°，
∴PQPD，
∵E是AC的中点，
∴AE1，
∵∠A＝∠AQP＝45°，
∴EQ＝AE，
∴EP+PQ＝1，
∴x，
∴y（0＜x＜1）；
（2）如图2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴PD＝PE＝PF，
∴P是△DEF的外接圆的圆心，
∴∠EDF；
（3）如图3，
连接AP，BP，
∴△DEF与△ACB相似，△ACB是等腰直角三角形，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠AEP＝∠ADP＝∠PDB＝∠PFB＝90°，
∴∠AEP+∠ADP＝180°，∠PDB+∠PFB＝180°，
∴点A、D、P、E共圆，
∴∠PDE＝∠PAE，
同理可得，
∠PDF＝∠PBC，
∴∠PDE+∠PDF＝∠PAE+∠PBF＜∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠EDF＝45°，
如图4，
当∠DEF＝90°时，
∠CEF+∠DEG＝90°，
作DG⊥AC于G，
∴∠AGD＝∠DGE＝∠ACB，
∴∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠CFE＝∠DEG，
∵DE＝DF，
∴△ECF≌△DGE（AAS），
∴EG＝CF，DG＝CE，
设EG＝CF＝a，DG＝CE＝b，则AG＝DG＝b，PF＝CE＝b，ADAG，
∵AG+EG+CE＝2，
∴a+2b＝2①，
同理可得，
△ADE∽△BFD，
∴，
∴BF2b，
∵点C、E、P、F共圆，点P、D、B、F共圆，
∴∠ECP＝∠PFE，∠DBP＝∠PFD，
∴∠ECP+∠DBP＝∠PFE+∠PFD＝∠DFE＝45°，
∵（∠ECP+∠PCF）+（∠PBD+∠PBF）＝90°+45°，
∴∠PCF+∠PBF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPF+∠BPF＝90°，
∵PF⊥BC，
∴∠PFC＝∠PFB＝90°，
∴∠PBF+∠BPF＝90°，
∴∠CPF＝∠PBF，
∴△PFC∽△BFP，
∴，
∴PF2＝CF BF，
∴b2＝a 2b，
∴b＝2a②，
由①②得，
，
∴EF2，
∴S△DEF，
当∠DFE＝90°时，
同理可得，
S△DEF，
综上所述：△DEF的面积为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是分类讨论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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